II I

et puisque \on a , par tout ce qui précède,

la relation ci-dessus devient

- = — cos'a4-g7/Mn «5

or, en la comparant avec la formule (27) qui donne le rayon de courbure de la section MN, savoir,

on en conclut que p = p\ c'est-à-dire que les aections MN et M'N', faites dans les surfaces S et S', sont osculatrices l'une de l'autre , pour une même valeur de l'angle a. Par

SaS CHAPITRE XVII.

conséquent , la forme bien connue de Fellipsoïde S^ aux environs de son sommet M, pourra servir à donner une idée exacte de la courbure de la surface S autour de ce point; seulement il faudra se rappeler que quand le point M variera sur la surface S , Fellipsoïde osculateur changera lui-même , puisque ses axes dépendent des rayons principaux au point que Ton considère.

394. Si maintenant on suppose le rayon principal R' positif, et R" négatif, les axes de la surface osculatrice S devant toujours être déterminés par les conditions

en continuant de prendre MO ;= c positif, on voit que a sera réel et h imaginaire : par conséquent Tellipse MB' se changera en une hyperbole tangente à MY, mais située au-dessous de cette droite, et la surface osculatrice S deviendra .un hyperboloïde gauche, dont l'ellipse de gorge sera MA'. Du reste, l'identité des rayons de courbure p et p relatifs à deux sections MN et MN', faites par un même plan dans la surface S et dans l'hyperboloïde S', se démontrera comme ci-dessus, puisqu'il suffira de changer partout les signes de R" et de i*, et que la courbe A'N'B', qui deviendra une hyperbole dont Taxe réel sera OA' et l'axe imaginaire OB', oflTrira encore entre ces axes et le diamètre ON' = a\ réel ou imaginaire , la. relation

= — cos' a — -ï- sin* a.

Ainsi , cet hyperboloïde gauche sera osculateur de la. surface S non conuexcj et donnera par la courbure djB son sommet une idée exacte de la forme de cette surface dans les environs du point M. Nous n'avons pas effectue

ici ces constructions *, mais on les trouvera développées avec détail dans la Géométrie descriptive, n° 698.

395. Lorsque la surface sera développable , un des deux rayons principaux , R'' par exemple , sera infini (n" 391) ; et alors Taxe b devenant aussi infini, rellipse MB' se changera en deux droites parallèles à MY , de sorte que la surface du deuxième degré osculatrice de S , deviendra un cylindre ayant ^xxr section droite Fellipse MA'.. Toutefois, ce cylindre, quoique tangent à S tout le long de la génératrice rectiligne, ne sera osculateur qu'au point M.

396. Nous ferons observer aussi que dans le n** 393 on aurait pu employer pour surface osculatrice , un hyperboloïde à deux nappes ou un paraboloïde elliptique , puisque ces surfaces sonlcom^exes comme Tellipsoïde ; et dans le n° 394 , l'hyperboloïde gauche aurait pu être remplacé par xp. paraboloïde hyperbolique ; mais nous nous sommes bornés à employer, parmi ces cinq surfaces, les deux principales dont la forme est plus facile à se représenter.

En général, deux surfaces {juetconques S et S' sont osculatrices en un point M ou la normale est commune , lorsque toutes les sections normales sont respectivement osculatrices. Or, pour cela , il suffit que les deux sections principales de S soient dans les mêmes plans et aient les mêmes rayons de courbure que les sections principales de S' : ou bien, que trois sections normales quelconques de S se trouvent osculatrices des. sections faites dans S' par les mêmes plans normaux ; car il résulte évidemment de la formule (27) et des calculs indiqués au n*^ 383, qu'alors tout autre plan normal coupera S et S' suivant deux courbes qui aiiront aussi le même rayon de courbure , et qui seront par conséquent osculatrices Vune de Vautre,

Celle définillon des surfaces osculairices équivaut, d'après la formule générale (12), à exiger comme conditions analytiques, que l'ordonnée* z et les dérivées p^q^ r, 5, f, aient des valeurs égales dans les équations des deux surfaces, lorsqu'on y substitue les coordonnées a: et j^ du point considéré.

