Soit M (x, y, z) le point considéré sur une sur
3o4 CHAPITRE XVll.
face représentée par
ici où les trois variables ne sont liées que par une seule équation, deux, d'entre elles, x et j^, seront indépendantes, et l'ordonnée z admettra, dans les divers ordres, plusieurs dérivées partielles que nous désignerons, suivant
l'usage , par
dz dz
dH __ dH __ d^z __
di' "" ''* *éMfy ~" *' ^» "" ^'
de sorte que quand on aura besoin de faire varier à la fois X et y^ les diffiirentielles totales de z seront
(2) dz = pdx -H qdy^
(3) d^z= dpdx'+- dqdf
= rdx^ + T^dxdy -f- tdy^,
369. Soit maintenant MT une tangente menée à la surface, et dont la position sera fixée par les angles a, ë, 7, qu'elle forme avec les axes coordonnés rectangtdaires. Un seul de ces angles restera arbitraire \ car , outre la relation ordinaire
(4) cos'a H- cos*6 H- cos*7 = i,
il faudra encore exprimer que la droite
, ces « , , . , cos 6
cos7^ ^ "^ COS7 ^ ^
se trouve située dans le plan tangent (n^ 266)
ce qui conduit évidemment à l'équation de conditiou
ces y =2 p cos OL -h q ces 6 ,
DE lA GOimBURS DBS SURFACES. 3o5
OU bien , en élevant au carré ^ pour éliminer cosy,
(5) (i H-/?*) cos'a -f- 2.pq cos a cos 6 -h (i + q"^) cos' 6=1.
Ainsi , voilà deux relations (4) et (5) qui lient entre eux les angles a, 6, y, et ne permettent plus dé se donner arbitrairement qu'un seul de ces angles.
370. Si à présent nous menons , par cette tangente ^"'6. ^o. MT, deux plans sécants, Tun normal à la surface, Tautre oblique et formant avec le premier un angle o» , ils couperont la surface suivant deux courbes AMB, A'MB', toutes deux tangentes à MT ; et le centre de courbure de
la section oblique s'obtiendra (n** 358) en cherchant le pointd'intersectîon T du plan osculateur, qui est ici le plan de A' MB', avec les plans normaux à cette courbe menés par les points infiniment voisins M et M'. Donc , en représentant par MI et M' Y les traces de ces deux.derniers plans sur celui de A' MB', la distance MI! ==:.pi sera le rayon de courbure de cette section oblique 5 et comme les deux plans normaux se couperont suivant une droite II perpeudiculaîre sur A' MB', laquelle ira évidemment rencontrer la normale MN de la surface , puisque MN et TI sont situées toutes deux dans le plan mené par le point M perpendiculairement à MT, on voit c0(^ suffira de calculer cette distance MI = p -, car le triangle rectangle Mir fournira pour le rayon de courbure demandé MI' = pi, la valeur (*)
(6) Pi = pcosw.
371 . Cela posé, 'Sans former Téquatron du plansécant de A'MB', il suffit d'observer que les trois coordennéesi de
•'*) Cette méthode est tirée du mémoire inséré par M. Poisson dans le '21® cahier du Journal de V École Polytechnique.
3o6 CHAPITâE HVU.
cette courbe étant liée» par cette équation et par eelle de la surface , toutes trois seront variables en même temps , et que leursdifierenti elles auront avecrélément MM' = ds , les rapports connus (n° 348)
, ^ dx dr . dz
(,) ^=cosa, ^ = co»«. ^ = eosTt;
d'ailleurs la droite IT intersection des deux plans normaux consécutifs , sera déterminée (n** 358) par les équations
(8) {x' — x)dx -f. (j' — x)dy -h {«' — t)dz = o,
(9) (^' — *)fl?'^-+- (r' — /M!r-i- (^' — «ya= ds\
tandis que celles de la normale MN à la surface, seront (n^270)
(lo) 4/— -or -+-/?(«' — z)=o, (ii)y' — j^ -+-S'(^ — a)=o.
Mais de ces quatre équations , la première est vérifiée par les équations (10) et (11) en vertu de la relation (2) à laquelle la courbe A' MB' doit satisfaire, à cause qu'elle est sur la surface donnée ; d'où il suit que les droites MN et n' se coupent effectivement , comme nous l'avions déjà remarqué, et qUe les coordonnées x', y\ z de leur point de section I, seront fournies jiar les équations (9), (10) et (i i), sous la filùie
d^z—pd^X'-qdy^ -^ -^ d^z — pd'^x — qd^y^
—pds"
dH — pd^x — qd^X
La droite MI :=3: p qui est la distance du point (x'^ y* j z') ao point M (x, y,* ^), est alors facile à calculer , et Ton trouye
__ ds^sli -+-/>' -h ^' ^ "" dH — pd\v — qd\r '
mais les différentielles qui entrent ici, appartenant à une courbe A' MB' située sur la surface donnée , doivent satisfaire à la relation
dz r= pdx -{- qdy ,
qui , étant diflFérentiée sous le point de vue actuel , c'çstà-dire en y regardant Xyfy z , comme variant à la fois , fournit , au lieu de la relation (3) , la valeur
i/*z = pd^x -^ qd^y-^ rdx^ -4- %sdxdy -f- td^"^ ;
de sorte qu'eir substituant dans l'expression d^ p , il vient
— ds^ \l i^ p^ -f- q ^ ^ rdx^ -4- n^dxdy + tdy'^^
OU bien , en divisant par ds^ et ayant égard aux formules (7) ,
(12) P =*= •■ : , '' — - — ^ r— : rs»
^ ' ^ rCos* a -h 2JCOS a cos 6 + / cos' 6
372. Cerésultatqui,joint àlaformule(6), jOi = pcosw, Fie. 40. permet de càlciilel' le rayo'ti de courbure MI' = pi de la section oblique A' MB', montre que la portion MI = p de la normale à la surface, est indépendante de Tangle co, c'est-à-dire qu'elle demeure constante lorsque le plan sécant tourne autour de la même tangente MT, quoique alors MI' = px chaîne de grandeur et de position. Par conséquent , si Ton pose o) = o dans la formule (6) , il viendra pj = p ; ce qui prouve que MI = p est précisément la position et la grandeur du rayon de courbur^d» la section nortuçile AMB. passant par la tangente don* née MT. D'ailleurs^ la formule (6) devient alors Texprefrsion d'tin théorème l'çmarquable dû. à Meunier j savoir ; que le rayon de courbure d*iine section çhlique, est la projection j sur le plan de cette courbe , du rayon de la section normale qui passe par la même tangente,
3o8 CHAPITRE XVII.
