Les surfaces développabjles sont encore des sur
DES SURFACES REGLEES, GAUCHES QU D^VELOPPABLES. 261
faces réglées (n^ 274^ mais pour lesijueUes deux positions consécutives de la génératrice se troussent toujours dans un même plan; et cette condition est cause que deux directrices (D) et (D') suffisent (*) pour régler Fie. 34;. Ic mouvement de la génératrice rectiligne.^ En ç|fet, aoient
les équations de ces deux courbes. Si Tou prend sur la. première un point quelconque M pour lequçl -zr == a , et sur la seconde un point arbitraire N pour lequel z = 6^ la droite MN sera représentée par
(.6) ^ -*(«) = î(fi^)(, - a); ,
mais pour qu'elle soit une génératrice de la surface développable , il faut choisir le point N de manière que la tangente NV se trouvée dans un même plan ài^ec MT, parce qu'alors la droite MN , en passant à la position infiniment voisine M'N', pourra être censée glisser sur ces tangentes, et restera ainsi dans un même plan. Or, les équations des tangentes aux points M et N sont (n^ 264)
(MT) x--(ï»(a)=:ç'(a)(z — a), ^ — * (a)= *'(a)(z — a), (NV) :r->K6)=f(6)(z-6), j.-V (6)= ^'(6)(z-6),
et pour que ces droites se rencontrent , il faut (n*^ 25)
('*') Quant à la construction graphique de ces génératrices , voyez la. GfiQmétrie descriptive , n^ IQO.
ià62 CHAPITEE XY.
poser la condition-
Ainsi eette relation détermine € en fouctioB de a , c'està-dire le point N qui correspond à chaque position arbi** traire de M sur la courbe (D). Par conséqutot, si entre ' les équations (i5), (i6), (17) on élimine a et 6, on obtiendra Téquation de la surface dcveloppable. Cette élimination ne pourra, il est vrai, s'effectuer que dans chaque exemple où Ton aUra assigné la forme des courbes (D), (D')î et pour représenter généralement la surface dévçloppable , il faudrait garder le système des trois équations (i5), (16), (17), lequel est assez compliqué : mais nous avons voulu seulement montrer que deux directrices suffisaient ici, et nous allons parvenir à un système général' plus simple que le précédent.
327. Puisque dans toute surface développable les génératrices forment, par leurs intersectionjs successives (n** 275), une courbe mmW-.., nommée arête de FiG. 34. rebroussement, et à laquelle toutes ces droites sont tangentes, on peut toujours regarder une surface de ce genre conune engendrée par une droite mobile qui reste constan^ment tangente à une certaine courbe fixe. Soient donc
les équations de cette arête de rebroussement. Une de ses tangentes , dont le point de contact répond à ^ = a , sera représentée (n° 264) par
(19) X - >^(a) = f(a){«wa);
donc , en éliminant a entre ces deux équations , on ob-
DES SUAFACES REGLEES, GAUCHES OU DÉVBLOPPABLES. 26S;
tiendrait celle de la surface , lieu de toutes les tangentes : mais cette élimination ne pouvant encore s'effectuer qu'en particularisant les fonctions <p et (p ou les courbes D et D', on gardera le système (i8) et (19) pour représenter toutes les surfaces développables, en considérant a, dans la première équation , comme une fonction de x et de y, déterminée par la seconde.
328. Cette forme permet d'arriver aisément à l'équation aux différences partielles ; car si l'on différentie chacune des équations (18) et (19), successivement par rapport à X et à y y en se rappelant que la valeur de a qui devrait être tirée de l'une et substituée dans l'autre , serait une ibnction de j: et de y , on obtiendra
dx
Mais, en supprimant les termes qui se détruisent dans les
doi deux membres de ces équations ^ et éliminant {z — ^) j~
entre la première et la seconde , puis {z — «) -~ entre la
troisième et la quatrième , on obtiendra évidemment deux résultats de la forme
P =/(«), q =/(aJ,
c'est-à-dire où les variables x, y^ z n'entrent pas explicitement. Maintenant l'élimination de « peut s'effectuer^
^64 GHAPITftE XV ^
et elle conduit évidemment à
qui est T^équâtion aux différences partielles du premier ordre des surfaces développables , et où il n'entre plus qu'une seule fonction arbitraire dépendante de la forme des directrices ou de l'arête de rebroussement.
Enfin , pour faire disparaître cette dernière trace de la surface particulière , différentions l'équation (20). successivement par rapport à j: et à j', et il viendra
puis, en divisant ces résultats l'un par l'autre, on éliminera tout ce qui dépend de la fonction ir, et l'on aura
(ai) . r^— j» = o,
pour r équation aux différences partielles du second ordre j commune à toutes les surfaces développables.
