COS« = ;^-, C0S6=:;^-, COS

où V désigne le radical

dYy /dFV /dwy

271 . En terminant ce chapitre , nous ferons plusieurs remarques importantes sur la position du plan taisent , relativement à la surface. D'abord, il ne faut pas s'attendre qu'il n'y ait jamais entre eux qu'un seul point de commun ; cette circonstance , qui n'est point du tout essentielle à la définition du plan tangent (n*^ 258) , se rencontrera , il est vrai , dans les surfaces convexes en tous leurs points ; mais , dans les autres cas , ce plan pourra couper la surface , et même la couper suivant une courbe qui passe par le point de contact, ce qui ne l'empêchera pas de renfermer les tangente^ à toutes les courbes menées par ce point; de sorte qu'en cet endroit il sera véritablement tangent, et sécant partout ailleurs. On en voit de fréquents exemples dans la Géométrie descriptive, et entre

DES PLANS TANGENTS AUX SURFACES COUEBES. 2l5

autres dans les surfaces annulaires, lorsqu'on choisit le point de contact sur la nappe intérieure.

272. En second lien , toutes les fois cjue la surface sera réglée, c'est-à-dire qu'elle admettra une génératrice rec-tilignej cette droite, qui est elle-même sa propre tangente, devra être contenue tout entière dans le plan tangent ; et s'il existait deux génératrices de ce genre, passant l'une et l'autre par le point donné , elles détermineraient, par leur ensemble, le plan tangent relatif à leur point de section ; c'est ce qui arrive dans l'hyperboloïde à une nappe , et dans le paraboloïdc hyperbolique. Mais il importe beaucoup d'observer que les surfaces réglées se divisent en deux classes , qui présentent une différence essentielle dans leur contact avec le plan tangent.

273. Si la surface réglée est gauche, c'est-à-dire si la génératrice rectiligne se meut de telle sorte que deux positions voisines AM et A' M', quelque rapprochées qti'on les suppose , ne se troussent pas situées dans un même plan, alors les plans tangents relatifs à deux points

M et N pris sur une même génératrice AMN , renferme- F«g- 33. ront tous deux cette droite , mais ils seront distincts l'un de l'autre ^ car le premier contiendra la tangente M T à la section quelconque MM'P, et le second la tangente NV à la section NN'Q. Or, comme la droite mobile , en passant de la position AMN à la position infiniment voisine A'M'N', doit nécessairement s'appuyer toujours sur ces courbas qui ont avec leurs tangentes un élément de commun , cette génératrice peut être regardée , dans cet intervalle, conmie glissant sur les tangentes MM' T, NN'V; et par conséquent celles-ci ne sauraient être dans un même plan, dès que les droites AMN et A'M'N' ne remplissent pas cette condition ; donc , enfin , le plan AMT ne

2l6 CHAPITRE XUI.

coïncide point avec le plan ANY, Concluons de là que, dans une surface gauche^ les plans tangents relatifs aux (Hivers points d'une même génératrice rectilîgne , passent tous par cette droite, mais sont distincts les uns des autres^ et chacun ne touche la surface «ju'en un points tandis que partout ailleurs il est sécant. Ces circonstances se présentent, par exemple, dans Thyperboloïde à une nappe et dans le paraboloïde hyperbolique.

274. Au contraire;, quand la surface réglée sera déve^ loppable, c'est-àrdire qu'elle sera engendrée par une droite assujettie à se mouvoir de telle sorte que deux positions consécutii^es soient toujours dans un même plan, alors les plans tangents AMT et ANV coïncideront

Fio. 34. complètement; cai les deux tangentes MT et NV, ayant chacune un élément MM' ou NN' commun avec les courbes MP ou NQ , s'appuieront nécessairement sur les deux génératrices infiniment voisines AMN et A'M'N', Or, comme celles-ci sont, par hypothèse, dans un même plan , les tangentes MT et NV rempliront aussi cette condition, et par suite les plans tangents AMT et ANV se confondront l'un avec Tautre. Ainsi ^ dans une surface déi^eloppablcj c^est un seul et même plan qui touche la surface tout le long de chaque génératrice rectiligne.

275. Comme les diverses génératrices A , A', A", . . . (fiS' 34) sont ici deux à deux dans un même plan, il est évident qu'elles se couperont consécutivement en des points m, 7w', m" y. . ., qui formeront une courbe à laquelle chacune des génér^lrices sera tangente, et que Ton nomme arête de rehroussement de la surface développable.

Dans les cylindres, cette arête de rehroussement est tout entière à Tinfini \ et ditns les cônes , elle se réduit à un point , qui est le sommet.