SI

(lO) — z=Z -l

^ ^ ds p'

mais avant de calculer cette expression qui s^appliqùe également aux lignes planes et aux lignes à double courbure, nous allons expliquer en quoi les unes diffèrent des autres.

353. Lorsqu'une courbe n'est point plane, elle n'a en Fie. 49. chaque endroit qu'une seule courbure qui s'estime comme nous venons de le dire •, mais elle offre en outre une torsion de ses éléments les uns autour des autres. En effet si , dans une pareille ligne , on fait tourner le plan osculateur MM'M" autour de M'M", pour le rabattre sur le plan osculateur suivant, les trois éléments MM', M'M", M'' M'', se trouveront dans un même plan , sans que la courbure ou l'angle TM'T' ait été altérée. De même, en faisant tourner 1 eplan actuel MM'M"M'*' autour de M^M*", on pourra le rabattre sur le plan osculateur suivant; et en continuant ainsi de proche en proche, on amènera tous les éléments dans un seul plan. Au con^traire , par des mouvements opposés , qui répondent bien à ime véritable torsion , on changerait une courbe plane en une courbe à double courbure^ c'est pourquoi il convient de remplacer cette dernière dénomination , qui exprime l'idée fausse de deux courbures, par celle de courbe gauche que nous emploierons dorénavant; et la torsion d'une pareille courbe sera mesurée, en chaqwa

agO CBAPIT1LS XVI.

point, par V angle 6 compris entre les deux plans osculateurs consécutifs. Cet angle B que nous calculerons bientôt, est toujours infiniment petit dans une, courbe continue, et il est constamment nul dans une courbe entièrement plane : cet angle répond à ce que divers auteurs ont nommé lajlexion ou la seconde courbure de la courbe.

Fie. 48. 354. Cela posé , pour calculer Fangle de contingence TM'T' = e, désignons par u, >^, tv, les cosinus des angles que la tangente MT £brme avec les axes , et par u\ ^', w' les cosinus analogues pour la tangente M'T' \ nous aurons (n° 34)

mais comme u\ \^\ w\ sont les fonctions variées de u\ v'^ iv', quand a:, y^ z deviennent x + dx^ y-^djy z + dzj on aura, par la formule de Taylor,

u V =^ K -h du -f- "d^u,

#»'=•» -f- ^ip -f- --d^p.

Nous poussons ici Iç développement de u', ^', iv', jusqu'aux termes du second ordre , parce que e étant infiniment petit , son cosinus ne doit différer de Tunité qu'à partir de ces .termes. Si donc on substitue ces valeurs , et qu'on fasse attention aux relations

hdu -f- • vd9 -h çpdw = o,

dont les deux dernières se déduisent de la première par ]a

DV LA GOUtlBURR DIS T.TGNSS. 1^9 1

dîffërentiation, on trouvera

cos « = I -■ (du* -+- dç* -f- «/«»*).

Mais , en développant le cosinus de Tare infiniment pe-

tit e , on a aussi

cos g == I ; donc c* = du* -f- dv* -h d(v* :

puis, conune on sait (n° 348) qije

dx dy dz

ds ^ ds ' ds

il viendra pour Tangle de contingence