Au contraire, si, pour le point considéré, on, a

rt — ** <^ o ,

le rayon de courbure deviendra infini pour les hypothèses

DE LA GOURBUmB DES SURFACES.' 3ll

m r= m^ y m = m^, et il changera de signe avant et après chacune de ces racines : d'où il suit quHl y aura d^s sections normales situées au-dessus du plan tangent ^ et d'autres situées au-dessous, el que la surface sera non convexe ou à courbures opposées autour du point en question. C'est ce qui arrive, entre autres , dans les surfaces gauches considérées au n^ 318 ; car Féquation commtoe à tous leurs points étant

laquelle peut s'écrire sous la forme

on voit qu'ici rt — 5* est nécessairement négatif, et qu'ainsi les surfaces de celte classe sont toujours non com^exes dAn'& tous leurs points. Nbùs reviendrons plus en. détail sur cette discussion que nous ne voulons qu'indiquer en ce moment.

378, Enfin, dans les surfaceif déi^eloppables ^ dont l'équation générale (n^ 3

rr — 5» = o ^

îl arrive que le dénominateur de p devient un carré parfait^ et par suite, ce rayon de courbure gardera encore un signe constant pour tous les po^ts d'une telle sul^face. Elle sera donc convexe en chaque point; mais elle aura une courbure nulle dans la direction unique qui répond à

/» = /«, = /lia, d'où p = 00 ,

direction qui coïncide évidemment avec la génératrice rectiligne de la surface développable.

379. Rentrons dans le cas général auquel se rapportent les foimules (12) et (iS)^ et comme il est évident A ^ribn

3l2 CHAPITRE XVII.

qu'en faisant tourner le plan sécant tout autour de la normale 9 la courbure de la section ne peut pas croître ou décroître indéfiniment, il y a lieu de chercher quelle^ sont les valeurs de a ou de m qui rendront le rayon p minimum ou maximum. Or, les quantités p^ q^ r, s^ t étant des fonctions de x, j^, ^, qui se déduisent de Té^ quktion de la surface , et sont par conséquent indépendantes de a (*) ou de la direction donnée au plan sécant, il suffira d^égàler k zéro la différentielle de la formule (12) prise par rapport à a et 6 , et d'y joindre la différentielle de l'équation (i3) qui lie entre eux ces deux angles. Il pourrait paraître plus simple d'employer la formide (i 5), où l'on n'aurait à différentier que par rapport à la seule indétemûnée m \ mais les calculs seraient moins symétriques, et nous préférerons la première méthode. Si^ d'ailleurs , nous écartons l'hypothèse

laquelle peut fournir quelquefois des minimum ou maximum, c'est qu'elle ne conduirait ici qu'à égaler à zéro le dénominajteur de p , et donnerait ainsi les valeurs infinies déjà remarquées au n^ 377, mais qui ne sont point de véritables minimum ou maximum^ car, le rayon p changeant brusqueis^nt de signe avant et après ces valeurs extrêmes , on ne trouve plus là la conjtinuité indis-

{*) Cependant, pour quelques points singuliers dans lesquels les déri-

yée^Pi q, r, s, t, prennent la forme indéterminée -, il peut arriver que

leurs vraies valeurs se trçuvent dépendre de a; mais ce sont des cas très* particuliers pour lesquels nous renverrons au mémoire déjà cité de M. Poisson, à qui Ton doit la remarque et Pezplication de ces circonstances singulières .«(Fctre^ le ai« cahier du Journal de l École Polytechnique.)

DE XiA GOU&BUlkE DES SURFACES. 3l3

pensable au maximum qui a besoin d'être immédiatement suivi et précédé de valeurs plus petites. En partant donc des formules (la) et (i3), nous poserons

(r cos a + ^ cos ê; sin a «^a + (< cos 6-+- s cos a ) sin € <2 Ç = o, [ (i -hp*) cos a -4-/'9 cos 6] sin a.da. •+- [ ( i +7*) cos ê + ^9 cos a] sin 6iië ;= o ,

d'où l'on déduit

^ rcosa + 5COs6 (i -^p^) cos a -^pq cos ^

^ ' /cosS -f-^cosa "^ (i -f-^*)cos6-f-/?ycosa*

Cette relation, jointe à (i3), déterminera les valeurs de a et S qui rendront p minimum ou maximum^ donc , pour obtenir Féquation qui donnera simultanément tous ces rayons particuliers qu'on appelle rayons piaNciPAux, il suffit d'éliminer a et 6 entre (12), (ï3) et (i6). Mais, afin de n'avoir à opérer que sur des équations du premier

degré, multiplions d'abord l'équation '(i 6) par g,

puis ajoutons l'unité à chaque membre ; nous formerons ainsi une nouvelle équation où il entrera : i^ le polynôme (i 3) qui égale l'unité; a** le dénominateur de p, qui

pourra être remplacé par -, en posant pour abréger,

)/i -+-/?' + q' = ^y de sorte qu'il viendra

(17) f cos 6 -+- J cos a =r - [(i H- q^) cos ^ ■+• pq COS a].

