DES SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DKVELOPPABLES

Si donc on élimine a, 6, y, entre ces dernières équations et celles de la génératrice, on aura' pour Téquation gêné* raie des surfaces de cette famille

(l) X =zx(f{z)-h'^(z), ou Z=r^(p, (2)4- 7TJ;,(2).

Cette dernière forme ^ que l'on déduit aisément de la première , est plus symétrique , mais moins simple par rapport aux calculs qui vont suivre.

318. Pour obtenir l'équation aux différences partielles, indépendantes des fonctions (p et ^ , difierentions la formule (i) successivement par rapport kx et k y^il vient

d'où l'on conclut, par la division,

Comme il est arrivé ici que les fonctions y', i//, i|^' sont disparues à la fois, il suffira de descendre jusqu'au second ordre pour éliminer celle qui reste. Si donc , en adoptant les notations habituelles ,

d^^^' Sï^""/' 5^":''

on différentie l'équation du premier ordre, successivement par rapport à a? et à y, il viendra

qr—ps qs—-pt ,.

puis , en divisant ces résultats l'un par l'autre , on obtiendra pour l'éqi^tion qpmmuné à toutes les surfaces de ce genre , •

(2) q^r — %pqs 4-/?*/ = O,

254 GHAPIT&B XY.

3i9. Prenons pour exemple la surface engendrée par une droite mobile qui , demeurant horizontale, s'appuie constamment sur Fellipse et sur le cercle représentés par

(D) x = A, -L^-^i, Si Ton combine les équations de la génératrice

successivenient avec celles des deux directrices, on ob* tiendra les deux relations

et il s'agira d'éliminer a , 6 , y entre les quatre dernières équations^ or, si d'abord on élimine a et y, il vient

d'où il résulte, en éliminant 6 entre celle-ci,

Celaposé, siTon conserve aux radicauxdes deux membres le même signe, ce sera, exprimer que da droite^ mobile glisse sur les deux courbes, en passant toujours par deux points situes à! un même côté du plan XZ ^ car ces radicaux sont les valeurs de l'ordonnée y dans les deux courbes ; alors l'équation (3) se réduit à

{h — k)cy:=[{b '~-'c)x -k^ch — bk} \jc^ — «% qui représente le nuème<;onoïdeque nous avons déjà con-

biss sunirAdfes kéglées, gauchbs ou développables. 2S&

sidéré n^ 308. En effet , on doi^t apercevoir qu'ici toutes les génératrices iront percer le plan XZ en des points situés sur une même verticale placée en dehors des deux cofurbes^ par conséquent , la question peut être réduite à faire glisser la génératrice sur cette verticale et sur Tellipse.

Lorsqu'on adoptera des signes différents pour les radicaux de Téquation (3), eUe conduira encore à unconoï/de analogue, mais dont Taxe sera entre ks deu^L courbes, parce qu'alors on exprimera que la génératrice traverse le plan XZ entre les deux points où elle s'^puSe sur les directrices.

Observons que si ^ avant d'éliminer ê , on n'eut pas ré-^ solu les deux équations qui eontenaimt cette indéterminée , on serait tombé sur une équation du buitiàme degré,

qu^îl aurait fallu ensuite décomposer en deux facteurs , pour y reconnaître les deux surfaces distinctes que nous venons de signaler.

320. De jla surface q^vche engendrée par une droite assujettie à glisser sur trois dîreàtrices quelconques (D) , (D'),(D").

Observons d'abord que le mouvement de la génératï*iee est complètement réglé par ces conditions. En effet , si , après avoir pris sur la première courbe (D) un ' point Fig. 33. qudicfonque M , on imagine deux cônes ayant ce point poilr sommet commun, et pour bases, l'un la coufbe (D'), l'autre la courbe (D"), ces deux surfaces coniques ne pourront se couper que suivant une ou plusieurs droites j qui satisferont évidemment à la condition de s'appuyer sur les • trois dirisctrices ; et pour chaque pcânt M', M", . . . , pris suT^ la courbe (D), on obtient des résuttats'analoguès. Cela posé., si, parini toUf?^ ce^ droites , on

256 GHAPITRB XV.

ne considère d'abord que celles qui se rapportent à une même nappe de la surface, c'est-à-dire qui passent par des points voisins les uns des autres sur chaque directrice, on reconnaîtra que le mouvemeot de la génératrice , en glissant du point M aux points M', M'\ . . . , est unique et complètement déterminé.

