Si la surface L = o est un ellipsoïde représenté par

iU= 4-Ay -f- AV = I,

232 CHAPITEE XIV.

la courbe de contact sera déterminée par cette équation jointe à la suivante

(12) Aa:(a: — a) -h A!y{y — ^) -h h!'z{z — c) = o ;

mais celle-ci , combinée avec la première , donne

(i 3) kax -+- Mby + M'cz =z i ,

ainsi nous pouvons employer (12) et (i3) pour définir la ligne de contact.

Cela posé, il faut exprimer que la génératrice a toujours un point de commun avec cette courbe , en éliminant or, y y z entre les équations (12), (i3) et les suivantes

X — a-=:aL[z — c) , y — ^ = 6(z — c) :

or, si Ton substitue d'abord les valeurs des seuls binômes X — a et y — b dans (12), cette équation deviendra

(i4) Aa:c -f- M^y -h A!'z = o ;

et alors l'élimination de a:, j^, z entre (i3), (i4) et les équations de la droite s'effectuera aisément , et donnera la condition

(Aa* -I- A'6» -+- A" ) (Aa« + A'6« h- A^c» - i ) = (Aaa -h A'46 -f- A^c)*.

Il reste maintenant à substituer ici les valeurs de a et 6 , tirées des équations de la génératrice , ce qui donne pour la surface conique demandée ,

[A(x— «)»-+. A'(jr— è)« 4- A'\z^c')]{Aa^'hA'b' 4-AV— i) = [Aa(^— û)-f. A'b{y — b)-h A'V(z — c)]= ;

mais si Ton observe que le second membre peut s'écrire

[{Aaa: -f- A'by -f- A'Vz -- i) — (Aa^ -h A'b^ + A'V — i)]%

puis , si l'on développe le carré de ce binôme , et que l'on

GÉNÉRATION DES SU&FACES, etC 233

transpose les deux derniers termes dans le premier membre , Téquation du cône deviendra , après quelques réductions évidentes ,

{kx^ + Ay -h M'z^ — i) {Aa^ + A!b^ -h M'c" — i ) = (Afla?4- Mby-^- M^cz— if.

Sous cette forme, on voit manifestement que le cône touche l'ellipsoïde le long de la courbe plane représentée par Téquation (i3). D'aiUeurs, en appelant S la longueur de la droite qui joint le centre de l'ellipsoïde avec le sommet du cône , et R la portion de cette ligne qui forme un demi-diamètre de l'ellipsoïde , on trouvera aisément que le coefficient constant du premier membre a pour valeur

C2 lpt2

ka^ -H Mb^ -h A"c» — i = , .

294. Surfaces de révolution. On les définit ordinal- Pig. 35. rement comme produites par le mouvement d'une courbe MM', qui tourne autour d'un axe fixe AC , de telle sorte que chaque point M décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe 5 et dont le centre est sur cet axe : cette génératrice MM' ne coïncide avec le méridien de la surface , qu'autant qu'elle est tout entière située dans im plan passant par AG. Mais, d'après cette définition, les surfaces de cette classe n'admettraient point une génératrice d'une espèce constante, puisque la courbe MM' changera avec chaque surface individuelle \ au lieu que si Von regarde la surface comme engendrée par un cercle CM , dont le centre se meut sur AC , tandis que son plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon croit ou décroît de manière que la circonférence rencontre toujours la courbe MM', alors le cercle mobile devient une génératrice d'une espèce constante et commune

234 GHAPITRC XIV.

à toutes les surfaces de révolution, et la ligne MM' n'est plus qu'une directrice variable qui distingue chaque surface particulière. Exprimons donc par l'analyse ce second mode de génération , qui d'ailleurs est une suite nécessaire de la définition primitive.