De même, en renversait d'abord les fractions de l'équation (16), et multipliant les deux membres par , puis

en, ajoutant l'imité à chacun, on trouvera

{18} rcosa -h f cos6 = -[(i -h/?') cos a -h pq cos ^].

3l4 CHAPITRE XVll.

Alors, voilà deux équations (17) et (18) qui peuvent remplacer (|3) et (16), et qui sont du premier degré^ on en tire aisément

(19) [pt — ^(i + Ç^)] cos 6 = (Apq — ps) CCS a,

(20) [pr — X- (i -h p^)] cos a =r {Âpq — ps) COS €;

puis , en multiplian,t ces dernières Punè par Fautre , a et ë se trouvent éliminés^ et il vient, en remplaçant le signe général p par R, qui désignera dorénavant les rayons principaux j

Cette équation du second degré montre que, parmi toutes les sections normales faites autour d^un même point d'une surface , il n'y en aura généralement que deux dont les rayons de courbure soient plus grands 00 plus petits que les autres ; leurs valeurs seront données. pajr les racines de l'équation (21) , savoir (*),

!>// \ i . 2it*

^ ^ R'ji 2g^^ ^ ^^ r AzFs/F=47r»

où nous avons posé , pour abréger,

A = (1 + q^)r — '3^pqs + (i -4-/?') t\

(*) Ces. racines sont toujours réelles , comme nous le prouverons gêné* ralement au vP S98 ; mai« on pourrait s'en assurer déjà très-simplement en supposant/' := et 7 = o dans Téquation (^1 ), qui donnerait alors des valeurs dont le radical porterait sur la somme de deux carrés. Or, oomme cette hypothèse revient à supposer que le plan des (x^ y) a été choisi parallèle au plan tangent dans le point considéré, ce qui ne peut altérer nullement la forme de la surface, il est certain que. si les deu^ rayons R' et IV sont .réels dans cette hypo.lhèse, ils le sont pareillement dans touleautre position des plans coordonnés.*

et nous prouverons plus loin (n**** 385, 388) que , de ces deux rayons , Tun R' est toujours uu minimum, et l'autre R'' un maximum, parmi toutes les valeurs de p , du moins en comparasit celles qui ont un mèmeâigne..

380. Au rayon miuimvjn R' correspondra une section normale de courbure maçeimum > et au rayon maximum R" une section de courbure mininman, lesquelles se désignent aussi sous la nom de sECTioira phutcipàles. Pour troBflr<er leurs positions , il suffit de recourir à Téquation (i6) qui détermine le rapport

cos 6 dV

COS a dx

et qui , ordonnée par rapport à cette quautité , devient

(^3) g[(,+^^).-.;,yr]4-J[(l-f.î^)r-(i+/>')r]

Les deux racines de celte équation (*) seront évidenmient Fic- 4^^

mf = tang FFS, m" =;= tang P"PS ;

ainsi elles* feront connaître les projections PP ' et PP" des deux tangentes MM' et MM" pan? lesquelles doivent passer les plans normaux qui contiennent les deux sections principales MA et MB 5 mais pour distinguer ceHe qui répond au rayon minimum R' de celle qui répond au rayon maximum R", il n'y aura qu'à substituer tour à tour R' et R" à la place de p dans ime des équations (19) et (20), puis

{*) Ces racines sont aussi toujours réelles, comme noas le prouverons d^une ^tanière-générale au n^ ^8, mais on peut le 'recon^alM*e d^, en posant ;7=:o et ^ = 0, comme dans la note précédente; car Téqua-* tion (23) se réduit alors à la forme (34) ? ou la réalité des racines est évidente.

