B'B" ^, BB" ., BB

255. Maintenant, cherchons Vaxe de résolution j qui doit être l'intersection commune de tous les plans renfermés dans la formule (21). Ici les quantités m eln qui , pour chaque valeur de 5, devaient être déterminées par deux des équations (16), ne sont plus que liées entre elles par la relation unique

(23) B 'B"m -h BB "n 4- BB' = o,

à laquelle se réduisent ces équations (16) pour la ra-

DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, CtC. 20I

cîn€5 = j' qui vérifie les relations (19); de sorte qu'en éliminant n entre (21) et (aS), tous les plans diamétraux qui correspondent à cette racine seront donnés par l'équation

[B(*'x-hC)-B'(f>-hC')lm = B'(5>-f-C')-B"(j'«-+-C''),

OÙ m demeure arbitraire. Donc , pour avoir une droite commune à tous ces plans, quel que soit m , il suffit d'égaler à zéro chacun des deux membres, ce qui donne les relations

par conséquent ce sont là les équations de l'axe de révolution de la surface. Si, maintenant, on divise tous les termes par /, et qu'on y substitue les diverses valeurs de cette quantité, fournies par les formules (19), les équations de l'axe de révolution prendront la forme

f^»*' "("+ ab!^b'b-' ) =°'(^+ a'b°-bb" )=^"{'^i:^w) '

où l'on reconnaît bien une droite perpendiculaire au plan (20) , et qui indique la direction du troisième système de cordes principales , lequel doit toujours être perpendiculaire aux deux autres (n® 123).

256. Toutefois, il est nécessaire d'observer que quand l'équation proposée ( i) est privée de plusieurs rectangles, les conditions générales (22) prennent une forme incertaine, et même deviendraient entièrement illusoires^ si l'on avait chassé les dénominateurs, comme on le fait ordinairement^ car alors elles seraient toutes satisfaites par les hypothèses B=B'=r o, qui cependant ne suffisent pas pour que la surface soit de révolution.

Il faut donc toujours conserver les. conditions soUjS la forme (22) ; et pour le cas où Ton a , par exemple , B=or et

a02 CHAPITRE XII.

B' = o , remarquer qu'elles se réduisent à

relations entre lesquelles on peut éliminer le rapport ^ qui cause Tindétermination , et par là on trouve

(26) (A — A'')(A' — A") = B"» avec A'^^o,

pour les véritables conditions qui expriment que la surface est de révolution, dans l'hypothèse admise: Nous exigeons que A" soit différent de zéro , parce que c'est alors la valeur de la racine 5', laquelle ne doit pas être nulle, pour que les plans diamétraux (21) se trouvent à une distance finie et déterminée. Au surplus, on obtiendrait directement les relations (26) , en remontant aux équations (18), dans lesquelles on ferait B=o et 8^=0^ mais il était bon de faire voir que ce cas particulier était compris dans les conditions (22), qui, sous la forme que nous leur donnons ici , n'induiront jamais en erreur , et avertiront du moins des transformations qu'exigent les diverses hypothèses particulières.

Dans le cas où l'on aurait B=B'=o y ou bien B'^B^^o, on trouverait de même les conditions

(27) (A — AO(A^ — A') = B'» avec A'^o,

(28) (A' — A) (A" — A) = B» avec ^ A ^o.

Quant à l'axe de révolution représenté en général par les équations (24) ? le dernier membre donne d'abord ^ pour l'hypothèse B = B' = o,

DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉ&IQUB, etC. 203

ensuite , les deux premiers membres , débarrassés des facteurs — , , —, dont les valeurs sont fournies par les relatiens (sS) y conduiront à cette seconde équation .

On trouverait des résultats semblables pour les bypothèsesB = B" = o ou B' = B" = o.

257. Enfin , si l'on suppose à la fois B = B' = B'' = o , les conditions (22) avertissent encore, par leur forme indéterminée, qu'il faut leur faire subir quelque transformation 5 et en partant des relations (26), (27), (28), auxquelles nous les avons déjà ramenées , quand deux rectangles seulement étaient nuls , on trouvera que pour le cas actuel , les équations qui expriment que la surface est de révolution , et celles qui déterminent son axe , sont

A' = A*' ^ o, A'^r H- C = o, A'^z + C^ = o, ou

A = A"^ o, Ar -4- C = o, Az + C" = o,

ou bien

A = A'^o, Ax -^. C = o, Af + C'= o.

