DBS PLANS TANGENTS AUX SURFACES COURBES

276. Enfin, puisque les éléments superficiels (*) compris entre A et A', A' et A'', . • . sont plans ^ on pourra faire tourner successivement chacune de ces faces autour de la droite qui lui est commune .avec la suivante , et les étendre tontes sur un plan , sans que la surface ait éprouvé de fractures. Elle sera ainsi développée, en conservant la même superficie; et la dénomination de surface développable dérive de cette propriété, qui , évidemment, ne saurait appartenir aux surfaces gauches (n^ 273), quoiqu'elles soient aussi réglées. Pour compléter ces notions succinctes, nous renvej^rons aux livres III et Vil du Traité de Géométrie descriptwe.

{*) Il faut 86 garder de donner le nom d'éléments aux généralrices, car toig'ours les i&Iémouts d'une grandeur doivent être homogènes avec eelle>ci ; ainsi Içs éléments d'une surface sont d'autres petites surfaces.

2l8 CHAPITRE XIV.

Génération des Surfaces par le mouvement d^une ligne assujettie à glisser sur une ou plusieurs directrices.

277. Nous avons déjà rencontré , dans ce qui précède, divers exemples de surfaces engendrées par une droite ou par une courbe , qui , en changeant de position et même de forme, s'appuyait constamment sur une ou plusieurs directrices fixes \ il sera donc facile maintenant de généraliser les considérations qui nous ont servi dans ces cas particuliers, et de les étendre à une génératrice représentée par les équations

(0 / (-^jrj^jajêjv,.. .) = o,

U espèce de cette courbe est déterminée, parce que les fonctions^ et yi sont censées connues de forme; mais comme elles renferment n constantes arbitraires , ou paramètres "variables a , 6 , 7 ? • • • ? la position , les dimensions , la courbure de la génératrice changeront , en général , avec les diverses valeurs que Ton attribuera à ces paramètres. Or , si l'on faisait varier ceux-ci d'une manière arbitraire et indépendamment les uns des autres, la ligne mobile parcourrait un lieu solide, qui pourrait même souvent remplir tout l'espace*, car en supposant d'abord que a seul varie, et éliminant cette quantité entre

GÉNÉBATION DES SUHFACES, CtC. SIQ

(i) et (a), on aurait un résultat

qui conviendrait à toutes les positions de la génératrice correspondantes aux diverses valeurs de a :mais ce résultat lui-même représente une infinité de surfaces aussi rapprochées qu'on voudra les unes dew autres, et qui s'obtiendront en faisant varier de zéro à ±l<x> , d'abord 6, puis 7 5. t . (*). Par conséquent, Ton n'obtiendrait ainsi aucune surface déterminée; au lieu que si l'on assu* jettit la ligne mobile (i) et (a) à s'appuyer constamment sur »— -I directrices' données, ces conditions établiront entre les n paramètres, n— i relations qui n'en laisseront plus qu*un d'arbitraire , et le mouvement de la génératrice sera complètement réglé.

S78. Soient , en effet,

{*) Par exemple , le cercle représenté par

^«^(,-.6)« = R* — a», X— a = o, doooe f par Pélimination de a, Péquation

*« -hr* •+•(*- 6)* = R%

qui appartient à une infinité do sphères d'un rayon constant, et dont les centras, situés sur Paze des s, s'obtiennent en faisant yarier 6 de zéro à zb 00 ; donc cette équation convient à tous les points du solide cylindrique qui a pour axe OZ , et pour rayon R. De môme , le cercle mobile

conduit à l'équation

laquelle appartient à tous les points de Vespaee indéfini qui se trouve en dehors de la sphère du rayon R , et dont le centre est à l'origine des coor* données.

les équations de la première directrice. Pour exprimer que la ligne mobile a , dans toutes ses positions^ un point de commun avec cette directrice , il faut écrire que leurs quatre équations sont satisfaites par un même système de valeurs attribuées k x^ jr^ z-^ or cela exige qu^en éliminant ces trois coordonnées entre les équations (i), (^), (3) et (4) 9 Téquation finale , qui sera de la forme

soit vérifiée par les valeurs qu^on attribuera aux constantes a, S, y, ... : par conséquent, cette équation de condition établit déjà entre les paramètres la dépendance nécessaire pour que la génératrice s^appuie constamment sur la première courbe assignée. Mais cbaque nouvelle directrice fournira semblablement une relation entre « , S , 7? • • • 9 de sorte que pour représenter complètement la génératrice s'appuyant sur les » — i directrices, il faudra prendre le système des n+i équations suivantes:

(2) /^{xyX.Zy a, 6,7,...) = o,

*(aj6,7? ) =0,

Or , comme il n'y reste plus évidenmient qu'un seul paramètre ,' a par exemple , qui puisse recevoir des valeurs arbitraires , il s'ensuit que , pour obtenir le lieu de toutes les positions de la génératrice , on devra éliminer a entre les équations (i) et (2), après y avoir substitué les valeurs des autres paramètres en fonction de celui-ci ; ce qui revient à dire qu'il faudra généralement éliminer les n constantes a , 6, y, . . . entre les » H- 1 équations précédentes.

GÉNÉRATION DES SURFACES, etC. ^ll

D^ailleurs, comme le résultat de cette élimination sera une équation unique où il n^ entrera plus aucune arbitraire, il en résulte que la courbe mobile aura bien décrit, dans son mouvement, une surface déterminée.

279. Dans le cas assez fréquent où Ton n'assigne ifûCune seule directrice,

et où par conséquent la ligne mobile ne doit renfermer que deux paramètres arbitraires, cette génératrice sera représentée, dans une position quelconque, par le système

Ai^yX^ «> «> S) =o>

* (a , 6) =: o, ou bien 6 = ^ (a).

De sorte que si l'on résout les équations y= o , yj=o, par rapport aux constantes , il s'agira d'éliminer a et S entre trois équations de la forme

ce qui donnera pour l'équation de la surface

(6) p = y (a) , ou bien * (m , ç)-=io.

Remarquons ici que uelu désignent deux groupes en x, ^, z , qui ne changeront jamais pour toutes les surfaces d^une même famille j c'est-à-dire pour celles qui, admettant la même génératrice [/*, yi], ne di fièrent l'une de l'autre que par l'espèce de la directrice [F, Fi]; tandis que la fonction Q), qui dépend évidemment de F et de Ft, changera avec chacune des surfaces individuelles de cette famille. Ces distinctions vont s'éclaircir par les exemples suivants.