DIS PL4NS TANGSNTS AUX SUAFACE8 COURBES

la tangente au point (x, j*, z)de cette courbe aura pour équations

{,5) *' - * = g (z'-,), (.6) ^';r= ^(«'-z), OU bien

en désignant ici par x\ y' y z\ les coordonnées courantes de la droite demandée.

265. Lorsque la courbe dans l'espace sera définie, non par ses projections , mais au moyen de deux surfaces quelconques représentées par

il ne sera pas nécessaire de résoudre ces deux équations pour en tirer les valeurs de x et y^ et par suite celles des

dérivées — , -—-. Car, dans le système des équations si-

multanées F = o , Fi = o , une seule des variables demeurant arbitraire , les deux autres devront varier en même temps que celle-là par la différentiation, ce qui donnera

d¥ , d¥ ^ dY ^

dx . dy dz

dFt d¥t d¥i

— iix H dy -4- — d!z =; o :

dx dy ^ ^ dz '

équations d'où Ton devrait tirer les valeurs de -r- et -r- ^ dz dz

pour les substituer dans (i5) et (i6). Mais si, au contraire , on substitue ici les valeurs de ces dérivées prises dans (i5) et (i6) , on obtiendra immédiatement les équa-

2IO CBAPITRE XIII.

tioiis de la tangente sous la forme trèfr-symétrique

(,8) ia:'-z)-+{y'-y)-+{z'-z) -=.0.

Nous reconnaîtrons tout à Fheure que ces équations sont précisément celles des plans tangents aux surfaces données F = o et Fi =1 o ; et dès lors on concevra bien comment le système de ces deux équations détermine la tangente de la courbe qui est l'intersection de ces surfaces»

266. Dm plan tangent à une surface quelconque. Cette surface étant représentée par une équation unique

il y aura ici deux variables indépendantes, par exemple X ely\ et dès lors la troisième z admettra deux dérivées partielles, que nous représenterons , suivant Tusage, par

— zsi p^ — =: ^. Si , par un point (x, j-, z) donné sur

cette surface, on trace une courbe quelconque dont la projection soit désignée par

(20) y = (p(jr),

Fensemble des équations (19) et (20) déterminera complètement cette courbe ; mais, pour en obtenir une seconde projection , il faudra éliminer y entre les équations précédentes , ce qui donnera un résultat de la forme

Cela posé, la tangente de la courbe dans Fespace étant projetée (n^ 2l64>) sur les tangentes aux deux courbes