Des enveloppés. Les surfaces développables

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considérées (n® 331) comme l'enveloppe des diverses J)0^ sitions d'un plan mobile, ne sont qu'un cas particulier des surfaces auxquelles Mqnge a donné le nom général d'eni^eloppes, et sur lesquelles nous allons ajouter quelques notions succinctes.

Lorsque dans une équation unique

il entre une constante arbitraire ot qui peut recevoir toutes les valeurs de o à db oo , l'équation proposée représente une infinité de surfaces appartenant à une même famUlej et qui , ordinairement , se couperont consécùti-^' vement pour des valeur^ de a assez rapprochées les unes des autres. En considérant donc deux de ces surfaces individuelles , correspondant aux valeurs quelconques , mais voisines, a et a + A, la courbe d'intersection serait donnée par la combinaison des équations

F(jr, j, 2,a) = o,

JF d^¥ A»

mais ce système équivaut évidemment à celui-ci ,

doL doL^ 2

Or si , sans rien changer à la valeur de a , on fait décroître l'intervalle A, la courbe représentée par ces deux dernières équations variera de position, sur la première surface fixe , à mesure que la seconde s'en rapprochera ; et pour avoir la limite des positions qu'elle prend alors , il suffira de poser A = o : par conséquent , le système

2^4 GHAPITAS XV J

donnera la courbe suivant laquelle une surface indivi* dûelle relative à une valeur quelconque a , est coupée par la surface qui en est infiniment rapprochée. Maintenant, pour chaque valeur de a ^ ou poiir chaque surface individuelle , il existera une courbe analogue ; donc si l'on veut obtenir le lieu de toutes ces intersections, il faudra éliminer le paramètre a entre les équations (aS) et (26) ^ et le résultat

(25) f(x, jTy ^)= à

sera ce qu'on nomme Venueloppe de toutes les surfaces individuelles comprises dans l'équation (25). Cette dénomination est fondée sur ce que cette enveloppe touche chaque surface individuelle le long d'une des courbes d'intersection. En eflfet , si l'on désigne par Fi, F, , Fg, trois surfaces consécutives répondant aux valeurs infiniment voisines «i, at, ocs, la surface Fs contiendra les deux courbes C^ et d, suivant lesquelles elle est coupée par les surfaces Fi et Fg \ mais ces deux courl)es sont aussi sur l'envdoppe f : donc cette dernière aura de commune avec la surface F^ , toute la zone infiniment étroite comprise entre les lignes Ci et C» •, par conséquent les surfaces Fj et f se toucheront le long de cette zone. D'ailleurs , on pourrait le prouver ànalytîquement en faisant voir que les dérivées p ^t q auront les mêmes valeurs dans les surfaces F, et y*, pourvu que sur toutes deux on considère les points de la courbe particulière qui , dans le système (26) et (26), répond à l'hypothèse a = à^.

338. Eclaircissons cette théorie par quelques exemples simples. Soit d'abord l'équation

qui représente une suite de sphères d'un rayon constant ,

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et dont les centres sont tous sur Taxe des x. On prévoit bien ici que la limite de Tintersection de deux sphères voisines , sera un grand cercle perpendiculaire à OX , et que toutes ces intersections formeront un cylindre droit qui enveloppera toutes les sphères particulières. En eflfet , Véquatiôn (26 ) devient ici

et en éliminant a , il vient pour l'enveloppei ^

339. Supposons maintenant que le centre de la sphère mobile parcourant toujours Taxe OX, le rayon de cette Fie. 39. sphère soit variable et égal à l'ordonnée d'une ellipse BMA ayant pour équations

alors, quand le centré de la sphère sera à une distance quelconque OP = a, l'équation de cette siirfacé aura la forme

Si donc on y joint la dérivée relative à a seul , savoir ^

l'ensemble de ces deux équations représentera évidemment UD petit cercle, suivant lequel une sphère d'un rang quelconque est coupée par la sphère infiniment voisine. D est bon de remarquer ici, i^ que quelque rapprochées qu'on suppose ces deux sphères consécutives, la limite de leur intersection n'est point un grand cercle , comme on

2*i6 CHAPITRE XV.

