DES SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DEVELOPPABLES. H'JQ

courbe caractérisera aussi toutes les enveloppes du genre de surfaces F.

Enfin, pour obtenir Téquation générale de ces enveloppes , il suffirait évidemment d'éliminer la constante et entre les équations (28) et (29). Or, cette élimination ne pouvant s'effectuer, même quand la forme de F est connue , k moins d'assigner aussi celle de f , ce qui particulariserait la famille, et par suite l'enveloppe , on conserve le système (28) et (29) pour représenter généralement l'enveloppe; mais alors on regarde a, dans la première de ces équations , comme une fonction de a: et ^, déterminée par la seconde» ,

343. Hâtons-nous d'éclaircir ces généralités, en considérant le genre particulier des canaux circulaires dont l'axe est une courbe plane, c'est-à-dire en prenant pour la fonction F la forme suivante ,

On voit que cette équation représente une sphère de rayon constant , mais dont le centre variable est situé dans le plan des :r, j^, et a pour coordonnées ot el(f (ot). Si donc on représente cette dernière par S , et que l'on trace la courbe

ce sera la ligne que doit parcourir le centre de la sphère mobile (3o), oixVaxe du canal qui enveloppera toutes les positions de cette spiière. Pour obtenir diverses enveloppes particulières, il suffirait de poser, par exemple,

6 = 0nâ ou 6 = \/a* — a»;

on aurait ainsi des canaux dont l'axe serait parabolique ou circulaire. Mais laissons à la fonction ff une forme

a8o GHAPITRB XV.

quelconque, et cherchons la caractéristique , c'est-à-dire rintei*section de deux em^eloppées consécutives. Il faut joindre à l'équation (3o) sa dérivée complète relative à a, ce qui donne le système

(32) 4? — a -h (j--<pa) , «p'a =rO;

et puisque la dernière équation est celle d'un plan qui passe par le centre de U sphère , et qui est évidemment normal à la courbe (3i), il en résulte que la caractéristique est ici, dans chaque famille, un grand cercle NORMAL à Vaxe du canal ^ et dont le centre est sur cet axe curviligne.

Quant à l'équation de l'enveloppe , nous avons dit (n*^ 342) qu'elle ne pouvait être représentée généralement que par le système (3o) et (Sa), en y regardant a conmie une fonction de j? et j^ *, mais si nous voulons obtenir une enveloppe particulière , par exemple , celle qui se rapporte à l'hypothèse

r (a) = v/â^~V% d'où <f ' (a) =

nous substituerons ces valeurs dans les équations (3o) ^t (3si), qui deviendront alors

(a: — a)» -f. (^ — sJa^^cL^y -f. a» = R%

puis, nous éliminjerons entre ellesâc, en prenant sa valeur dans la dernière ; et il viendra , après quelques réductions ,

(a ±: slx^-^ y^y = R' — z\

Gettç enveloppe n'^t auti^e chose que le tore, surface de r^volut^on que nous avons déjà obtenue (n'^ 298),

DES SURFACES niOLÉBS, GAUCHES OU oiVELOPPABLES. 28 1

Une colonne torse est aussi l'enveloppe des positions successives d'une sphère , dont le centre parcourt une hélice, et dont le rayon est constant, ou variable si la colonne n^a pas le même diamètre au sommet qu'à sa base.

344. Observons eniinque, dans chaque enveloppe, il existera ordinairement une arête de rebroussement formée par les intersections consécutives des caractéristiques. Or, puisqu'une de ces dernières est représentée (n® 341) par les équations

où a est une constante arbitraire, le point de section de cette courbe avec celle qui en est infiniment voisine, s'obtiendra (comme au n*^ 337) en joignant aux équations précédentes leurs différentielles complètes par rapport à a \ mais ce système se réduit évidemment à

F[j:,jr,2,a,(p(a)]=o, -l-^ = o, -^^=o;

donc il suffira d'éliminer a entre ces trois dernières , pour avoir les deux équations de l'arête de rebroussement de Fenveloppe.

Dans le tore trouvé au numéro précédent, l'arête de rebroussement est imaginaire si R <a5 et si R> a , elle se réduit à deux points situés sur l'a^çe vertical de la surface : mais on trouvera un exemple plus intéressant de cette sorte de courbes, dans la surface enveloppe décrite au n*' 205 de la Géométrie descriptiv^e.

Des lignes courbes , et de leurs diverses courbures.

