X -f- rfx, y -f- <(r> « 4- dz^ et aussi par

Or, on sait qu'en faisant ces substitutions dans une équation quelconque

elle devient successivement

F -f- cTF = o,

F H- 2rfF -4- rf'F = o;

et toutes les fois qu'il faudra , comme ici , prendre simul" tanément ces trois équations , leur système se réduira évi-

demment à

Par conséquent, pour exprimer qu'une équation qui est satisfaite pour un certain point , est aussi vérifiée pour deux points infiniment voisins du premier, il suffit de joindre à Féquation primitive sa diflTérentielle première et sa différentielle seconde ; c'est là une proposition que nous nous dispenserons de démontrer dorénavant dans tous les cas semblables. II résulte de là que le plan osculateur sera déterminé par les équations

kdx 4- Bfl[r + Crfz = G,

Kd'x -h B^'j + Qd'^z = o.

Les deux dernières font connaître les valeurs de - et ~ ,

Ci v«

et en les substituantdans la première, on obtient, pour l'équation du plan osculateur ,

^ M M^ -^z){dxdy-^dxd'x)S'^'''

A la vérité , la courbe étant déterminée par deux équations , une des trois variables est indépendante ^ par exemple o:, et ainsi <i*j: = o. C'est une réduction que l'on introduira, si l'on veut, dans les calculs précédents ; mais il vaut mieux , pour conserver aux formules la symétrie qui les rend plus faciles à retrouver et à combiner, regarder les trois coordonnées comme des fonctions d'une quatrième variable indépendante et quelconque f ; ce qui est toujours permis , puisque les deux équations x = ç (z) el y=^^ (z) pourraient être remplacées par trois autres, entre x^ y^ z elt.

DE LA GOnaBURE PES LIGNES. sS^

351 . La courbure d'une ligne quelconque AM , au Fie. 49* point M, doit être estimée d'après V angle de contingence TM'T' = e que font entre elles les deux tangentes infiniment voisines MM'T, M'M^T'^ car cet angle,, qui est toujours infiniment petit dans une courbe continue, exprime bien la flexion qu'il a fallu faire subir à la droite MM'T pour la plier suivant la courbe MM'M". . . . Or si, dans le plan oscillateur MM^M'', on trace deux normales KO et K'O, élevées sur les milieux des éléments MM' et M'M", ces deux normales comprendront un angle KOK'= TM'T' = e i et leur point de section O sera le centre du cercle qui passerait par les trois points M, M', M". Ce cercle ayant ainsi deux éléments consécutifs MM', M' M", communs ayec la courbe, se nomme par cette raison le cercle osculateur relatif au point M, et son rayon serait une des trois distances égales OM , OM', OM"; mais on peut en place adopter pour ce rayon la normale OK = |0 dont la longueur ne diffère de OM' que par un infiniment petit du second ordre, puisque le triangle rectangle OKM' donne

Cela posé, en admettant que les éléments MM' et M'M'' ont été pris égaux, l'arc KM'K' du cercle osculateur sera égal à MM' = €^5 ; et comme il est semblable à l'arc e décrit avec l'unité pour rayon, on aura

résultat qui montre , puisque ds est constant ici , que la courbure d^une courbe indiquée par l'angle e , varie d'un point à un autre en raison inverse du rayon OK = p du

cercle osculateur; c'est pourquoi cette droite s'appelle aussi le rayon de courbure de la courbe au point M (*). 382. Toutefois, il faut observer que la grandeur absolue de l'angle de contingence s ne suiBrait plus pour comparer entre elles deux courbes diflFérentes dont les éléments pourraient ne pas être respectivement égaux, ou

(«) LliypoUièse admise plus haut, qae les éléments MM' et M' M" sont égaux, revient à supposer que Tare s a. été pris pour la variable indépendante, puisque alors ds sera constant : mais dans toute autre fay-* pothèse, les éléments' MM' et M' M'' ne pourront, du moins, différer que par une quantité infiniment petite du second ordre. En effet, Tare AM = s sera toujours une certaine fonction déterminée de la variable indépendante, x par exemple, laquelle devra alors recevoir des accroissements constants désignés par ft ; et les accroissements de s y loin de pouvoir être pris arbitrairement, devront se déduire des formules

AM = s = ^ (x) , MM' = f) (« -t- ft) — ç) (x) s=hf' (x) H p" (x) ^- . . . . ,

d^oùPon voit qu^en négligeant, eomme il le faut, les infiniment pelits du second ordre vis-à-vis de ceux du premier, il viendra

M'M' = MM'-hA*S ou ds'z=zds-^Ah*:=ds'j

ensuite on aura , comme dans le texte ,

arcKM'K'=i&H-irf*' = <6.

D^aillenrs, si Ton appelle p' la longueur du nouveau rayon de courbure KO', quand le milieu de Pélément M' M'' est en I au lieu d'être en K', le triangle rectangle OOCK donnera évidemment

'— ^ds'-'jds Ah\ ^ ^ *" sin e ~ 2f '

or, comme ce résultat est une quantité iniiniment petite dd premier ordre , elle doit être négligée vis-à-vis de p, et Ton a ainsi p ' = p; par conséquent les formules (g) et (lo) du texte sont toujours vraies, même quand la courbe n^est pas divisée en éléments égaux entre eux.

DE LA COURBURE DES LIGNES. sS^j

même avoir entre eux un rapport détermitié ] car on sent bien que c'est seulement sur deux arcs de même longueur, que Tangle des tangentes extrêmes manifeste une courbure plus ou moins prononcée. Ainsi l'on doit dire généralement que la courbure d'une courbe est mesurée par le rapport