aurait pu le croire d'abord, excepté quand a==o; 2? que ces sphères, quoique toujours réelles jusqu'à a = a, cessent de se couper quand on pose

car en substituant dans la première équation la valeur de x tirée de la seconde, on trouve alors un cercle imaginaire , et ce résultat est indiqué par la figure. Il en résulte que la surface enveloppe ne touchera pas toutes les sphères individuelles, mais seulement celles qui présentent une véritable intersection ; et pour obtenir cette enveloppe, on éli mincira a entre les deux dernières équations , ce qui donnera

résultat qui représente un ellipsoïde de révolution Bmnia, dont le grand axe répond à l'extrémité de la dernière sphère qui puisse être rencontrée par une sphère infiniment voisine.

340. Il est manifeste que les raisonnements et les calculs employés dans le n** 337, s'appliqueraient d'une manière toute senvblable à une équation à deux variables, telle que

et comme en se bornant à' considérer ce qui se passe dans le plan XY, cette équation représente alors une famille de courbes qui ^ en général, se couperont consécutivement pour des valeurs très-voisines de a, on en conclut que la ligne enveloppe de toutes ces courbes individuelles s'obtiendra par l'élimination de a, entre les

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équations

Cette règle justifie la méthode que nous avions indiquée au n® 325, pour trouver la courbe enveloppe de plusieurs lignes droites dont la position dépendait d^un paramètre arbitraire &\ et l'on pourra encore choisir, comme applications de cette théorie , les questions suivantes :

1°. Trouver la ligne enveloppe de toutes les paraboles renfermées dans Téquation

2*^. Trouver l'enveloppe de toutes les ellipses dont les demi-axes font une somme constante k , et représentées par

3°. Une droite d'une longueur fixe k se meut de manière que ses extrémités restent constamment sur deux axes rectangulaires indéfiniment prolongés : les diverses positions de celte droite mobile formeront , par leurs intersections consécutives , une courbe qui touchera toutes ces droites, et dont on demande l'équation. Celte enveloppe est la même que celle du problème précédent.

341. Revenons aux surfaces, et observons que la courbe (25) et (26), suivant laquelle se coupent deux enveloppées ou surfaces individuelles infiniment voisines, est celle que Monge nomme la caractéristique de l'enveloppe 5 mais pour comprendre la juslesse de cette dénomination, il faut généraliser l'équation (26) , et concevoir qu'il y entre, avec le paramètre a, une fonction quelcon^ que de ce paramètre. Ainsi, soit

(28) F[ar,/,«,a,(p(a)] = oj

^î-jS CHAPITRE XV.

si dans cette équation on attribue à la fonction ^ une forme déterminée et invariable cpi, il n'y restera plus d'arbitraire que a, et en lui assignant toutes les valeurs possibles, on obtiendra une infinité de surfaces individuelles^ composant une famille relative à la fonction fi , et qui admettront une enveloppe d'une certaine espèce. Maintenant donnons à la fonction f une autre forme f s , puis faisons yarier a ^ nous £(ùrons une seconde famille de surfaces individuelles qui admettront une enveloppe différente : il en sera de mèine pour d'autres hypothèses ^ = (^8,^ = ^4,... Mais, dans toutes ces familles , 1'^tersection dedeuxem^eloppées consécutwes sera toujours une courbe de même espèce^ en effet, elle sera donnée -{n® 337) par le système des deux équations

(28) F[^, j^-, 2,a,<p(a)]=rO,

Or, quelle que soit la forme f 1 ou f s que Ton attribue à la fonction f qui ne porte que sur des constantes , au nombre desquelles est a, les équations (28) et (29) seront toujours composées en a: , j^, z , de la même manière \ par conséquent la caractéristique représentée par ces équations , >sera une courbe d'une espèce constante pour toutes le& familles de surfaces comprises dans le genre (a8), et elle offrira ainsi un caractère commun à toutes les surfaces de ce genre.

342. D'ailleurs, comme dans chaque famille Venv^eloppe est (n** 337 ) le lieu des di\^erses positions que prend la caractéristique j en vertu des valeurs successives données à a , toutes les enveloppes 4es diverses familles du genre F admettront une généra tiice d'une espèce commune, savoir, la caractéristicpie (28) et (29)^ donc celte