329. Prenons pour exemple Fhélicoïde déi^eloppable engendré par une droite mobile qui reste constanunent tangente à une hélice donnée. En disposant les axes comme dans le n° 310,. cette courbe aura pour projections
« = R sin \-j-\ , r = R cos yir) '
et la tangçnte au point quelconque z = a, sera représentée par les équations (18) et (i g) du n*^ 327, lesquelles deviennent ici
/27ra\ 27rR , /aïraX , .
DES SURFACES RBGLiBS, GAUCHES OU D^VELOPPABLES. 265
Il s'agit donc d'éliminer a entre ces deux équations , pour obtenir le lieu de toutes les tangentes à rhélice. Or, si on les multiplie respectivement par le sinus et le cosinus qui y entrent, et qu'ensuite on les ajoute, on ^ura
d'ailleurs, en élevant chaque membre au carré, et faisant la somme , il vient , en ayant égard à la relation précédente ,
Maintenant, il est facile de tirer a de cette dernière équation , et en substituant dans l'autre on obtient , pour l'hélicoïde développable.
X Bm
^n^-^ R )-reoB(^^-*-V g j^R,
équation qui peut être résolue par rapport à z, et ramenée à la forme
2îrR^-HVj:»-h^»— R' = RapcUng ^^^^, .
On voit, d'après le radical qui y rentre, que la surface n'aura aucun point dans l'intérieur du cylindre sur lequel est tracée l'hélice , et qu'ainsi cette courbe est bien une arête de rebroussement pour les deux nappes de la surface , formées par les tangentes et par leurs prolonge-^ ments. La trace de la surface sur le plan des ocy est donnée par l'équation
. \Jj^ -f- r' — R* i/a?» + r' — R.'
X sm ~ -h Y ces ^- — = R,,
^66 , GHAPITEE XV.
OÙ l'on reconnaît la spirale , déi^eloppante du cercle , en remarquant que celte équation exprime que les coordonnées Xyy, d'un point de la spirale^ étant projetées «ur le rayon qui aboutit . au point où le cercle est touché par la projection de la tangente à l'hélice , font une somme égale à ce rayon. Pour étudier davantage cette surface intéressante , nous renverrons à la Géométrie descriptwe, n«456.
330. Il est une troisième manière d'exprimer la génération des surfaces développables ; car , puisque deux génératrices infiniment voisines comprennent toujours entre elles un élément superficiel qui est plan (p? 276) , et indéfiniment(étendu dans sa longueur, on peut regarder ces éléments comme faisant partie des positions successives que prendrait un plan mobile assujetti à se moui^ck'r suii^ant une certaine loi. Cette loi variera avec chaque surface développable particulière ; mais , pour qu'elle règle complètement le mouvement du plan et ne donne pas lieu à une infinité de surfaces, il faudra toujours (n^ 278) que cette loi ne laisse qu'un seul paramètre arbitraire dans l'équation du plan mobile. .
Par exemple , on pourra exiger que ce plan soit constanunent normal à une courbe donnée
alors en prenant sur cette courbe un point pour lequel z = 7 ^ l'équation du plan sera de la forme
puis, comme il devra être perpendiculaire à la tangente au point 7 , on aura les conditions
DÎBS SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DÉVELOPPABLES. 267
de sorte qu^il ne restera dans soa équation qu'une seule constante arbitraire 7.
De même , si le plan mobile devait toucher à la fois les deux surfaces
Fi (-^1, Ji, ai) = o, Fj (xiyXiy Zi) ==0, pour lesquelles nous désignerons par pi , Çi et pf , q^ les expressions des dérivées —, —, l'équation de ce plan aurait d'abord la forme
mais , pour qu'il touche attsçi la seconde surface , c'est-àdire pour qu'il coïncide avec le plan tangent au point inconnu gÇty yt9 ^9 il faudra y joindre les conditions
Px=^Pi^ Qy = Va 5
de sorte que fi, entre les six équations précédentes, on élimine cinq des quantités inconnues ari,j''i, z^^ a:g,y,,.Zj, il restera usje équation de la forme
où tous les coefficients seront des fonctions connues de la seule indéterminée tri , par exemple \ et en attribuant à celle-ci diverses valeurs arbitraires , on obtiendra autant de plans qui toucheront à la fois les deux surfaces.
On trouverait d'une manière semblable, et encore plus aisément, l'équaWon d'un plan qui devrait toucher coustaïnment une surface unique , mais le long d'une courbe assignée d'avance.
331 . Dans ces trois exemples, et dans tous les cas où le plan mobile ne pourra varier qu'en vertu d'un seul para-
mètre arbitraire , les positions successives qu'il prendra pour des valeurs très-voisines de ce paramètre , se couperont consécutivement suivant des droites qui, deux à deux, 5e trousseront éi^idemment dans un même plan: ces droites formeront donc ainsi une surface développable , touchée par tous les plans individuels , et qui sera leur eni^eloppe; en effet, elle aura avec chacun d'eux un élément superficiel de commun.