Au surplus , dans l'hypothèse admise ici , la forme de l'équation proposée (i) rend ces conditions bien faciles à obtenir par un calcul direct.

204 CHAPITRE XMI.

Des plans tangents aux surfaces courbes.

258. Si par un point donné sur une surface quelconque, on y trace tant de courbes que Ton voudra , e^qu'on leur ^ène des tangentes par le point en question , toutes ces droites se trousseront en général dans un seul et même plan, que Ton nomme le plan tangent de la surface : mais cette proposition a besoin d'être expressément démontrée *, car on ne voit pas à priori pourquoi ces diverses tangentes ne formeraient pas un cône , comme cela arrive effectivement pour quelques points singuliers de certaines surfaces (*).

259. Considérons d'abord les surfaces du second ordre, que nous prendrcms, pour abréger les calculs, sous la forme suivante qui les comprend toutes :

(i) Ax" -+. Ay -h A'V + aCar -h aC'j -+- 2C"z -f- E = o.

Si x\ y\ z' désignent les coordonnées du point donné sur la surface , elles vérifieront la relation

(2) kx'-" -h A'y " 4- A''z'* -+- 20 ' -H 2C>' -f- 2C"z' -h E = o ,

qui, introduite dans Téquation de la surface, lui fera prendre la forme

(*) Voyez la Géométrie descriptive, livre II , n® 97.

DBS PLANS TANGENTS AlTX SVRVAGES COURBES. 2o5

Ceîa posé , une sécante quelconque menée par le point en question , sera représentée par

et pour obtenir les points dans lesquels elle rencontrera la surface, il faudra combiner les équations (3) , (4) , (5), en y regardant les variables comme ayant les mêmes valeurs. Si donc dans (3), on substitue les valeurs de x-^x' et y — y' y elle deviendra

(6) (3-3 )J + 3Cm + 2C'« H- 2C" }-°'

équation qui, quant aux points communs, peut remplacer (3), et fera connaître ces points en la joignant taujours avec (^) et (5). Or, le premier facteur z — z' = o conduit à 0? == x% y :;=y ', et Ton retrouve ainsi le point de départ de la aécante. Le second point de section serait donné par le système (4)? (5) et (7) ,

si Ton avait fixé la direction de cette sécante en assignant des valeurs à m et à /i ; mais puisque nous cherchons au contraire à déterminer ces constantes de telle sorte que la droite soit tangente à la surface » c'est-à-dire de manière que le second point de section se réunisse avec le premier , il faut exprimer que le système (4) , (5) , (7) , est vérifié encore par les valeurs x == x\ y :=:y\ z = z\ ce qui établît entre m et /i la relation unique

(8) Amjc' -^ AV' rh A"?' -4- Cm -h C'n -4- C =• o,

d'après laquelle une des constantes m et n reste arbitraire. Il résulte de là qu'en attribuant à m diverses valeurs successives, et calculant les valeurs correspondantes de n

2o8 CHAPITRE XIII.

tact d'un cône circonscrit est toujours plane; et l'on peut même reconnaître que son plan est parallèle au plan diamétral conjugué avec la droite qui joindrait le sommet au centre delà surface , puisque ce centre a ici pour coordonnées

263. Si Ton voulait obtenir la ligne de contact de la même surface avec un cylindre circonscrit y et qui serait parallèle à la droite

on exprimerait que , pour chaque point de cette courbe , le plan tangent (lo) est parallèle à la droite donnée^ ce qui fournirait (n^ 4f5) entre les coordonnées du point de contact la relation

(i4) {Ax' H- C)m -H (A> ' 4- C0« 4- (A''^' 4- C) = o ,

laquelle, jointe à Téquation de la surface que doivent aussi vérifier les variables x\ y\ z, suffirait pour déterminer la courbe demandée. On voit , par la forme de Féquation (i4)> qtie cette courbe de contact sera encore plane j et qu'elle se trouvera précisément dans le plan diamétral conjugué avec les cordes parallèles aux génératrices du cylindre.

264. La tangente d'une courbe quelconque est toujours projetée sur la tangente à la projection de la courbe

primitive, puisque, cei^^de^^ droites sont les limites respectives d'une sécante et de sa projection. Croyez G. Z>., n° 102.) Par. conséquent^ si la courbe en question est définie par ses projections