373. On peut énoncer ce théorème sous une autre formç, ennmagînant une sphère décrite du point I comme centre , avec le rayon de courbure IM de la section normale AMB^ car il résulte, évidemment de ce qui précède
FiG. 45. que tout plan N'MT conduit par la tangente MT, coupera cette sphère suwant un cercle MD' qui sera le cercle osculateur de la section faite dans la surface par le même plg,n,
FiG. 40' 374. Maintenant , comparons entre elles les diverses sections normales faites dans la surface , «put autour du point M, et dont les rayons de courbure sont donnés (n*^ 372) par la formule (*)
^ ' " rcos^a -4- 2JCOSacosê -f- ifcos^ê'
dans laquelle les angles a et 6 ne peuvent varier qu'en restant toujours soumis à la relation trouvée n^ 369^
(i3)(i -4-/?^)cos^a +'2/>y cosacosS 4-(i -h^')cos'6= i.
Cette relation pourrait s'obtenir d'une manière plus prompte , en observant que les coordonnées de la courbe AMB, qui satisfont toujours à la condition générale
dlr* + «fy-* -4- c?a' = ds^9
(*) Si Ton voulait arriver directement à ce rayon /9,.8«ffis passer par la con^ération d'une section oblique, il suffirait, en réduisant les raisonnements do no 570, d'observer que le centre de couirbure de ÂMB est à la fois sur la normaU MIV de la surface, et dans les deux plans normaux' consécutifs de la courbe AMB ^ or comnie le premier de ces plans ren • ferme nécessairement MN, cela reviendrait encore à combiner les équations (9), (10) et (i i) qui conduiniient ainsi dtreetement à la formule (13). Mais ici, nous avons voulu démontrer en mémâ temps -le théorème de Meunier.
doivent îci vérifier réquation dîfférèntiellie de la surface y
dz = pclx -h qdy ; ce qui donne
(i '^p^)dx^ -H 'ipqdxdy 4- ( i -+• ç') é^' = ds^y
puis, en divisant les deux membres par ds^^ et ayant égard aux formules (7), on retomberait sur (i3).
Toutefois, si l'on voulait n'employer qu'une seule indéterminée^ on poserait
, rx cos € dy
^ cos a dx
et en substituant dans (12) et(i3)y elles conduiraient, par l'élimination de cos'cx, à cette nouvelle expression
375. Cela posé, observons que si, dans les formules (12) et (i5), nous com^enons de prendre toujours positive-
MEiTT le radical ^\ +p^ -+• 9*, la valeur totale de p aura constamment le même signe que son dénominateur; ear le niunérateur de là dernière formule , égalé à zéro y n'admet que des racines imaginaires pour m. Or ce déno^ minateur est égal, àcela près d'un facteur positif cos'(x, au dénominateur de la valeur trouvée pour z' — z au n** 371 ^ donc p et s! — z seront toujours de mêmes signes. Par conséquent, lorsque p sera positif -pour une valeur attribuée à a ou à m dans les formules (i a) ou (i5) , on pourra affirmer qu'alors z' > a, et que par suite le rayon de courbure p se trouvera dirigé au-dessus du plan tangent; de sorte que la section normale correspondante se trouvera concasse, laiu moins dans les environs du point
3lO CHAPltRE XVII.
considéré. Au contraire, lorsque p s^ra négatif dans les formules (xa) ou (i5), on aura z' < -^> et, par suite, le rayon de courbure p sera dirigé au - dessous du plan tangent^ c'est-à-dire que la section correspondante se trouvera convexe dans le voisinage, du point en question. Ainsi , d'après la conveiilion admise plus haut sur le radical v/ï +^' + <y*5 les formules générales (12) et (i5) offriront l'avantage d'indiquer à la fois la grandeur et le sens de la courbure de chaque section normale.
376. Pour reconnaître imlnédiatement si toutes les sections normales autour d'un même point , sont convexes ou non , cherchons les racines du dénominateur de p , égalé à zéro , ce qui doniie
eod € — s±^s* — rt
m cos a
d'où nous concluroiv^.que, quand les coordonnées Xyj^ z^ du point considéré sur la surface, vérifieront la condition
rf — f* > p,
le «dénoininateur en question ne chéfngera jamais de signe quel que sttit l'angle 0^ \ donc tioutes les valeurs de p auront un signe constant, et la surface se trouvera située, dans les environs du point considéré., tout entière au-dessus ou tout entière au-dessous, de son plaù tangent. €ki dit alors que la surface est convexe tout autour fâe ce point; et elle serait entièrement convexe, si la condition précédente se trouvait vérifiée par tous ses points , comme dans un ellipsoïdie«
