Surfaces cylindriques. Elles sont engendrées
222 CHAPITEK XIV.
par une droite mobile qui reste parallèle à une direction donnée , eu glissant sur une directrice fixe
V{x, 7, z) = o, F, {xy jTy «) = o ;
par conséquent , la génératrice aura des équations de la
forme
a?=/?ïz4-a, y =z nz -{- ^y
dans lesquelles m et n seront des constantes données et invariables, tandis que a et 6 seront les paramètres arbitraires 5 mais ceux-ci seront liés entre eux par une relation ê = (f (a), qui, dans chaque exemple, se déduira, conmie nous Pavons dit, des quatre équations précédentes par l'élimination des coordonnées. Ainsi les éqttations (5) deviendront alors
X — mz = a, jr — tiz = 6 , 6 = ç (a) ;
et en éliminant a et 6 entre ces trois dernières , la surt face cylindrique sera représentée généralement par
(7) j — . Tiz ±= <p (x — mz).
On voit qu'ici lés quantités u et i^ sont les binômes X — mz et y — nz^ qui resteront de même forme pour tous les cylindres possibles , tandis que la fonction 9 changera avec la directrice particulière qu'on aura adoptée.
281 . Appliquons cette méthode au cylindre qui aurait pour directrice Tellipse
Pour exprimer que la génératrice
X = mz H-a, ^ = /8z-|-6 a toujours un point de commun avec cette courbe, on
GÉN^RATtON DES SURFACES, CtC. 223
élimine x^ y^ z entre ces quatre équations, et l'on obtient la relation
laquelle tient lieu de 6 = <p (a) ^ puis , sans la résoudre par rapport à 6, on élimine a et S entre les trois dernières équations , et il vient pour le cylindre demandé
282. L'équation des cylindres, sous la forme (7), est dite Y équation en quantités finies ; mais on peut en obtenir une autre qui soit même indépendante de la directrice, ou de la fonction y qui seule caractérise cette courbe dans chaque cas particulier. Pour y arriver, j'observe que l'équation
renformant deux variables indépendantes ^ x et j^, peut être différentiée successivement par rapport k x et z^om
par rapport k y ei z\ donc , en déjsignant toujours —
et — par p et q^ et par ç' la dérivée de la fonction (f , «y
on obtiendra
— np = (i — mp).<f' {x — wz),
I — nq z=: — mq . <p' (j? — /wa).
Or, entre les trois équations précédentes, on peut éliminer f et y' qui seules varient pour diverses surfaces cylindriques ; et même , comme les deux dernières ne contiennent que f ', si on les divise Tune par l'autre, on aura
np I — mp
I — nq mq ^
^24 CHAPIT&C XIY.
d'où l'on tire
(8) mp -h nqz= i,
équation aux différences partielles qui couvient à toutes les surfaces cylindriques , quelle qu'en soit la directrice.
283. On aurait pu obtenir directement l'équation (8) en exprimant que dans ces surfaces , les dii^ers plans tangents, dont chacun renferme (n** 272) une génératrice du cylindre , sont tous parallèles à la droite
En effet, si l'on applique à l'équation générale du plan tangent j)Our une surface quelconque ,
«' — « = ^ (j?' — J?) -h ^ (jr' — j) = o ,
la condition trouvée au n^ 45, on obtient pour le caractère général de tous les cylindres ,
mp -i- nq — i = O ,
relation identique avec l'équation (8).
284. L'équation (8) peut servir plus commodément que la formule (7) , à reconnaître si une surface donnée L = est cylindrique ou non. Pour cela , on tire des équations
dh dL dL dL
les valeurs des dérivées p et q, pour les substituer dans (8), et il faut évidemment que le résultat
, . (IL rfL , dL
soit vérifié pour tous les points de la surface L , c'est-àdire quelles que soient les valeurs de a:, j^, z -, mais comme on ne connaît pas à priori les quantités m et n^
GÉNÉRATION DES SURFACES, CtC. 225
on égalera à zéro les coefficients des diverses puissances des coordonnées , et Ton examinera si Ton peut satisfaire à ces conditions par des valeurs réelles de m et de n.
Admettons, par exemple, que L = o soit Féquation générale des surfaces du second degré 5 alors l'équation (9) deviendra
et comme ce résultat doit être vérifié pour toutes les valeurs de x^ y^ z ^ il faudra poser
Cm -f- C'n -h C" = o :
de sorte qu'en calculant m et n par les deux premières de ces équations , et les substituant dans les autres , on aura , pour exprimer que la surface du second degré est cylindrique , les deux conditions
AB^ -h A'B'» H- A'^B"^ — AA'A'^ — 2BB'B'' = o, C (A' B' — BB'O -f- C (AB — B'B'^ -h C" (B"^ — AA') = o ,
qui conviennent eflfectivement aux trois genres de surfaces dont nous avons parlé dans les n°' 245, 246 et 247. 285. Quelquefois on n'assigne pas immédiatement la courbe directrice d'un cylindre , mais on exige qu'il soit circonscrit à une surface donnée £=05 alors il faut commencer par chercher la ligne de contact de ces deux surfaces. Or, pour tous les points de cette ligne, les plans tangents seront communs^ et par suite les dérivées p et ^, qui seules déterminent l'inclinaison du plan tangent, devront avoir les mêmes valeurs dans le cylindre et dans
226 CHAPITRE XTV.
la surface L. Par conséquent, si des équations
dL dL ^L dL
— -( p = o, H — q ^zi o y
dx dz dy dz
ou tire les valeurs de ^ , q^ pour les substituer dans Téquation (8) , cette dernière devra être satisfaite , et l'on aura, comme ci-dessus,
rfL rfL d\.