3i6 CHAPITRE xyii.

en déduire la valeur de

cos 6 cos «•"

381. Lçs plans des deux sections principales sont toujours perpendiculaires entre eux. En eflfet, Tangle de ces plans est évidemment mesuré par celni des tangentes

FiG. 46. MM' et MM''; et pour estimer ce derdier plus facilement , nons supposerons que les axes coordonnés cmt été^ choisis de manière que le plan %Y soit parallèle ati plan tangent de la surface en M. Cette hypothèse ne peut rien» changer à la position relative des tangentes ou des éléments MM' et MM" 5 mais elle rendra ces éléments parallèles à leurs projections PP' et PP", et, par suiçe, il suffira de prouver queTangle P' PP" est droit 4ans cette hypothèse. Or, Féquation générale du pl^ tangent

devant se réduire alors à la forme Z = -» , on en conclut que pour cette position du plan tangent, on a^ = o el {/ = 0'^ valeurs qui introduites dans Téquation (a3), la réduisent à

(34) ^V^(^-i=oj -.

^^^ dx^^ dx\ s ) • '

et la forme du dernier terme montre que let deux racines satisfont à la condition

ce qui prouve que les deux directions PP' et PP* sont bien rectangulaires , ainsi que les tangentes MM' et MM" dans r espace.

382. Pour apet^cevoir aisément tes rapports que les deux rayons principaux ont avec les ai^tres , iqoiagiuons que l'origine des trois axes coordonnés rectangulaires sait^

DE LA COimSUEB Il^S SURFACES. 3l7

placée 4U point M doun^ sur la surface, et que deux de

ces axe», MX et MY, soient situés dans le plan tangent; Fig. 41.

alors o|i aura , coinme cinlessus , les conditions

/? = o , q=: Oy ces S = sin a , ce qui réduira la formule générale (12) à

fi5) a ^= — — — — • r-^ '-. .

^ rc(<J* a-t- 2^cosasina-+-^sin*a

En outre , nous pouvons admettre que les deux axes MX ctMY ont été clioish tangents aux deux sections principales MA et MB, puisqu'on vient de voir que ces courbes^ soiit situées dans deux plans normaux rectangulaires 3 mais alors une des racines de Téquation (24) devra être nulle, et l'autre infinie; ce qui entraîne évidemment la condition 5 = 0, attendu que l'on a

nt^ -^m" i^ , et jw'.m'' = -^ 1 :

donC) avec de tels axes coordonnés, on aura pour le rayon de courbure MI d'une section normale MN qui fait un angle a avec MA , la valeur très*simple

383. Maintenant , poui: déduire de là les deux rayons principaux qui appartiennent ^ d'après nos hypothèses ^ aux sections MA et MB , il suffit ici de poser tour à tour a = o , « = 90*^ ; ce qui donne

Or, en substituant ces valeurs dans la formule (26),

3l8 GHAt»ITRE XVXI.

l'expression d'un rayon quelcén(}ue MI = p , devient

(27) -=:i;-cOS»a4-^,sin^a,

relation très-remarquable, trouvée d'abord par EuleVj et d'après laquelle on pourra toujours calculer aisément le rayon de courbure MI=:p d'une section normale quelconque MN, dès que l'on connaîtra l'angle a, qu'elle forme avec une des deux sections principales MA et MB, ainsi que les rayons R' et R' de ces derpières.

Tandis que si l'on employait^ des sections normales quelconques, il faudrait connaître trois rayons p', p", p" de pareilles courbes, et les angles a' et a" compris entre elles, pour calculer, d'après la formule (aS), le rayon p d'une section normale MN qui ferait l'angle et avec la première. En effet, si dans la formule (aS) où a est compté à partir d'un axe dps x qui a un^ direction arbitraire sur le plan tangent , on pose tour à tour

a = o et p = f',

.ut

a = a' et p = p ,

a = a' -h ot!' et p = p'

on aura trois équations de condition qui suffiront pour déterminer les constantes r, 5 , t\ après quoi, cette même formule (aS) fera connaître le rayon p de la section particulière que l'on chercbe.

384. Remarquons ici que si l'on compar,© deux sections normales qui soient perpendiculaires l*unà à l* autre, leurs rayons de courburç p^ et p" se déduiront de la formule (^7) en y posant successivement

a == a' et a = a' -f- 90%

1)K LA GOUEBURB VKS SURFACES. 3l9

ce qiii donne

d'où Ton conclut

Il II

^. "^ 7' "' ïF ^ R^'

Ainsi la somme des rayotis de courbure renversés de deux sections rectangulaires , ou bien la somme des courbures (n®352) de ces sections, est toujours constante autour d'un même point d'une surface. Mais on doit bien remarquer qu'il s'agit ici d'une somme analytique; car les règles établies au n** 375, sur les signes des rayons et sur le sens de la courbure des sections normales, doivent être observées dans toutes les conséquences que nous avons tirées de la formule générale (i 2) *, et c^est aussi d'après ces règles que nous allons maintenant discuter l'équation d'Euler.

