AA' H- BB' 4- CG

CCS =r ;

VA'4-B»-f-0 v/A'»-f-B'»+C'»

mais comme cet angle 6 est infiniment petit , son cosinus ne différerait de l'unité que par des termes du second ordre ^ c'est pourquoi il vaut mieux passer de là au sinus , qui aura pour expression

gln^ ^ ^ (^' — BAQ^ •+• (BC' — CBQ» 4- (CA^ — AC)»

loDgement extérieur da rayon de courbure p, ces angles seront les 8up-> pléments de A, yu, v, et par les formules (17) du texte, on aura

COS y=:'~p

-5^, cos/ = -p^, eos/=-p V^;

d^où Ton conclura , à cause de p = — ,

dt'

Pcoflor =:Qcosf + — cosy,

P ces «r' = Q cos^' H cos y',

Pcosty" = Q coso* H cos y",

l-ésultats qui montrent bien que la pression P est là résultante des deux

forces Q et --- , dont la dernière , dirigée en sens contraire du rayon de

courbure, se nomme la force centrifuge, et subsisterait encore quand ]}ien même Q serait égal à zéro.

PV LA COU&BURK DKS LIONXS. !2q6

en y substituant les valeurs précédentes de A', B', C, et négligeant, dans le dénominateur, les termes de Tordre le plus élevé , puis remplaçant sin 6 par 6, il restera

Maintenant, il n'y a plus qu'à substituer ici les valeurs des coefficients A, B, C, prises dans la formule (8); mais , pour éviter des calculs longs à écrire , nous admettrons qu'une des trois coordonnées , a:, par exemple , est prise pour variable indépendante , c'est-à-dire que nous poserons iPx = o. Alors il restera

A = djrd^z — dzd^y, dA = dfd^z — dzd^jr^ B = — dxd% rfB = — dxd%

C = dxdy^ dQ = dxd^x\

et en substituant dans la valeur précédente de 6, on obtiendra, après quelques réductions évidentes,

, • ^ dxds (d^yd^z — d^z dW)

\dY + ^'z') dx" H- [dydH — dzd^Y

362. Si la courbe avait un point singulier où elle présentât une infiexien simple, c'esV-k^re où trois éléments consécutifs fussent dans un même plan , il arriverait que Fangle de torsion 9 serait nul pour ce point) par conséquent, on aurait la condition

dyd^z — dHd^y = o,

laquelle, jointe aux deux équations de la courbe, suffira pour déterminer les points singuliers de cette espèce.

On reconnaîtra aussi qu'une courbe est entièrement plane, lorsque la relation précédente sera vérifiée iden-n

300 GBAPltEE XVI.

tiquement pa^ les équatjions de la courbe, quelle que soit la variable x.

363. Lorsque deux éléments de la courbe seront en ligne droite, il y aura une inflexion double, ainsi nommée parce qu^elle entraîne nécessairement Tinflexion simple dont nous venons de parler. Alors Tangle de contingence sera nul; et d'après la formule (i3) où nous supposerons, pour simplifier, que dx est constant, il faudra que

ce qui exige évidemment que Ton ait , pour un tel point,

d'^y =z o avec d^z = o.

364. Pour compléter ce qui regarde les points singuliers, nous ajouterons que quand il y aura rebroussement dans Tespace, chaque projection de la courbe présentera aussi un rebroussement 5 et quoique la réciproque de cette proposition ne spit pas toujours vraie, nous pouvons du moins affirmer que les points singuliers de cette espèce satisferont aux deux conditions

d^y = ou = 00 , d^z = ou = 00 .

365. Nous fei^ODS remarquer ici qu'il existe une différence essentielle, quant aux rayons de courbure, entre les courbes planes et les courbes gauches. Dans les premières , les rayons relatifs aux divers points de la courbe étant tous dans son plan, se rencontrent consécutivement et forment par leurs intersections une courbe à laquelle ils sont tangents, et que Ton nomme la déi^eloppée de la première \ mais , dans une courbe gauche , les rayons des cercles osculateurs ne se rencontrent pas consécytiveinent. En effet, par les milieux K, K', K", . . . , des

