DES PLANS TANGENTS AUX SURFACES COURBES

jeclion d'une surface sur un plan donné , par exemple sur le plan XY. Cette recherche , qui est indispensable dans plusieurs problèmes de Géométrie , revient à déterminer la courbe de contact d'un cylindre circonscrit et perpendiculaire au plan XY^ par conséquent, pour tous les points de cette courbe, le plan tangent de la surface sera parallèle à OZ , et dès lors son équation générale (26) ne devant plus renfermer la variable z (xl^ 8), on aura la condition

dz

laquelle, jointe à F (x, /, z) = o, déterminera la ligne de contact dans l'espace^ puis, si Ton élimine z entre ces deux équations, on obtiendra la courbe demandée sur le plan XY.

270. La normale d'une surface étant la droite perpendiculaire au plan tangent, et menée par le point de contact (a:., y^ z), elle aura des équations de la forme

mais les4onditions trouvées n° 47, pour exprimer qu'une droite et un plan sont perpendiculaires , fourniront entre Téquation (24) et les précédentes, les relations

de sorte que les équations de la normale deviendront

(27) ^p' — ^+ /*(Z'— Z) = 0, jr'— j-+-^(z'— Z) = 0.

Les angles a , 6 , y , formés par cette droite avec les demi-axes coordonnés positifs , seront donnés {pP 27)

2i4 CHAPITRE Xin.

par les formules

GOS a =: ■ , COSosr ^

cos 7 = ' ,

dans lesquelles le radical pris positivement se rapporte toujours (n^ 28) à la portion de la normale qui fait un angle aigu avec le demi-axe OZ. Si , d^ailleurs , on substitue ici les expressions de ^ et de ^ (n^ 268) en fonction des dérivées partielles de réquatîonF(j:, j^, z) = o, les valeurs des cosinus précédents se présenteront sous la forme