385. Lorsque les deux rayons principaux sont de même signe, comme dans Isijig. 41, oùR' = MG et R"=MH, fig 41. la formule

(27) l^l^cùS^a-^ S^*^°'*

montre clairement que, qvbel que soit l'angle a^ chaque section normale MN aura aussi un rayon jd=sMI de même signe qu^ R' et R^; et par conséquent (n° 375) toutes les sections normales auiU>ur du point M seront situées , dans les environs de ce point , d'un même c6té du plan tangent : la surface est dite alors convexe au point M. Dans la même hypothèse , le plus petit des deux rayons principaux, en valeur absolue , est minimum parmi tous les rayons de courbure des diverses sections normales ^

320 GHAPITEZ XVII «

et le plus grand des deuxray0ns prin<xpaux ejt maximum entre tous les autres. En effet, puisqu'ici R', R" et p sont tous de même signe , T^quation (27) 3ubsistera toujours en ne prenant que les valeurs absolues de ces rayons, c'est-à-diré en rendant tous ses termes positifs ^ et si alors on suppose R'< R", on pourra écrire cette équation sous Tune et l'autre des formes suivantes :

COS'a.

Or, d'après Thypotlièse R'<C R", il résulte évidemment de ees équations qu'on aura toujours, quel que soit l'angle a,

d'où

R'<p et R">p;

ee^ qui prouve que R' est minimum^ et R" maximum entre toutes les valeurs de p.

386. Lorsque les deux rayons principaux sont égaux et de même signe , la formule (27) montre que p = R', quel que soit l'angle a *, alors toutes les sections normales faites autour du point M ont une courbure égale, et chacune peut être regardée comme une section principale. En effet, si nous prenons le plan tangent pour le plan des (x, y^ , comme au n^ 381 , nous aurons ^ = o , ^ = o , et la formule générale (22) deviendra

or, pour que ces deux valeurs soient égales, il faudra

poser à la fois

r — r = o et s = o,

conditions qui rendront identique l'équation (24)5 et laisseront alors entièrement arbitraires les directions des sections principales que cette équation devait déterminer. Cette circonstance se présente évidemment dans une sphère pour tous ses points , et dans un ellipsoïde de révolution pour les deux points qui sont sur Taxe ; mais nous reviendrons (n® 397 ) d'une manière plus complète sur ce genre de points singuliers que l'on nomme des ombilics.

387. Supposons maintenant que les rayons principaux soient de signes contraires y par exemple , R' positif et R' négauf ^ les deux sections principales MA et MB auront la position indiquée fig, 4^ 9 ^^ I^ surface sera non coni^exe au point M, puisqu'il y aura des sections situées au-dessus du plan tangent en ce point , et d'autres placées au-dessous. Pour déterminer les limites des unes et des autres , mettons en évidence les signes des deux rayons R' et R" dans la formule (27), qui deviendra ainsi

(28) -. = cos» a — ^, sin» a.

On voit alors qu'en faisant augmenter l'angle a à partir de zéro, le rayon variable jO commencera par être positif, et égal à R'^ puis, il ira toujours en croissant jusqu'à p = 00 , valeur qu'il atteindra quand l'angle a aura acquis une grandeur ci) pi*opre à vérifier l'équation

cos'w sin^ù) ,, , , /r^

Si donc on tire dans le plan tangent, deux droites MD Fig. 4^ et ME qui fassent chacune aveé MX un angle égal à w ,

ai

ces droites seront les traces de deux plans normaux limites, tels que toutes les sections comprises dans les deux angles opposés D'ME et IX ME' auront des rayons de courbure positifs^ et par suite ( n° 37S ) ces sections seront toutes situées au-dessus du plan tangent, D^ailleurs, il est évident que R' sera le minimum de tous ces rayons positifs.

