DES PLANS TANOBNTS AUX SURFACES COURBES

planes (ao) et (21)$ cette droite aura pour équations

dans lescpelles x\ jr\ z\ désignent les coordonnées courantes de cette droite. Or, d'après la manière dont la

fonction ^p a été obtenue , on doit voir que la quantité -~

n'est autre chose que la dérivée totale de z déduite de Féquation (19) 9 mais prise en' regardant y comme une fonction de x , déterminée par la relation (20). F^r con- ' séquent on aura

dx dx dy ' dx dx^

et les équations de la tangente deviendront

Maintenant, si Ton veut obtenir le lieu géométrique des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface , par le point en question , il faut éliminer des équations précédentes, ce qui dépend de la fonction f , laquelle peut seule caractériser la courbe particulière qu'on a considérée. Or, en éliminant^ entre (22) et (23), on trouve

équation du premier degré par rapport aux variables x\ y\ ^, et qui prouve que le lieu de toutes les tangentes est bien un plan^ en général. Cette conséquence ne pourrait être infirmée que dans les points singuliers qui

212 GHAPIT&E Xllt.

feraient prendre aux dérivées partielles p et ç la. forme

-- : comme cela arrive au sommet d'un cène , ou bien eno '

core dans une surface de révolution dont le méridien

coupe Taxe sous un angle oblique , et pour le point de

cette surface qui est sur Taxe même : voyez la Géométrie

descriptive^ n^ 97.

267. Il importe d'observer que l'équation (24) restera de même forme , quand bien même les coordonnées seraient obliques ; puisque le théorème du n^ 264 est également vrai dans ce cas , et que Téquation de la tangente à une courbe plane , doit encore avoir pour coefficient de l'abscisse la dérivée de l'ordonnée.

268. Lorscpie l'équation de la surface sera donnée sons la forme

on sait qu'en la différentiant successivement par rapport aux variables indépendantes x et y^ on obtient

dF dF dF dF

si donc on tire de là les valeurs de p et de q^ pour les substituer dans'(24), l'équation du plan tangent prendra la forme plus générale

ce qui justifie la remai'que qui termine le n^ 265.

269. On pourra, comme aux n*^*262 et 263, faire servir cette équation à trouver la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre circonscrit à la surface (2$) ; mais au lieu de revenir sur ces questions, nous ferons observer qu'on peut aussi déduire de là le contour de la pro--