B'B'' ^, BB" .., BB

Cette valeur de/ satisfait bien à l'équation (17), qui d'ailleurs admet une seconde racine s"^=is'\ car en tirant des relations (19) les expressiçns de A, A^ i^\ ei^ fonction de s\ pour les substituer dans (17), cette équation prend la forme

, ,.l , B'B" BB' BB'\

d OÙ Ton conclut que quand les deux conditions (19) sont vérifiées , il y a deux des trois systèmes de cordes priiicipales qui peuvent être dirigés d'une manière arbitraire dans le plan, ou parallèlement au plan

(20) B'B"x-hBBV-+-BB'z = o,

auquel se réduisent alors les trois équations (18).

254. D reste encore à exprimer que les plans diamétraux conjugués avec ces divers systèmes de cordes se trouvent à une distance finie et déterminée. Or, un de ces plans sera donné (n*^ 105) par la formule générale

(Am -h B"n + B' ) X -h ( Vn -H B"m -r B)^ -f- ( A" H- B'm H- Bn) «

-f- Cm -h C'ij -h C" = o,

qui, pour la racine s=zs' que nous considérons ici, et d' près les relations (16), devient

(21) («'a? + C)/iH-(j>-^C')/î-{-(5'«-{-C'')=o.

Alors on voit que pour que ce plan ne se trouve pas à une distance infinie , il faut que la quantité s ne soit pas nulle ; de sorte que les conditions qui expriment complètement que la surface (i) est de révolution, sont les suivantes :