Représentons la directrice MM' par
et l'axe de révolution que nous supposons mené d'un certain point (a , i , c) dans une direction connue , par
alors un quelconque des parallèles de la surface pourra être regardé comme l'intersection d'un plan perpendiculaire à l'axe AC , avec une sphère dont Je centre serait sur cette droite \ par conséquent ce cercle aura des équations de la forme
(i5) mx -h njr -h z = 6 ,
(i6) {x — ay -f- (r — ày -h (2 — c)» = a.
Cependant , pour qu'il soit véritablement un parallèle de la surface, il faut y ajouter une relation
propre à exprimer que ce cercle a , dans toutes ses positions, un point de commun avec la directrice MM'; et cette relation s'obtiendra , dans chaque exemple , en éliminant x^y^ z, entre les quatre équations (i5), (i6), F = o et Fi = o. Cela posé , il restera à éliminer a et 6 entre les trois équations de ce parallèle , et l'on obtiendra pour la surface de révolution ,
(17) 2 H- /war -f- /ï^ = (p [(o? — ay + (jr — bf H- (z — tf)'].
GÉNÉRATION DES SURFACES, CtC. 235
296. Lorsque Taxe de révolution est pris pour l!axe des z , on a m = o , /» = o^ et comme alors on peut placer le centre (a, i , c) de la sphère à l'origine même , l'équation précédente se réduit à
laquelle pourra toujours ^re ramenée à la forme
Mais, dans ce cas particulier qui arrive fréquemment, il est plus simple de regarder immédiatement chaque parailèle comme l'intersection d'un cylindre droit avec un plain perpendiculaire, c'est-à-dire de prendre, au lieu des équations (i5) et (i6), les suivantes
et en y joignant toujours la relation 6 = ç (a), qui s'obtiendra comme ci-dessus , on arrivera directement à
297. Prenons pour exemple la surface décrite autour de l'axe OZ , par la droite quelconque
Ces équations , qui remplacent ici F = o , Fi = o , étant combinées avec cellçs d'un parallèle
a = 6 , x* H- ^' := a , donneront , par l'élimination des coordonnées , la relation
(A6 + hy -h (B6 -f- ^)» = a ;
et si entre les trois dernières équations , on élimine a et 6, on trouvera pour la surface demandée
(Az 4- A)' -h ( Bz -h ky = jc» -f. y^^
OU bien
x'-h y' -- (A* + B>» — 2{AJi -f- Bk)z = A' 4- k\
résultat qui appartient évidemment à un hyperboloïde à une nappoy dont le centre situé sur l'axe OZ , est facile à déterminer. Au surplus, si Ton conçoit qu'on ait pris pour axe des x la plus courte distance de Taxe de révolution à la droite mobile , celle-ci se trouvera parallèle au plan YZ, et il faudra poser dans ses équations A = o, A; = o ^ de sorte que l'équation de la surface devenant
se trouvera rapportée à son centre. D'ailleurs on voit que le méridien de la surface est effectivement une hyperbole
7=0, a?* — • BV = A%
dont le demi-axe réel est la quantité h qui mesure ici la plus courte distance des trois droites données. {Voyez Géométrie descriptive, n** 140.)
298. Nous ne nous arrêterons point à appliquer cette méthode à un méridien elliptique , tel que
ou à une hyperbole, une parabole j car on retrouverait ainsi l'ellipsoïde , l'hyperboloïde.... de révolution : mais nous considérerons plutôt la surfax:e annulaire produite par un cercle tournant autour d'un axe OZ qui, sans passer par le centre , est néanmoins situé dans le plan de ce cercle : c'est le tore , qui se rencontre dans plusieurs épures de Géométrie descriptive. Représentons donc ce méridien circulaire par
GÉNÉRATION DES SURVAGES, etC. 33y
puis, combinons ces équations avec celles d'un parallèle
pour éliminer jc, j*, «, et nous obtiendrons la relation
ensuite , éliminons a et 6 entre les trois dernières équations, et nous aurons pour la surface annulaire proposée
Cette équation qui, après la disparition des radicaux, se trouvera du quatrième degré , mais qui peut être discutée aisément sous la forme actuelle , présentera un noyau vide autour de Taxe des z , ou bien une espèce d'entonnoir formé par la nappe intérieure, suivant que Ton aura
/>R ou /<R.
