DBS SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DÉVELOPPAB^ES

convenir à la voûte en question ^ c^est pourquoi nous supprimerons le facteur 6 = 0, qui , combiné avec (6) , (7) ^^ C^)) f^^i'^it tomber sur Féquation de ce cône obli^ que , et nous garderons seulement la relation

en vertu de laquelle la formule (8) se réduit à

Cela posé^ il s'agit d'éliminer a, 6, y entre les deux relations (10), (11) et les équations de la droite mobile. Or, si de ces dernières on tire a et y pour les substituer dans (10), on trouvera

ax ' b{x^ -^ z^y

et enfin , ces valeurs de a et de 6 , transportées dans (11)9 donneront , pour l'équation de la surface ,

ou bien

(12) [axy + ft (or» -f- z') f = ^'R'^' + A» ( R' — «») z\

Cette surface, qui est; nécessairement gauche, a pour centre l'origine actuelle des coordonnées, puisque son équation ne renferme que des termes de degré pair; et d'ailleurs le plan des (a:, /) est un plan principal. Les sections faites par les plans coordonnés sont faciles à discuter.

325. En considérant seulement les projections sur le plan XY, des droites MNP, M'N'P',. . ., elles se coupe-

26o CHAPITftB XV.

ront nécessairement, et formeront, parleurs intersections consécutives , un polygone dont la limite sera une courbe, enveloppe de toutes ces droites , et touchée par chacune d'elles. Pour obtenir cette courbe, o» joindra d'abord à Téquation i

la relation trouvée précédemment ,

(il) {b^ — g») «a = b{h} — û*);

et en éliminant une des constantes <x, 6, on aura , pour la projection d'une^quelconque des génératrices,

de sorte qu'en attribuant ici à 6 diverses valeurs arbitraires, on pourrait construire autant d^ positions de la droite mobile , sur le plan XY. Cela posé , on sait Qvoyez n? 340) que pour obtenir la courbe formée par les intersections consécutives de toutes ces droites indéfiniment rapprochées, il faut dijBTérentier l'équation (i3) par rapport au seul paramètre variable 6 , ce qui donne

puis éliminer 6 entre ce résultat et l'équation (i3), ce qui condtdt a

^ ^^ ^ ^^ ^ ps — - o^

équation d'une hyperbole dont l'axe OY est une des asymptotes.