Considérons enfin Téquation

X* + 4/^ H- ** tH 4^* — ^^^ — 4*/ H-^ — ^ — 3z=:o; les dérivées donnent

lix — 2a — 4^' "t" 3 = o, 8^ -h 4« — 4*^ — 6 = 0, 22'-!- 4y — ^* -^3 = 0,

et comme ces trois équations se réduisent à une seule, le lieu des centres est un plan ^ et la surface proposée ne peut être que le système de deux plans parallèles au plan central. D'ailleurs , en coupant cette surface par le plan

DISCUSSION IMMEDIATE d'.UNE EQUATION NUMlÊRIQUE, CtC. U^]

^= o, on trouve une équation qui, résolue par rapport à X , donne

la section est donc formée de deux droites distinctes et réelles j par conséquent la surface est bien le système de deux plans parallèles qui ne sont pas confondus. En effet, si l'on résout Fécjuation primitive par rapport à une des variables , on trouve qu'elle se décompose ainsi

{x — 2j — z)(x — ^y — z -h 3) = o, ce qui justifie la conséquence énoncée ci-dessus.

Du cas où la surface est de révolution . ''i '

2S2, Pour compléter la discussion de l'équation générale

-f-20-h2C>- + 2C"z-hE> ""^^

nous allons chercher à quels caractères on peut reconnaître que la surface est de rév^olution. Dans une telle surface, toutes les sections perpendiculaires à une certaine droite sont des cercles dont les centres se trouyent sur cet axe de ré\folution; or, si l'on trace dans ces cercles des cordes parallèles entre elles , et sous une direction arbitraire du reste , il est clair que le plan mené par l'axe de révolution , perpendiculairement à ces cordes, les divisera toutes en deux parties égales , et sera un plan principal. Réciproquement , si tous les plans menés par une même droite sont principaux, les sections perpendiculaires à cette droite seront des cercles ayant leurs

198 CHAPIT&E XII.

centres sur cet axe^ car, parmi les courbes du second degré , il n'y a que le cercle qui admette pour diamètres principaux toutes les droites menées d^un même point. De là je conclus que pour que la surface (i) soit de révolution , il faut et il suffit : i** qu'il existe une infinité de systèmes de cordes principales , qui soient tous parallèles à un même plan ; 2** qu'en même temps les plans diamétraux, conjugués avec ces divers systèmes, se trouvent à une distance finie et déterminée; car, sans cette dernière condition, la première serait vérifiée analytiquement par les cylindres paraboliques. D'ailleurs il arrivera , par une conséquence nécessaire , ainsi qu'on va le voir, que ces plans principaux, en nombre infini, se couperont tous suivant une droite unique , qui sera l'axe de révolution. 1

253. D'un point quelconque, par exemple l'origine des coordonnées que nous supposons rectangulaires , menons une corde principale

(i5) JF = inz,

nz\

les constantes m et /i seront déterminées par les équations déjà citées ,

km -h Wn 4- B' = msy (i6) \ Mn -♦- h"m -H B z= ns,

lesquelles conduisent, comme on sait (n** 109), à l'équation du troisième degré

-^B''^(j — A'O — 2BB'B" = o.

Par oonséquent chaque racine de celle-ci , mise dans

DISCUSSION IMMEDIATE d'uHB ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. iQQ

les équations (i6), les réduirai deux distinctes qui douteront les valeurs de m et de t», que Ton devrait ensuite porter dans les formules (i5) ; ou bien , si Ton tire de œs dernières m et », pour les substituer daus (i6), la corde principale menée de l'origine pourra être représentée par deux quelconques des trois équations

(A — j)x-f.B'>-f-B'z=ro, (i8) l(A'^s)jr-hB"x-^Bz =o;

(A" — j)z -f-B'a: + Br =0."

Cela posé, si la surface (i) est de révolution, il doit arriver, pour remplir la première condition énoncée au numéro précédent , qu'une au moins des racines de (17) soit telle, quelle réduise les équations (18) à une seule distincte y qui représentera un plan dans lequel toutes les cordes menées à volonté seront des cordes principales. Ainsi , en appelant s ' cette racine , elle devra vérifier les relations

d'où résultent dbux équations de condition, avec la valeur de s\ savoir :