299. Cherchons maintenant V équation aux différences partielles des surfaces de révolution, en éliminant la fonction (f de Téquation
(17) z-h nw: -h «/ = ^[{x^ay + (r — ^)' + (^ — <^)']-
Or, si l'on diflFérentie successivement par rapport à x et Zj et par rapport à j* et z, on obtient
puis, en divisant ees dernières équations membre à
CHAMTKK XIV.
membre ,
il vient
p-hm
h-Jrqiz-^
cY
d'où Ton tire
(i8) ;t? [r — ft — «(« — c)] — 9 [x — a — m (« — c)] = Il {x— a)-^m(r — *)•
300. Si l'axe de révolution coïncide avec OZ, nous avons déjà dit (n** 296) que l'on devait annuler m , /i , a , i, c, de sorte que l'équation précédente se réduit à
pX — qx=:o:
c'est ce qu'on trouverait immédiatement en différentîant comme ci-dessus la dernière équation du "hî^ 296.
301. On pouvait arriver à ces deux résultats en exprimant que dans cette classe de surfaces, ia normale "oa toujours rencontrer Vaxe de rés^olution. Pour justifier cette dernière assertion, il suffit d'observer que, quel que soit le uiéridien, le plan tangent dans un point quelconque renferme nécessairement la tangente au parallèle. Or, cette droite étant évidemment perpendiculaire au rayon du parallèle et à l'axe , qui sont tous deux dans le plan méridien, se trouve donc perpendiculaire à ce plan ; d'où l'on conclut que, dans*^ toute surface de révolution, le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact. H en résulte que la normale sera contenue dans ce plan méridien^ et, par suite, elle ira rencontrer l'axe de la surface.
Gela posé , la normale à une surface quelconque étant représentée (n° 270) par
a:' — x-4-/?(z' — z)=zo, /' — r -»-^(«' — «) = <>>
il faudra , pour qu'elle aille rencontrer l'axe des z que nous supposons l'axe de révolution, que les équatmis
GÉNÉRATION i)E& SURFACES, ete. 289
précédentes fournissent une même valeur de z' quand on y posera a:' = o et j^' = o ; or, en égalant les deux valeurs de z' données par cette hypothèse, on trouve
- = ~, OU px — gx = Oy P 9
résultat identique avec Téquation citée au n** 300. On parviendrait semblablement à Téquation (i8) , en combinant les équations de la normale avec les suivantes
.r' — a-=zm[z' — c), y' — b:=n{z' — c),
qui ont servi (n^295) à représenter l'axe de révolution dans une position quelconque.
302. L'équation (i 8) aux différences partielles, peut servir à reconnaître si une surface donnée L = o est de révolution; car les valeurs des dérivées p et ^, tirées de
dJa dl. dh dh
devront vérifier l'équation (i8), quelles que soient les coordonnées x^ y^ z-^ par conséquent, il faudra, après cette substitution , égaler à zéro les coefficients des diverses puissances de ces coordonnées , ce qui fournira entre les constantes inconnues m , n^ a , & , c un certain nombre d'équations , qui devront s'accorder pour que la surface soit de révolution. Cette marche, appliquée à l'équation générale du second degré , ferait retomber sur les conditions que nous avons obtenues autrement dans les n^" 253 et suivants.
303. Lorsqu'au lieu de donner immédiatement la génératrice d'une surface de révolution, c'est-à-dire la courbe M M' qui est véritablement la directrice du cercle mobile, on exige que la surface cherchée soit circonscrite
24o CHAPITRE XIV.
aune surface connue L = o, il faut encore commencer par déterminer la ligne de contact. Or , en chaque point de cette courbe , le plan tangent sera évidemment commun aux deux surfaces \ ainsi les dérivées pet Çy déduites de L = o, et substituées dans Téquation (i8), devront la vérifier, du moins pour tous les points de cette courbe^ donc , après cette substitution , Tensemble des équations (i8) et L = o représentera complètement la ligne de contact, et en la prenant pour la directrice de la surface de révolution, on en fera le même usage que des équations F=o,Fi=o, dun<>265.