Df: LA COURBURE DES LIGNES. 3ot

divers éléments de la courbe MM'M". . . ., menons les Fie 5i, plans normaux P, F, P", . . . , qui se couperont deux à deux, suivant les droites AB, A'B', . . . , et formeront ainsi une surface développable (n** 331) enveloppe de tous ces plans. Si nous coupons les plans P et P' par le plan osculateur MM'M", qui est perpendiculaire à l'un et à l'autre, nous obtiendrons pour intersections les normales KC et K'C , perpendiculaires à AB, et dont la première sera (n** 351) le rayon de courbute relatif au point M. De même, en coupant les plans normaux P' et P" par le plan osculateur M'M"M*', on aura pour sections les deux normales K'C et K"C', perpendiculaires à A'B', et dont la première sera le rayon de courbure en M'. Or , ce rayon K'C ne coïncide pas avec l'autre normale K'C, puisque ces droites proviennent du même plan P' coupé par deux plans osculateurs distincts ; ainsi , K'C va rencontrer AB en un point I diflFérent de C, et par conséquent les deux rayons de courbure KC et K'C, situés dans les plans P et P', n'ont pas de point commun sur l'intersection AB de ces deux plans : donc ces rayons ne sauraient se couper.

Il résulte de là que les centres de courbure C , C, C', . . . , n'étant pas donnés par la rencontre successive des rayons KC, K'C, K"C', ,..,/« courbe qui passerait par tous ces points n aurait pas pour tangentes ces mêmes rayons , et par conséquent ceux-ci ne sauraient être regardés comme formés par le déi^eloppement d'un fil qui entourerait la ligne CCC'...^ donc enfin cette ligne n'est point une développée de la courbe MM'M" . . . , dès que cette dernière est gauche.

366. Cependant la courbe MM'M". • • admet une infinité de développées, ainsi que l'a fait voir Monge. En effet, si dans le premier plan normal P nous tirons arbitrairement une droite KD, qui sera toujours normale à la

302 CHAPITKK XVÏ.

courbe proposée ; puis^ que par les points D et K' nous tirions une autre droite K'D0, qui sera dans le second plan normal P', puis une 'troisième droite KTO'D" située dans le plan P'', et ainsi de suite, iioij^ ol)tiendrons , par les intersections successives de ces normales particulières, une courbe Diy0'. . . à laquelle ces normales seront tangentes, et qui pourra servir à décrire la ligne MM'M". . . parle développement d^vn fil enroulé 'autour de cette déifeloppée DD'D''. . . Pour le prouver, il suffit de faire voir que les portions DK et DK' des tangentes a cette développée sont égales entre elles, ou bien que le point D est à la même distance des trois point» M, M', M''^ or cela résulte de ce que la droite AB étant rintersection de deuie plans P et P' élevés perpendiculairement stir les milieux des éléments MM' et M'M'', chaque point de AB est à égale distance de M, dç M' et de M" : aussi cette droite est-elle appelée la ligne des pôles de Tare total MMIM^ et lesdis* tances DR., lyK',..,, sont les rayons de développée jcp!i\ ne faut pas confondre avec les rayons de courbure. D^ail^ leurs, comme la première normale KD a été menée arbitrairement dans le plan P, on pourra donc , en faisant varier cette normale, obtenir une infinité de développées situées toutes sur la surface enveloppe des plans normaux. Pour de plus amples détails sur cette matière , on pourra consulter le Traité de Géométrie descripti%^e , n^' 659 et suivants.

i)ït LA COUAAURK USS SURFACES. 3oJ

De la courbure des Surfaces 4

367. Pour estimer la courbure d'une ligne quelconque, en un point donné, on la remplace, dans les environs de ce point , par Tare du cercle osculateur (p^ 351) qui ayant deux éléments communs avec la courbe , présente la même courbure que celle-ci. Quant aux surfaces , on ne peut pas tenter de les assimiler ainsi à une sphère, puisque dans cette dernière la courbure est évidemment uniforme tout autour d'une même normale , tandis qu'il n'en est pas de même ordinairement pour une surface générale. Il faut donc alors imaginer divers plans conduits suivant la normale de la surface au point considéré ; calculer le^ rayons de courbure de ces sections planes, et par leur comparaison, on jugera de la courbure plu» ou moins prononcée de la surface autour de ce point , ainsi que du sens dans lequel est dirigée cette courbure ^ car nous avons vu (n° 271) que certaines surfaces se trou^ vaient en partie au-dessus, et en partie au-dessous de leur plan tangent. D'ailleurs ces diverses sections normales se trouvent, quant à leur courbure, liées entre elles et avec les sections obliques , par des rapports bien remarquables que nous allons faire connaître, en com^ mençant par calculer le rayon de courbure d'une section oblique quelconque.