388. Si Ton fait ensuite augmenter a au delà de co , la formule (28) montre que p devient négatif, et va en décroissant numériquement depuis at=(o, où|0=:z!zoô, jusqu'à a = 90^, où p = — R" : au delà le rayon p , toujours négatif, recommence à croître numériquement jusqu'à a =180*^ — ot), oùp = — <X) 5 de sorte qu'en continuant cette discussion, on verra que toutes les sections situées dans les deux angles opposés DME' et D'ME, ont des rayons de courbure négatifs , et par conséquent ces diverses sections sont toutes (n° 375) au-dessous du plan tangent.

D'ailleurs , on voit que R'' sera le minimum numérique des rayons de courbure de ce genre ] ou bien, si l'on continue à tenir compte de leurs signes, on peut dire que le rayon — TM' est un maximum analytique j mais seulement par rapport aux rayons uégatifs : au lieu que dans les surfaces convexes (n° 38^^) les deux rayons principaux R' iet R" étaient, l'un minimum absolu j l'autre nuixim^um absolu entre tous les rayons de courbure des diverses sections normales faites par le point en question.

389. On trouve des exemples de ces courbures opposées, sans sortir des surfaces du s^ond ordre. En eilet, dans le paraboloïde hyperbolique et l'hyperboloïde à une nappe , nous savons que le plan tangent en un point quelconque coupe la surface suivant deux droites ^ or ce sont ces lignes qui , tenant lieu des droites DD' et EE' {fig- 4^),

D£ LA COURBURE DIS SURFAGSS. SsS

partagent la surface en quatre régions opposées deux à deux , dans lesquelles les sections normales tournent successivement leur convexité en sens contrai)res. Pour fixer davantage les idées , il n ^ a qu^à considérer spécialement Tun des quatre sommets de Thyperboloïde â une nappe , et faire tourner le plan de V ellipse de gorge autour de Taxe qui coïncide avec la normale à ce sommet: alors ou reconnaîtra sans peine que ce plan mobile donne d^abord des sections elliptiques convexes extérieurement, puis des hyperboles concaves ; et que ces deux genres sont séparés par deux sections rectilignes, qui tiennent lieu de paraboles , parce que le plan sécant , arrivé à Tune ou à l'autre de ces limites, renferme deux droites parallèles de la surface.

390. Observons que dans Fhyperboloïde gauche dont nous parlons ici , les sections normales limites sont précisément ces deux génératrices rectilignes , et par conséquent leurs rayons de courbure sont évidemment infinis , comme Favait annoncé la formule (28) -, mais , dans les surfaces d'un degré plus élevé, les plans normaux limites donneront des sections cun^iUgnes, distinctes des droites DD', EE', et tangentes à ces lignes , avec lesquelles elles auront onéme lui contact du second ordre au moins, puisque les rayons de courbure sont toujours infinis à ces limites. C'est ce qui arrive dans le torej où le plan tangçnt à la nappe intérieure coupe la surface suivant une courbe fermée, dont les deux branches ofirent un point multiple. ï^es tangentes à ces di^ux branches sont les traces des plans normaux limites, et c«ax-ci couperont le tore suivant des courbes qui toucheroat ces mêmes tangentes , avec un contact du troisième ordre , puisque chacune sera tout entière d'un même côté de sa tangente. Vojez la Créométrie descriptix^e^ n^ 730.

324 CirAPlTRK XVII.

391 . Dans les surfaces développables , dont réquation générale trouvée n** 328 , est

rt — ^* = o,

on voit que si on les rapporte aux mêmes axes cpie cidessus (n^ 382), la condition s = o entraînera Tune de ces deux-ci , r =^ o ou f = o ; de sorte que Tun des rayons principaux trouvés n^ 383 sera infini. Mais sans recourir à ces axes particuliers , la formule générale (22), dans laquelle il faudra poser g=o^ après avoir fait passer le radical au dénominateur, donnera

d'ailleurs la formule (i 2) devenant ici

{>fr cos OL '\- ^t cos ê /

il en résulte que toutes les sections normales auront des rayons de même signe , quel que soit Tangle a , ou bien que la surface est encore com^exe dans tous ses points. Ces résultats s'*ccordent avec la nature des surfaces développables dans lesquelles nous savons (n^ 274) que le plan tangent ne coupe pas , mais touche la surface tout le long de la génératrice rectilîgnè ; et cette droite devient la section principale dont le rayon de courbure R" est maximum et infini , tandis que le rayon miuunwn R' appartient à la section Itite pérpendmikirÊmeut à la génératrice. Toutes ces conséquences sont faciles à vérifier quand on prend pour, exemple un cylindre à base quelconque.