Effectuons les calculs pour le cas où Taxe de révolution coïncide avec OZ, et où par conséquent Téquation (i8) se réduit à
en y substituant les valeurs de ^ et de ^ , tirées de L = o qui donne
dL dL dh dL
on obtiendra pour les équations de la ligne de contact
dL dh
304. Par exemple , dans un ellipsoïde dont les diamètres principaux seraient parallèles aux axes coordonnés, la courbe de contact serait représentée par le système
A(x — <i)»-f-A'(/— ^)»-|- A"(a— c)» = I, (A — A/)xy — Aajr -h A^bx = o.
Cette ligne serait donc ici à double courbure ; mais si A = A', Tellipsoïde devient lui-même de révolution , et la
GKNiBATION DES SUAVAGEâ, etC. ' 34.1
dernière équation se réduisant à
elle représente un plan passant par Taxe OZ et le diamètre vertical de Tellipsoïde: par conséquent;, la ligne de contact ne sera autre chose qu^un des méridiens de cet ellipsoïde, et en tournant autour de OZ, elle engendrera une surface annulaire différente de celle du n? 298,
Si l'on veut achever le calcul , on combinera les équations de ce méridien elliptique
avec celles d'un parallèle
pour en éliminer a:, j, ^, et l'on trouvera entre a et 6 la relation
dans laquelle nous avons posé D = ^a* -f- é' ^ puis, en y «substituant les valeurs de a et 6, il viendra pour l'équation de cette surface annulaire à méridien elliptique
305. Surfaces conoïdes. On appelle ainsi les surfaces engendrées par une droite mobile assujettie à rester parallèle à un plan donnée et à s'appuyer constamment sur UNE DjiOiTEjixe OA et sur une courbe quelconque DM. Fig. 36. Nous prendrons toujours le plan directeur pour le plan coordonné XY, et en coupant les deux directrices par divers plans horizontaux, puis joignant par des droites les points de section correspondants C et M,.C et M',. ••9
'i/^^ CHAPITRE XI V.
on obtiendra autant de posiliohs de la génératrice. La surface sera nécessairement gauche (n^ 273); car la droite CM, en passant à une position infiniment voisine CM', peut être censée glisser sur la tangente TMM'. Ainsi, pour qiie CM et CM' iussenl dans un même plan, il faudrait quie TM bt OA se trouvassent aussi dans un seul plan, circonstance qui ne saurait arriver, du moins pour toutes les tangentes , sans que la courbe DM ne soit tout entière dans un même plan avec OA; mais c^est là une hypothèse qu'il faut évidemment exclure, puisque alors le conoïde se réduirait à un plan unique.
306. Gomme la droite OA rencontrera nécessairement le plan directeur XT, nous pouvons placer Torigine des coordonnées à ce point de section (au surplus , pour une origine quelconque, on changera dans le résultat définitif, JC et ^ en X — h et jr — A); et les deux directrices données seront représentées par les équations suivantes :
(OA) X = mzj jr = /iz,
(DM) ¥{.T,jr,z) = o, F,(.r, j,3) = o.
La génératrice, qui doit être parallèle au plan XY, aura des équations de la forme
mais d'abord il faut y ajouter une condition qui exprime qu'elle rencontre toujours OA, et qui s'obtiendra en éliminant x^jyZj entre les quatre équations de ces deux droites , ce qui donne
Cette relation détermine déjà une des trois constantes arbitraires, y par éicèih^le, en fonction' des autres; et si l'on en profite pour éliminer immédiatenietit ce para*
GiNÉRATIOK DES SURFACES, etC. :^3
mètre, les équations de la génératrice deviendront
(CM) 45 = 6, y — /ï6 = a(x — m6). '
Ensuite , il faut exprimer que cette dernière droite s'appuie constamment sur DM , ce qui s'exécutera en éliminant j?, y, js, entre les deux dernières ^qùalibnà et celles' de DM5 et Ton obtiendra ainsi une nouvelle relation
qu'il faudra joindre aux équations de CM. Maintenant, il ne reste plus qu'un seul paramétre a qui puisse recevoir des valeurs arbitraires \ si donc on élimine a et ë entre ces trois dernières équations, il viendra pour la sur fac^ conoïde
(19) zr=:ifSfVL ).