FiG. 48. 345. Lorsqu'une courbe AMM', plane ou à double courbure, est donnée par ses deux projections

on a vu (n** 264) que sa tangente était projetée sur les droites qui touchaient les deux projections, et qu'ainsi ' cette tangente avait pour équations

dans lesquelles x\ y\ z\ désignent les coordonnées courantes de la droite ; ^, j^, z^ celles du point de contact

M 5 et OÙ les dérivées -3-, -r^> sont censées déduites des

dz az équations (i) et {ol). Mais , quand la courbe sera définie par deux surfaces quelconques ,

F (a;, x,z) = o, et F'(j;, j, z) = o,

on sait (n** 265) que , sans les ramener à la forme (i) et (2), la tangente pourra être représentée par le système des deux équations

lesquelles appartiennent aux plans tangents des deux surfaces données.

346. Quant aux angles a, 6, y, que forme la tangente avec les axes, on trouvera, en appliquant ici les formules du n*^ 27 ,

dx dy

cos a = , cos6 = -^

cosy =

sjdjp^ -H dy^ -h dz^ s/dx" -h dy^ -H dz"

dz sjdx^ -h dx^ 4- dz^

347. Un arc AM = 5 qui commence à un certain point fixe A , et se termine à un point variable M ayant pour coordonnées x^ y^ z t est évidemment une fonction de ces coordonnées , do^t une seule est d^ailleurs arbitraire , en vertu des équations de la courbe. Ainsi cet arc admet une différentielle que Ton peut regarder, d'après les principes de la métbode infinitésimale , comme l'accroissement MM' que subit AM , quand on donne à la variable indépendante z un accroissement infiniment petit dz : mais , par les mêmes principes , les autres coordonnées X, y^ croissant aussi de leurs différentielles dx^ dy^ le petit arc MM' pourra être considéré comme la distance rectiligne de deux points dont les coordonnées sont a:, y^ z^ et X -\^ dxj y + dy-y z + dz'^ par conséquent on aura

(5) MM' =z ds z=z <Jdjc^-{-dy^-^dz^.

Cette formule s'obtiendrait, d'ailleurs , en développant le cylindre vertical qui projette la courbe AM sur le plan XY; car, par ce développement, l'arc AM devient sans changer de longueur , un arc plan Am = s qui , rapporté aux coordonnées Bp =tel pm = PM = z , donne, comme on sait, la relation ds^ = dz* •+- dt* : mais.

284 GHAPITEE XVI.

t=Bp ^=z EP est un arc de courbe plaue , qui fournit aussi Téquation dt* =^ dx* + dy* j donc, en substituant, il vient

348. D'après cela , les formules trouvées n^ 346, pour les angles de la tangente , peuvent être écrites sous cette forme plus simple

(6) «:o8« = -, 0086 = -, cos7 = ^;

et il est utile de remarquer que. ces formules, qui sont fréquemment employées, peuvent encore s'obtenir en observant que l'élément de cotirbe MM' = ds^ qui coïncide en direction avec la tangente , a pour projections sur les trois axes coordonnés, les quantités dxy dy^ dz\ de sorte que le théorème du n^ 67 donne immédiatement

dx = ds cos a , dy :=.ds cos6 , dii-=: ds COS7.

FiG. 48. 349. Une courbe quelconque AM n'a qu'une tangente unique en chaque point M 5 mais elle admet une infinité de normales , c'est-à-dire de droites perpendiculaires à la tangente , et menées par le point de contact de celle-ci. Or toutes ces normales sont nécessairement dans un même plan, que l'on nomme le plan normal de la courbe au point M , et son équation aura évidemment la forme

mais puisqu'il doit être perpendiculaire à la tangente représentée par les équations (3) et (4), on aura (n** 47) les 4eiix relations

A.dx B fi^ C^dz' C^dz'

l)E 1a courbure des lignes. 285

de sorte que Téquation du plan normal deviendra

(7) (jc' — 4?)^^ + (jr ' — jr)^r -*- (^ ' — «M^ = o >

où les différentielles disparaîtront, quand on aura tiré des équations de la courbe les valeurs de deux d'entre elles en fonction de la troisième.

350. Lorsqu'une ligne AMest à double courbure, ses diverses tangentes ne sont pas dans un même plan , mais deux éléments consécutifs MM' et M' M" remplissent toujours cette condition , puisqu'ils ont un point de commun 5 alors le plan qui passe par ces deux éléments se nomme le plan osculateur de la courbe en M, et il change de position quand on considère les divers points successifs M', M", . . . L'équation de ce plan , en tant qu'il est mené par le point M (^, y^ z)^ aura la forme .

puis, pour exprimer qu'il passe aussi par M' et par M", il faut écrire que l'équation précédente est satisfaite quand on y remplace x, y^ z par