392. Les formules (2^) et (28), qui lient entre eux les rayons de couAure des diverses sections normales,

DK LA COUIIBURK DES SURFACES. 325

présenlent une analogie frappante avec les relations qui existent entre les diamètres et les axes d'une ellipse ou d'une hyperbole. On sait, en effet, qu'en appelant a et h les demi-axes d'une ellipse , et a un demi-diamètre qui fait un angle a avec le premier axe , on a , pour déterminer la longueur de ce idiamètre , l'équation .

-75 = — ces' a 4- 7- sm » a ,

laquelle subsiste pour l'hyperbole , en changeant h^ en — J', Si donc on construit une courbe du second degré dont les axes soient tels que

a' = R', 6' = R", on aura évidemment o'* = p ;

de sorte que si les rayons principaux sont tous deux positifs, cette courbe sera une ellipse dans laquelle les carrés des diuers diamètres représenteront , d'une manière graphique, les valeurs croissantes ou décroissantes des rayons de courbure des sections normales faites dans la surface. Si au contraire R' est positif et R" négatif, Taxe b sera imaginaire, et la courbe construite sur les demiaxes a et i , toujours déterminés comme ci-dessus , deviendra une hyperbole dans laquelle les demi-diamètres a', tantôt réels, tantôt infinis, tantôt imaginaires, suivant la valeur de a , représenteront aussi , par leurs carrés , la grandeur et le signe des rayons de courbure des diverses sections normales (*).

393. La courbure d'une surface quelconque S, eo, chacun de ses points , peut toujours être assimilée à la.

{*) On pourrait aussi former une courbe da second degré dans laquelle les rayons vecteurs, et non pas leurs carrés, représenteraient les rayons de courbure des diverses sections normales de la surface. En effet, si Ton

courbure d'un ellipsoïde , ou d'un hyperboloïde gauche, dans un de leurs sommets réels. Soient en eflet MZ la Fie. 43. normale de S au point en question M ; MA et MB les deux sections principales situées dans les plans rectangu-^ laires ZX, ZY; et R', R" leurs rayons de courbure, que nous supposerons d'abord tous 'deux positifs. Si dans les plans ZX, ZY, nous traçons deux ellipses qui aient un axe conunun MO = c , arbitraire en longueur, mais dirigé suivant la normale, et qu'ensuite nous choisissions les deux autres axes OA' = a, OB' == i, de manière que l'on a* t

il en résultera que les ellipses MA' et MB' auront en M les mêmes rayons de courbure (*) que les sections MA et MB 5 et par suite elles seront osculatrices de ces

reaverae la formule. (27), et qu^on y remplace cosa et siq a par leurs Ta-, leurs en fonction de cos a a , on trourera aisément

^ ~ (R''-+-R') 4- (R" - R' ) cos 2 a' puis, si Ton pose

R^-hR'^aa, R" — R' = ac, d'où R"R''=a» — c% il viendra

^ 'a-t-ccosa» *

équation polaire d^une section conique dont les demi-axes sont a et

h = y/d* — c', et dont les rayons vecteurs , partis du foyer, seront Ie& longueurs des divers rayons de courbure; mais il faut bien observer que cbacun de ces rayons vecteurs devra former avec Taxe la^un angle double de celui que comprennent les plans de p et de R'.

(*) On sait qu'au sommet d'une courbe du second degré le rayon de courbure est égal au demi-paramètre, c'est-à-dire au carré du demi- axe parallèle à la tangente en ce sommet, divisé par le demi-axe qui aboutit ' à ce point.

DE LA COURBUKE DES SURFACES. SSH

courbes, c'est-à-dire qu'elles auront avec ces sections un contact du deuxième ordre. Or, ces deux ellipses déterminent complètement un ellipsoïde S' dont les demî-axes sont OA', OB', OM , et qui sera dit oscillateur de la surface S, parce que tout plah normal ZMX' coupera ces deux surfaces suîi^ant deux courbes MN et MN', 4jui seront oscidatrices entre elles, ou bien qui auront le même rayon de courbure.

Pour démontrer cette proposition, il faut remarquer que la section MN' sera une ellipse ayant pour axes OM = c et ON' = a', et que , d'après la note précédente, le rayon

fl'*

de courbure au sommet M sera p' = ' — ; mais a est un

demi-diamètre de l'ellipse A'N'B', lequel est lié avec les axes par la relation déjà citée