307, Le conoïde est appelé droit y lorsque la directrice rectiligne OA se trouve perpendiculaire au plan directeur assigné; alors cette droite OA peut être nommée Vaxe du conoïde, et puisqu'elle coïncide avec OZ, il suffira de poser m = et n = o dans l'équation générale (19). Mais comme ce cas particulier se présente fréquemment, nous observerons qu'il est plus simple alors de prendre immédiatem^it . les équations de la' généra^ trîce sous la forme
z = €, jrz=z<xx^
parce qu'ainsi on exprime déjà qu'elle rencontre l'axe OZ du conoïde 5 il reste donc à écrire qu'elle rencontre ai^ai la seconde directrice DM, ce qui donnera, comme cidessus , une certaine relation
244 GttAPIlVE XlV*
puis, en éliminant a et 6 entre ces trois équations, an aura pour le conoïde droit
On doit même remarquer que le conoïde oblique ppurrait aussi être présenté sous cette forme, en prenant la directrice rectiligne OA pour l'axe des z , et traçant à volonté les deux autres axes OX, OY, dans le plan directeur; car pour de tels axes obliques, les équations de la génératrice seraient encore
30}î. Prenons pour exemple le conoïde de la^voûte ér arête en tour ronde, engendré par une horizontale Fie. 3;. qui s'appuie sm* OZ et sur une ellipse BCD dont le centre est sur 0X5 et dont les deux diamètres principaux sont parallèles aux axes OY^ OZ. En posant 0A;= /, AB := ô, AC 3= c, les équations de l'ellipse seront
^=^' ïi+?=-'î
en les combinant avec
pour éliminer X, y, z^ on obtient la relation
puis éliminant a et 6 entre les trois dernières équations, il vient
Lorsque Ton coupera cette surface par divers plans pa-
GÉNÉRATION DES SUKFAGES, etC. 245
rallèles à YZ, tels que x=ky on obtiendra évidemment des ellipses ayant toutes un axe vertical de grandeur constante, et qui deviendront des cercles quand on po-
cl , sera a: =±: ^. Si Ton choisit les plans sécants parallèles
à XZ, on trouvera des courbes du quatrième degré, fa-< ciles à discuter, et qui admettent deux asymptotes pa-* rallèles à OX.
309. Dans la voûte d^arète en tour ronde , on adopte souvent pour le cintre de la porte (*), la ligne à double courbure formée en roulant sur le cylindre vertical du rayon AO = /, le plan de Tellipse BCD, sans altérer la hauteur des divers points de cette courbe. Alors, si Ton compare deux points (x, y^ z), {x\ y\ z'), situés à la même hauteur sur l'ellipse et sur le cintre à double cour-^ bure , on aura évidemment
attendu que nous comptons les sinus dans le cerele qui a pour rayon Funité (voyez n^ 310). Par conséquent, en éliminant Vancienne coordonnée jr, les équations du cântre seront
si donc on les combine , en supprimant les accents , avec on obtiendra la relation
V^iH-
. = dn(iv'c.-e.),
{*) Voyez la Géométrie descriptive, 11^644, où nous ayons donné aussi les équations des courbes remarquables suivanl lesquelles ce coi\oide trjiverse le tore qui recouvre le bereeau tournant.
et enfin, rëlimination de a et 6 entre les trois dernières, donnera poùf Péqtiàtion du conôïde ,
Les sections faites dans cette surface, par des cylindres concentriques fiyçc OZ, seraient encore des ellipses enroulées sur ces cylindres , comme on le verra aisément en posant
'• 310. Dans l'escalier dit vis à jour, lorsque le noyau vide est circulaire j la surface inférieure est encore un ©otfoïde engendré par une droite honz&ntahifuis^ appuie constamment sur une hélice et sur raxe vertical du cylindre droit où est tracée cette eonrbe; Or, d'après la définition d'uGQc hélice (*) , les ordonnées verticales sont proportionnelles aux abscisses curvilignes comptées sur la b^edw cylindre y a: fAvùr dn point où Thélice. coupe eette>base; si donc on fait. passer l'as^ OY par. ce point, qu'on ladopi» pour OZ Taxe du cylindre, et, que l'on désigne par 5 l'arc de la base qui répond à un^foiat quelconque (x^ y^ -m) de' l'hélice, on aura les relations
a:» + j» r= R% X z= l^ïïr ir,
3irR
parce qu'en appelant h le pas de l'hélice, l'ordonnée z =z h doit correspondre à l'abscisse s = 27tR. Maïs ici s et siN s désignent un arc et un sinus comptés dans le cercle du rayon R; pour lies ramener, suivait l'usage, à
{*) Voxesïa Géométrie descriptive , d9, 446; et Tépure 125, qui représente Vhélicoïde gauche dont il s'^agtt ici.