321 . La surface ainsi obtenue sera gauche en général ; car lorsque la génératrice passe de la position AMNK à la position infiniment voisine À'M'N'R', elle peut être regardée comme glissant sur les trois tangentes MT, NV, RU, qui ont chacune un élément de commun avec la directrice correspondante ; ainsi , à moins de supposer que ces directrices aient été choisies d'une manière si particulière que, pour chaque système de points (M, N, R), (M', N', R'),. . ., situés en li^e droite, les trois tangentes sont toujours dans un plan unique, il n'arrivera

^s non plus que les génératrices consécutives AM et A' M' remplissent cette condition, et par suite la surface sera gauche (n° 273).

L'hyperboloïâe a une nappe est évidemment un cas très-particulier des surfaces dont nous nous occupons; c'est celui où les trois directrices sont rectilignes. {Voyez n* 149.)

322. Dans le cas général, la génératrice n'ayant à remplir d'autre condition commune k toutes les surfaces de cette famille, que d'être rectiligne, ses équations contiendront quatre paramètres arbitraires , et seront de la forme

mais il faudra y joindre les conditions propres à exprimer que cette droite a toujours un point de commun avec chacune des directrices (D), (Vl)y (ly')? ce qui fournira ,

DES SURFACIS EÉGLliES, GAUCHES OU DÉVELOPPABLES. 257

comme nous rayons vu u^ 278 , trois relations entre à, ê^ y y i, lesquelles peuvent être censées ramenées à la forme

puis il resterait à éliminer a, 6, y, â entre les cinq équations précédentes. Or, si d'abord on substitue pour 6, y, â leurs valeurs , il vient

(4) x=:a2-4-^Ka), (5) ^ = 2ç (a) 4- ir (a) ;

et quant à a , on ne peut Téliminer sans déterminer la forme des fonctions, c^ est-à-dire sans particulariser les directrices (D), (IV.), (D'') ; de sorte que pour conserver au résultat toute sa généralité, et le rendre applicable aux diverses surfaces de cette famille, il faut garder le système des deux équations (4) et (5) , en y considérant a comme une indéterminée qu'on devra éliminer plus tard, quand la forme des fonctions aura été fixée dans chaque exemple. Au surplus , il est évident que , sous ce point de vue, le système (4) et (5) équivaut à une seule équation en x, j", z.

323. Si Ton voulait obtenir Téquation aux dijpTérences partielles, indépendante des directrices , il faudrait, en différentiant le système (4) et (5), se procurer assez d'équations pour pouvoir éliminer a, ç, ^, ir et leurs dérivées successives. On y parviendrait ici en descendant seulement jusqu'au troisième ordre ^ mais comme le résultat est assez compliqué, et que nous n'aurions pas l'occasion d'en faire usage , nous renverrons à V Analyse appliquée de Monge , où cet auteur parvient au même résultat par d'autres considérations.

324. Prenons pour exemple la surface de la petite voûte que l'on nomme le Biais passé. Sur les côtés op-* posés d'un parallélogramme horizontal ABDC , on a dé-

crit deux demi-cercles verticaux, et Ton assujettit «ne FîG. 38. droite mobile MNP à glisser sur ces deux circonférences et sur la ligne OY menée par le centre du parallélo- ♦ gramme, perpendiculairement aux plans des cercles. Si l'on prend pour axes celte directrice rectiligne OY, la verticale OZ et la droite OX perpendiculaire aux deux premières, les équations des trois directrices seront

y = — b, (a: — a)' -f- z' = R% y = -^ b, {x -{- ay -h z' =: R^

La génératrice aurait, dans ses équations, quatre constantes arbitraires: mais si, pour abréger les calculs, nous représentons immédiatement cette droite par

on voit qu'elle remplit déjà la condition de rencontrer l'axe OY, et l'un des paramètres se trouve par là éliminé de suite. Il reste à exprimer que celte droite mobile s'appuie sur chacune des circonférences , ce qui fournira les relations

(8) [o:{b 4- 6) + ay -+- f{b -\- q^ = R%

(9) [«(* — €) + aY -h y'(b — 6)» = RS

lesquelles donnent , par la soustraction ,

On pourrait satisfaire à cette condition par 6=05 mais cette hypothèse exprimerait que la droite (6) et (7) passe constamment par l'origine , et décrit un cône en s'ap<T puyant sur la moitié supérieure d'un des cercles , et sur la moitié inférieure de l'autre. Or, cette manière de remplir les conditions analytiques du problème ne saurait