DE LA GOURBU&E DES LIGNES

Cette manière bien simple d'obtenir le rayon de courbure fait connaître sa grandeur, mais non sa position ; et quoi-* que ce résultat suffise pour le plus grand nombre des applications , il est cependant des cas où Ton a besoin d^employer la longueur du rafon et les coordonnées du centre de courbure^ c'est pourquoi nous allons les déterminer par le procédé suivant.

358. Les deux normales particulières KO et K'O ne Fie. 4s|. sont autre chose que les intersections du plan osculateur MM'M" avec deux plans normaux consécutifs ; par conséquent on déterminera le centre de courbure O en cherchant le point d'intersection des trois plans que nous venons de citer. Or, l'équation du plan osculateur pour le point M dont les coordonnées sont Xy y^ z^ est

où les quantités A, B, C, désignent, pour abréger, les coefficients de la formule (8) du n** 350. Le plan normal en ce même point est (n° 349)

(a?' — x)dx H- (y — r)^y -♦- («' — *)^ = ®>

et le plan normal infiniment voisin s'en déduirait (n** 350) en augmentant le premier membre de sa différentielle relative aux coordonnées a:, y, z\ mais, puisque nous devons combiner cette nouvelle équation avec les deux précédantes pour obtenir le point de section, il suffit de joindre ici la différentielle du plan normal, égalée à zéro, ce qui donne

{jc' — x)d^x -h (/' — j)</y 4- (»' — ^dH — <&> m o.

Maintenant il faut regarder les variables x' y y\ z' comme les mêmes dans ces trois équations , et alors elles représenteront les coordonnées du centre O commun aux troi^

2Q^ CHÀPITILl XVI.

plans : cherchons-en donc les valeurs. Or, les deux premières équations donnent , en éliminant tour à tour y —jr et x' —X,

{x' — x) {kdy — "Bdx) + («' — z) {Cdy — "Bdz) = o, (^' ^ y) (Arfjr — Bdx) -h Vz' — zy{Adz — Cdx) = o;

tirons de là les valeurs de a:' — ^yj' ^^y^ pour les substituer dans la troisième équation, , et nous aurons

, ai' (A4r - Bifa r) ^.

mais si Ton observe qùçi, dan? ce dénominateur, le coefficient total de A est égal à la valeur même de A que donne Iflr formule (8), et qu'une coïncidence sembls^ble a lieu pour B et pour C , on en conclura

, ds" {kdy ^ 'Mx)

çt par suite

ds^Cdx — Adz) X -^ X — A* H- B» •+- C» *

ds^jBd^^Cdy)

P'aiUeurs, le rayon de courbure n'étant autre chose que la distance du point x^y^ Zy au point de section x\y\ z\ on aura

«fe» \i{Ady — Bcfo)» -f. ( C</a: — Adzy + (B^/^ï — Uyf ^ A»-f-B»-hC^ '

çiais 9 en développant les carrés des binâmes , on voit que les termes multipliés par A*, B', C*, sont

A'(rfr' -+- «^«'), qui égale A»(d!f» — dlr»),

wlâx-" -h dz'), B'(<&» — df),

Q\dx^ -h «(r% ' C (i/j^ — «fe») ;,

DE LA COURBURS DÈS LIONÏS. ^^S

de sorte que le radical prend la forme

Or, le demie» trinôme est nul, en vertu d'une des équations qui ont servi (n^ 350) à calculer les coefficients AyB^C'^ par conséquent il reste

c'est-à-dire, en substituant les valeurs de A, B, C, ^ <fc' ^

résultat qui s'accorde bien avec les formules (9) et (i3).

359. Quant aux coordonnées or', y', z\ du centre de courbure, si l'on substitue dans leurs numérateurs les valeurs de A, B, C, on trouvera pour le premier, par exemple :

Ady — Bdx zzzdH {dy^ + dx") — dz {dxd^x -^ dfdy) = d^z {ds* — dz*) — dz [dsd^s — dzdH) = d^zds* — dzdsd^s ',

et en développant de même les autres numérateurs , il viendra

H—dsd's) ,VfJ

ds^j dsd

A» H- B' -H C» ^ ds

\ ' d^{dsdy—dyd^s) V«fe/

d^ldsd'x^dxd^s) , \ds /

:jq6 chapitre xvi.

360. Si Ton veut obtenir les angles X, fji, v, que forme, avec les axes coordonnés, le rayon de courbure p prolongé à partir du point M de la courbe vers le centre O (ce qui s'appliquerait au cas d'une force attractive agissant sur un mobile M, et dirigée vers le centre de courbure) , on observera que les projections de p sur les axes sont évidemment x^—Xj y'—^y-iZ — z ; par conséquent, on doit avoir (pP 67)

a/ — a? = p ces X, y' -r^ y z=. ^ cos pt, z' — « = p cps v ;

et en substituant ici les valeurs données par les formules (16), il viendra

En ajoutant les carrés de ces trois cosinus ('^), dont la

(*) Ces formules peuvent servir à démontrer fort simplement un théorème important de Mécanique, relatif au mouvement d^un mobile astreint à demeurer sur une courbe fixe , et diaprés lequel la pression ^oiale supportée par cette courbe, est la résultante de la force centrifuge et de la composante normale de la force motrice R qbi agit sur le mobile. £n effet, en conservant les notations employées par M. Poisson dans son Traité de Mécanique , pages Q79 et Sti i du I*^ volume , et en regardant la masse du ^lobile comme égale à Tunité , les équations de son mouvement seront

-=-r = X — P cos rs ,

dt* '

^ = Y-Pc08tff',

de

d** rr T»' ff

-T--=Z— Pcosw*'.

Or, si Ton décompose la force R en deux autres T et Q > Tune tangente et {%utro normale à la courbe , la première sera, comme on sait^ égales