Mais ici cette relation n'est plus vraie pour des valeurs quelconques de x^ y^ z\ elle ne subsiste que pour les points de la ligne de contact cherchée, et c'est seulement l'équation d'une surface qui contient cette courbe. Or, comme la surface proposée la contient aussi , il s'ensuit que l'ensemble des équations (9) et L = o, détermine complètement la ligne de contact , qui devient alors la directrice représentée au n® 280 par F = o et Fi =05 ensuite le reste du calcul s'achèvera comme dans cet article.
286. Cherchons, par exemple, le cylindre qui serait circonscrit à l'ellipsoïde
Ajc* + Ay + AV = I,
et dont les génératrices auraient toujours une direction marquée par les constantes données m et n. La courbe de contact sera déterminée par l'équation précédente , jointe à l'équation (9) qui devient ici
kmx -h È^ny -f- A"« = o ,
et ce résultat s'accorde avec ce que nous avons trouvé n** 263. Cela posé, en combinant ces équations avec
ciNÉRATION DBS SlIlcFACES y etC. 227
pour éliminer x, y^ z^ on obtiendra h relation qui doit exister entre a et 6 , savoir,
[ko? -4- A'e» — i) (A/w» H- AV 4- A") = (Ama -f- A'w^)» ;
puis il reste à substituer ici les f aleurs de a et 6 tirées des équations de la droite, ce qui donne peur Téquation du cylindre
[A(^ — mzf 4- M ix-^n&y — i] {A/»> 4- A'«» 4^ A'') = [A/w {x — mz) 4- A'tî (jr — nz)Y,
Mais, parmi les diverses réductions que peut subir ce résultat, nous adopterons la transformation suivante : si au second membre on ajoute la quantité A"z — A"-», il deviendra
[{Amx 4- A'/îjr -H A''«) — {^^^ H- -^'«* + A'') z]\
Or, en développant le carré de ce binôme, puis transposant les deux derniers termes dans le premier membre de l'équation du cylindre , celle-ci prendra , après quelques réductions évidentes, la ferme remarquable
{Ax' 4- Ay 4- A''a» — i) {Am' 4- A'«» 4- A'' ) = {kmx 4- A V ■+■ A"«)% par laquelle on voit manifestement que ce cylindre touche rellipseïde le long de la courbe située dans le plan
Amx 4- A'/ij 4- A"» = o.
D'ailleurs, si l'on désigne par R le demi-diamètre de l'ellipsoïde , qui serait parallèle aux génératrices du cylindre, sa longueur s'obtiendra évidemment en combinant les
équations
R2=:x*4-r* 4- 2% x:=:mz^ y^=nz
avec celle de l'ellipsoïde ^ ce qui conduit à
m^ 4- n» 4- I "^ Aiw* 4- AV 4- A"'
On pourra donc introduire ce rayon vecteur dans l'équation du cylindre 5 et même si, pour plus de symétrie, on appelle i , fx , v , les angles qu'il fait avec les axes , on aura, comme on sait, «
ces X ces a
iW = , /i = i-,
cos V cos V
et l'équation du cylindre deviendra enfin
Ax* -H A>* -h A"«* —- I =r R« ( Ax cos X -+- A> cos /x H- A*« cos m)*.
287. Surfaces coniques. Elles sont produites par le mouvement d'une droite qui , passant toujours par un point fixe (a , ft , c) , s'appuie constamment sur une directrice donnée
Par conséquent , la génératrice sera représentée ici par
mais il faudra (n^ 278) y joindre une relation 6 = y (a), qui, dans chaque exemple particulier, s'obtiendra par l'élimination des coordonnées x^ y^ z entre les quatre équations précédentes , et alors les trois équations (5) deviendront
z C z C TV/7
de sorte qu'en éliminant a et 6 entre ces dernières , Téquation générale des surfaces coniques sera
(lo) -^ = ç( ).
Lorsque le sommet sera situé à l'origine des coordonnées,
CENKRATION DES SURFACES, etC. 220
cette équation se réduira à
ce qui revient à dire que des trois quotients -, -, -,
deux quelconques sont fonction Tun de l'autre ; et par conséquent F équation sera homogène,
288. Prenons pour exemple un cône dont le sommet aurait pour coordonnées a, b ^ c , et dont la directrice serait l'ellipse
En éliminant x^ j^ z entre ces équations et celles de la génératrice
X — «=ra(z — c) y y — ^=ê(z — c),
on aura la relation qui doit exister entre a et 6 , savoir,
puis éliminant a et 6 entre les trois dernières équalions , il viendra pour l'équation de la surface conique ,
On pourrait en déduire le cylindre trouvé n^ 281 , en divisant les deux membres par c', puis posant
— = 7», — •=z n et c=^oo.
ce
