DEUXIÈME CAS : B = O

24f3. Les surfaces qui remplissent cette condition sont dépourvues de centre , ou bien elles en admettent une infinité ; ainsi elles ne peuvent être que dés paraboloïdes , des cylindres paraboliques, des cylindres elliptiques ou hyperboliques, ou bien le système de deux plans parai-lèles. Cherchons donc des caractères propres à faire distinguer ces quatre genres les uns des autres , en partant de l'équation primitive (i) et des équations du centre (2) , (3) , (4) ; et comme les sections parallèles aux plans coordonnés nous seront utiles à considérer 9 observons ici que la nature de ces sections sera toujours indiquée par les signes des binômes \

qui sont analogues à b*^-^/iacy dans les courbes du second degré. D'ailleurs puisque aucune des surfaces dont il s'agit ici , ne peut admettre k la fois des ellipses et des hyperboles, on doit prévoir que, pour une même surface donnée, ces trois binômes se trouveront à la fois positifs ou à la fois négatifs^ ce qui n'exclut pas ITiypothèse que tous ou quelques-uns soient nuls.

1^2 CHAPITEE XII.

Ajoutons que toutes les règles qui vont suivre s'appliquent également aux coordonnées obliques; car nous ne nous appuierons que sur les équations (2), (3) , (4) 9 qui suffisent toujours (n^ 95) pour déterminer les coordonnées du centre.

244. Daiïs un parâboloïde 9 il doit arriver cp!uney au mpins , des coordonnées du centre soit infinie; ainsi la résolution immédiate des équations (2), (3), (4)9 devra conduire à une impossibilité , telle que 5 =0. Il semble même que les trois coordonnées devraient être toutes infinies*, mais si Ton observe que le parâboloïde n^est qu'une dégénération de rellipsoïde ou de Thyperboloïde , dans lesquels les deux sections principales qui passent par un même axe réel se cbangeraient en paraboles , on sentira que le centre commun de ces deux courbes , en s'éloignant indéfiniment , n'a pas dû sortir de Taxe réel qui est devenu l'axe u£ique du parâboloïde. Or , si cette droite se trouve parallèle au plan coordonné XY par exemple , il est clair qu'on aura seulement Xt=oo et jx =00 , tandis que Zx aura une valeur déterminée : si l'axe principal du parâboloïde est parallèle à OX , les coordonnées j^i et z^ auront des valeurs déterminées , tandis que Xi sera seul infini.

En second lieu 9 puisque les sections paraboliques ne peuvent être produites (n°' 159 et 163) que par des plans parallèles à V axe au parâboloïde, et qu'il est évidemment impossible que les trois plans coordonnés se trouvent tous parallèles à cette droite , il s'ensuit qu'ici les trois, binômes 6, 6-, 6'' ne seront jamais nuls à la fois. Or, comme nous allons voir que les conditions précédentes ne se trouveront pas réunies simultanément dans les autres genreà', nous pouvons en conclure que les ca-

DISCUSSION IMM]ÉDIATE d'uNE £QV4TION NUMÉRIQUE, etC. IQS

ractèresdistinetifsdes paraboloïdes sont les suivants : une des équations du centre impossible,

un des binômes (6, o', 6'^) '^ o;

d'aiUeurs, si celui de ces binômes qui n'est pas nul se trouve négatifs le paraboloïde sera elliptique^ et il sera hyperbolique, si ce binôme est positifs

245. Dàhs uiï CYLINDRE parabolique^ une , au moins, des coordonnées du centre doit être infinie^ c'est-à-dire que la résolution des équations (2) , (3) , (4) devra conduire à une impossibilité telle que 5 = o. Mais un plan quelconque ne pouvant ici donner pour section qu'une parabole , ou deux droites parallèles , ou une droite isolée, il arrivera nécessairement que les trois binômes 6, 6', 6^, seront tous nuls. Par conséquent, les caractères distinctifs du genre actuel seront :

une des équations du centre impossible, ' les trois binômes (6 , 6', €'') = o.

246. Cyliiîdbe elliptique ouhyperboUque. Une telle surface admet pour centres tous les points d'une même droite, ou un axe central^ par conséquent une des coordonnées du centre doit demeurer arbitraire , sans qu'aucune des autres soit infinie^ c'est-à-dire que les valeurs dex et j-, par exemple, tirées de deux des équations (2), (3), (4)9 doivent rendre identique la troisième équation, quel que soit z. En outre , comme les trois plans coordonnés ne sauraient être tous parallèles aux génératrices du cylinire, il devra arriver qu'un, au moins, des binômes 6, 6^, 6", soit différent de zéro 5 et le signe de ce binôme fera distinguer si le cylindre est elliptique ou

hyperbolique. Ainsi les caractères propres à ce genre sont :

Les trois équations du centre réduites à deux, un des binômes (6 , € ', 6 " ) ^ o ;

d'ailleurs, si c'est 6" qui est différent de zéro, il faudra poser z=/c dans l'équation (i), puis voir si cette section est imaginaire j ou se réduit à un points ou bien se décompose en deux droites^ car, dans le premier cas, le cylindre sera totalement imaginaire, dans le second il se réduira à une droite unique j et dans le troisième il sera le système de deux plans non parallèles ,

247. Deux plans parallèles. Dans ce cas, il existe un plan central dont tous les points sont des centres; ainsi deux des coordonnées doivent demeurer arbitraires ^ ce qu'on reconnaîtra lorsque la valeur de a:, par exemple, tirée de l'une des équations (a), (3), (4)» vérifiera les deux autres, quels que soient j^ et z. D'ailleurs toutes les sections planes ne pouvant offrir ici que deux droites parail^es, il arrivera que les trois binômes 6, &\ &" seront tous nuls.' On a donc pour distinguer le genre actuel, les caraotères suivants :

he» trois équations du centre réduites à une y les trois binômes (6 , 6 ',. 6 '' ) == o ;

en outre , comme les deux plans pourraient être confondus , ou se trouver imaginaires , il faudra couper la surface (i) par un plan tel que zszA» ou j-zszk\ pour voir si la section offre deux droites confondues, ou deux droites imaginaires.

DISCUSSION IMMEDIATE b'uIIE ÉQUATION NUMERIQUE, etC. 196