GÉNiivATioN DES suarACES , etc. ^47
être mesurés xlans le cercle dont le myou égalerait Tunité, on observera qu'en appelant un arc compté dans ce dernier cercle, et semblaUe k s^ on aurait
s * = RO , SI» 5 = R sin ô = R sin — ;
de sorte que les trois équations primitives deviendront
x' -f- r' = R', 4? = R 9in — , - = ■ ;
^^ ' R' s 27rR'
et si , entre ces dernières ^ on élimine Parc 5 de la base, on aura pour représenter les trois projections de Tbélice ,
De ces équations , deux suffisent toujours \ ainsi , en adop* tant les premières, et les combinant avec celles de la droite mobile
nous obtiendrons la relation
— J= = sinfaTT-^);
puis éliminant a et S entre ces trois dernières équations, il viendra, pour la surface de Vhélicoïde gauche j
sjx^ -^y^
r= sin ( 27r - j , OU - = tang I 27r j j .
Observons que cette surface rampante est aussi celle qui termiue le filet d'une vu rectangulaire.
311 . Cherchons maintenant F équation aux différences partielles des surfaces conoïdes, afin d'éliminer de Ter
quation
, (y — nz\
la fonction (f , qui change avec la forme de la directrice curviligne^ car, quant à la première directrice, elle est de forme invariable , et toujours rectûigne dans tous les conoïdes. Diflerentions donc Téquation (19) , d'abord par rapport à xex z^ et ensuite par rapport ky et z^ et nous
aurons
— np (x — mz) — (jr — nz) (i — mp) ,
^ (x - mzy • ^ '
^ (' — ^y) (^ —^^) H- mfix — nz)
^^ = — (x - mzy ^ • V
puis, en divisant ces résultats l'un parTautre, la fonction (f ' disparait et il vient
p __ p{my — nx) — - (>• — n z)
q^ q {my — • nx) -^[x --mz)*
d'où l'on tire eni^ii
(20) p (x — mz)-\- q{x — nz) =: o.
Lorsqu'on prend la directrice rectiligne pour axe des z , cette équation se réduit à
(21) px-\-qx = o.
312. Quelquefois, au lieu d'assigner la seconde directrice du conôïde, on exige qu'il soit circonscrit à une surface donnée L = o ; alors il faut d'abord chercher la ligne de contact par le même principe que nous avons déjà employé dans plusieurs cas semblables (n*** 285 et 292 ) , c'est-à-dire exprimer que l'équation générale (20) est satisfaite par les valeurs des dérivées petq déduites de L = o. Ainsi, la courbe de contact se trouvera déterminée par le système des deux équations
L=:o, (ar--fli2)— .^f^•-.«z)— = 0,
CÉNÉ&ATIOF DSS SDBFAGBS, etC. 3^9
lesquelles tiendront^ Keu de F=o, Fi = o, employées au n« 306.
313. Si, par exemple, la droite mobile doit s'appuyer sur OZ , et toucher codstamment Fellipsoïde
A (^ — a)» -f- My^ -h K"z^ = i,
la courbe de contact sera représentée par l'équation précédente , jointe à celle-ci ,
kœ{jç — «) + A'^\= o j OF ce système équivaut au suivant,
Aj:' — r Aux 4- à!x ' = o ^ AV — Aflx= I— Aa'.
Ainsi la courbe de contact a pour projections une ellipse et une parabole ;; et" il sera aisé maintenant de trouver l'équation du conoïde qui passerait par cette courbe.
