Or, puisque dans l'équation du plan mobile

z = Aor-f- B/ -hD,

les trois coefficients seront des fonctions d'un seul paramètre arbitraire , tel que y ou Xi , dans les exemples précédents , si l'on pose un ^e ces coefficients D =;=: « , les deux autres, A et B, deviendront des fonctions connues de l'indéterminée a \ par conséquent l'équation du plan mobile qui engendre une surface développable , pourra toujours être présentée sous la forme générale

(32) z = a + ^Ç (ût) H- J^4*{a}.

Cela posé, pour obtenir la génératrice de la surface, c'està-dire (n*^ 331) l'intersection de deux positions infiniment voisines du plan mobile , il faut combiner l'équation (22) avec celle qu'on en déduirait, en y remplaçant a par a -^ doLi or, comme par-là le second membre augmenterait de sa différentielle relative à a seul , il es| m^ifeste que l'ensemble des deux éqUations dont n6u3 parlons , équivaut aux deux suivantes :

Ce système représentera donc telle ou telle génératrice rectîligne de la surface , selon la valeur particulière qu'on

BIS SURFACES RlÊOLÉBS, GAUCHES OU DivBLOPPABLES. 269

voudra donner à a^ et, par conséquent, Féquation de la surface s'obtiendra en éliminant a entre (22) et (23). Mais comme cette élimination ne pourrait s'effectuer sans fixer la forme des fonctions f et ^, c'est-à-dire sans particulariser la surface développable , on conserve, pour représenter généralement toute cette famille de surfaces, le système des équations (22) et (23), en regardant a , dans la première, comme une fonction de x et de y y déterminée par la seconde.

333. Si l'on veut parvenir à t arête de rebroussement (pP 275), qui est le lieu des intersections des génératrices consécutives, on combinera la droite (22) et (23), où a sera alors une constante arbitraire^ avec la droite qui en est infiniment voisine , et qui s'en déduit par le changement àea en a + doL\ on obtiendrait ainsi quatre équations dont Fensemble se réduit aux trois suivantes :

(23) O = I -h Xf' (a) -Hr>t' (a),

(24) o = Xff" (a) -h y Y (a).

De sorte que, pour chaque valeur attribuée à a , ces trois équations feraient connaître les coordonnées x, /, z , du point où la génératrice correspondante à cette valeur de a est coupée par la génératrice consécutive ; d'où il résulte qu'en éliminant a du système (22), (23), (^4), on aura en X, ^, «, l'équation du lieu de tous les points de section analogues, c'est-à-dire l'équation de l'arête de rebroussement de la surface.

■334. On retrouve très-simplement l'équation aux différences partielles des surfaces développables , en partant du système

(23) O = I H- jr(p' (a) -h r+' (a)»

qui les représente toutes, pourvu que , dans la première de ces équations , a soit censé une fonction de x et j', déduite de la seconde. En effet, si nous dilSTérentions , sous ce point de vue, Téquation (22), tour à tour par rapport k x et a y^ nous aurons

^ = 5i -^ ' W -^ ^ '^"^^ -^^''' W di'

dot . da. , . .,.. da.

mais en vertu de la relation (aS), ces deux équations se réduisent à ♦

d'où Ton conclura, comme au n** 328,

p = 7c [q)y puis rt — ^' = o.

335. On a vu, en Géométrie descriptive, que, pour déterminer le contour de Vombre et de la pénombre sur un corps opaque éclairé par un corps lumineux, il fallait trouver une surface développable qui fût circonscrite à ces deux corps, et dont une des nappes les touchât extérieurement, et l'autre intérieurement. La solution analytique de ce problème est renfej'mée dans la méthode em-' ployée n** 330 pour trouver un plan tangent à deux surfaces \ car si l'on reprend les six équations

F» (J^uji, 2|) = o, Fj(xj,/„ zj) = o, z, — p^Xx — ÇijTi = Za — Pi^i — q^Xa

P\ =P2y Çi = q^y

et qu'on substitue dans la dernière les valeurs de cinq des

DES SURFACES REGLEES, GAUCHES OU DéVELOPPABLES. 2^ f

coordonnées , elle prendra la forme

(P) Z=:xtf (Xi) 4- X^ (or,) -f- TT (JF,),

qui représente un plan tangent aux deux surfaces à la fois 9 mais dont la position dépend de l'arbitraire x^ : alors , sans qa'il soit besoin de ramener cette équation à la ferme (22), on la différentiera par rapptrt an paramètre Xi , et en éliminant cette indéterminée entre les équations * .

on obtiendra la surface développable demandée, qui, par son intersectibn avec les plans ou surfaces environnantes, donnerait P ombre portée par le corps 'opaque. Mais s'il s'agit seulement de trouver sur ce dernier corps les lignes qui séparent la pénombre de l'ombre pure et de la partie éclairée, c'est-à-dire les courbes suivant lesquelles ce corps est touché par les deux nappes de la surface développable, il suffira d'éliminer Xt^ yty z^ entre les cinq premières équations cFlées plus haut, et l'on obtiendra pour les deux équations de la courbe de contact ,

Fi (^1» ri, Zi) = o, /{a:,, y,, Zy) = o.

336. On pourrait aussi résoudre le problème des ombres , en cherchant directement une droite tangente aux deux surfaces

Cette droite , passant par deux points situés respectivement sur ces surfaces , aura des équations de la forme

Xx — Xi . . Jfx — Xi é V

mais elle doit être contenue dans le jdan tangent au point (oTi, j^i, Zi) : par conséquent (n** 44), on aura la condition

On en obtiendrait une semblable pour exprimer que cette droite est tangente à la seconde surface ; mais il est essentiel d'obserrer que cela ne suffirait pas pour que la surface, lieu des positions de cette droite mobile , fût développable : car cette ligne, quoique toujours tangente aux deux surfaces , pourrait ne pas rester dans un même plan en passant d'une position à une autre infiniment voisine. Au lieu que toutes ces conditions sei^ûsxt remplies, si nous exprimons que le plan tangent au point (Xf , j-, , Zj) coïncide avec le premier plan tangent ; et pour cela il suffit , diaprés les relations déjà admises, de poser

Pi ^= Pi 9 ^2=^1.

Alors, si entre les sept équations précédentes on élimine les six coordonnées Xi , j^i , -Si, Xt , /i, -s» des points de contact^ on obtiendra Téquation de la surface développable demandée ; on voit aussi ce qu'il faudrait faire pour trouver la courbe de contact de cette surface avec une des deux proposées.

Si Ton applique au cas de deux sphères quelconques la méthode précédente, ou bien celle du n° 335, on trouvera que , dans cet exemple simple , les deux suifaces développables circonscrites extérieurement et intérieurement, se réduisent à deux cônes droits, et que les courbes de contact avec une des sphères sont deux petits cercles perpendiculaires à la droite qui réunit les centres de ces deux sphères.