314. En terminant ce qui regarde les surfaces déterminées par une seule directrice , nous observerons que quand il s'agit de faire passer une de ces surfaces par une courbe donnée
F(j:, jr,z) = o, F,{^,^,z)=ro,
et que l'on veut partir immédiatement de l'équation générale du n° 279 ,
(6) ^ = tW,
propre à la famille de surfaces en question , les quantités u et f^ sont alors des groupes connus en or , j^, ^ , et il s'agit de déterminer la fonction y de manière qUe l'équation (6) se trouve vérifiée d'elle-même en y substituant les valeurs de deux des coordonnées , ^ et ^ par exemple , tirées de F = o et Fi = o. Pour cela, il suffit d'égaler le groupe u
25o CttAMITRK XIV.
à une quantité unique a , et d^élimnier x^ y^ z entre les quatre équations
Mzrra, p=:yfa), F = 0, F, = o;
on sera ainsi conduit à une équation de forme connue
qui , si on la résolvait par rapport à y (a) , ferait connaître la manière dont f {<£) est composée avec cl , et par conséquent aussi la forme de (^ {u) : mais , sans résoudre Inéquation précédente, il n'y aura qu'à y substituer pour cl et y (a) leurs valeurs u et i', et Ton aura pour Téquation de la surface particulière que Ton cherchait
Au reste, cette marche s'accorde évidemment avec celle que nous avons prescrit de suivre , au n^ 279 , dans chaque exemple particulier.
DES SURFACES AECLÉES, GAUCHES OU D^VELOPPABLES. 25 1
Pe^ Surfaces réglées , gauches ou dé^^loppables^
31 5« Jusqu'à présent les surfaces que nous avons étu-* diées n'admettaient qu'une seule âireotrice , ou si , comme dans les ponoïdes , il y avait deux directrices , Tune étiiit de forme constante «pour toutes les surfaces de cette far mille 9 et l'antre variait seule avec des diverses surfaces; ans^ l'équation fièie«i' = y (w) du li** 279 ne renfermait <][a' une fonction arbitraire i et par suite Féqûation aux différ^ices'partîélles, indépendante de cette fonction, ne s^élevait qu'au prérmer'^rdre^ comme on Ta vu dans les divers exemples précédeiits. Mais qu^nd on assigne plusieuPTs directrices ^ l'équartion de la surface renferme un pareil nombre de fonctions, ainsi qu'il résulte de la mé^ thode indiquée n*^ 278, et Inéquation au«^ différêtïees partielles est d'uiï ordre élevé , lequel surpasse en général le nombfedeB fonctions arbitraires^; car s'il Vagit, par exemple , d'une équation où entrent deux fonctions f et ^ , en difiérentiant deux fois , on se procurera en tout six équations y qttinei suffiront pas olxlinairement pouriéinniner ^, ç, <p" et t('^^^ ^"\ taadis qu'elles seront suffisantes dans certains cas, suivant la manière dont ces fonctions entre*ront dans l'éq^iation primitive. C'est ce qui va se vérifier dans les questions suivantes , où nous nous bornerons toutefois à traiter dès surfaces réglées, c'est-à-dire de celles qui ont pour génératrice une ligne droite.
25a CHAPITRE XV.
316. De la surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur deux directrices quelconques (Jï) et (IX ) j en restant constamment 'parallèle à un plan fixe.
Nous regarderons ce plan directeur comme étant le plan horizontal des x^ y^et pour construire la surface , nous FiG. 33. couperons les courbes (D) et (D') par divers plans horizontaux \ puis, en joignant les points de section correspondants par des droites, nous obtiendrons autant de positions MN, M'N', . • • de la génératrice. La surface sera gauche, en général; car lorsque la droite mobile passe^, en s'appuyant sur les courbes (D) et (IX ) > de la position MN à la position infiniment voisine M'N\ elle peut être censée glisser sur les tangentes MM'T, NN'V, qui ont avec ces courbes un élément de commun. Par conséquent , à moins de supposer que les directrices aient été choisies d'une manière si particulière que letft*s tangentes, pour des points situés â la mênie hauteur, se trouvent toujours deux à deux dans un même plan , il n'arrivera pas non plus que les positions consécutives MN, M'N', . . . . delà génératrice puissent remplir cette condition; ainsi elles formeront une surface gauche (n^ 273).
Les conoïdes et le parabojLoïde hyperbolique sont évidemment des cas particuliers de ce genre de surface.