397. Des ombilics. On nomme ainsi un point d'une surface pour lequel toutes les sections normales ont la même courbure , ce qui exige (n^ 386) que pour un tel point , les deux rayons principaux soient égaux en grandeur et en signe. Il est donc nécessaire et suffisant que le radical de la formule (22) soit mil , c'est-à-dire que l'on ait A* — 4^"^* = o, ou bien

(29) [(n-^>)r-'j^^5-h(n-;»*)r]" — 4(rf — j»)(n-;?*-4-9«) = o;

mais cette condition se partagera toujours en deux autres, comme il est arrivé déjà dans le cas particulier du n** 386« En eflFet , si l'on développe le carré indiqué , en ne laissant dans le premier membre que la quantité

et que l'on retranche des deux membres de la nouvelle équation , quatre fois le produit des deux termes de ce binôme, on pourra écrire la relation (29) sous la forme

puis, si l'on pose

(3i) • (i -h p')s - pqr = U,

(32) (l + q^)s - pqt = V,

d'où l'on déduit, en éliminant s^

(33) (, + ,.). (. +^.), = (1±£!) Vj^CljtlîS,

pq

alors Téquation (3o) deviendra

(H) [(i 4-/?0 V — (i -+- q')VY -h 4/>y UV = o,

qui , en développant le carré , peut être écrite ainsi

(35) [(■-.^)v-( --->';--^^;r-v )c]V4Pva^H-^Ç^v')^,^,

Or, sous cette forme , on voit clairement qu'oa ne peut y satisfaire qu'en posant à la fois U == o et V = o , c'estr à-dire

(36) (I -f- p')s -^ pqr = o,

(37) (i H- q')s — pqt ^ o-,

car on ne doit pas chercher à vérifier Téquation (35) en rendant nulles ou infinies les quantités p et q^ puisque ces hypothèses ne feraient qu'exprimer une indlinaisôn ■particulière du plan tangent sur les plans coordoiinés , sans avoir aucune influence sur la courbure de la surface 4ans les points auxquels on serait conduit par ce moyen.

398. Nous avons imité ici la marche de M. Poisson , parce qu'elle o£fre l'occasion de prouver gé^éra^ement que les racines des équations (âi) et (aS) sont toujours réelles \ car les radicaux que produit la résolution de ces équations, renferment précisémeiit les deux polynômes (29) et (3o), équivalents entre eux , et qui viennent d'être ramenés à la forme (35) composée de deux carrés.

Mais pour arriver aux conditions U = o et V =s o, il suffisait d'exprimer directement que , dans un ombilie , tous les rqyons de courbure des sections normales sont égaux entre eux^ ce qui devient facile en partant de la formule générale trouvée n*^ 374,

p ^ ^i ^p ^ q r + 2.m + tm^ '

332 ' CHAPITRR XVII.

puisqu'il suffit d'écrire que le second membre est indépendant de la quantité m, qui varie seule quand le plan sécant normal tourne autour du point consyiéré sur la surface. Or, pour cela, il est nécessaire et suffisant que les coefficients de chaque puissance de m aient entre eux le même rapport , ce qui donne les deux équations

lesquelles coïncident évidemment avec les conditions (36) et (37).

399. Remarquons d'ailleurs que Téquation (23) , qui détermine généralement la direction des sections principales en un point donné, devient totalement identique quand la double condition (38) est vérifiée pour ce point : résultat auquel on parvient aussi ^n observant que , d'après les relations (3i), (3 2) et (33), cette équation (23) peut s'écrire sous la forme suivante , qui nous sera utile plus tard,

jB')V-(i-»-^»)U-l^^j^^.

pq J dx

et comme pour un ombilic , on a toujours U = o et V = o, il en faut conclure qu'alors la direction des sections de courbure maximum et de courbure minimum, demeure loValeiaenX indéterminée. En effet, autour d'un tel point, toutes les sections normales ayant la même courbure, chacune peut être dite une section principale,

400. De cette discussion il résulte que, pour trouver si une surface donnée F (or, y, ^) = o admet des ombilics ^ il faut, après avoir déduit de cette équation les expressions de ^, q ^ r^ s ^ t en fonction àe x^ y^ z^ poser

les deux conditions

puis, en les joignant à F (x, j^, z) = o , chercher si le système de ces troilf équations finies, admet des valeurs réelles pour les coordonnées x^ y^ z. On voit par là qu'il n'y aura, en général, qu'un nombre limité d'ombilics sur une surface donnée.

401. Cependant, si les deux équations (38) se réduisaient à une seule vraiment distincte, alors cette équation, jointe à F(a:, y^ z) = o, déterminerait sur la surface donnée une courbe dont chaque point serait un ombilic , et qui est nommée la ligne des courbures sphérlques^ parce que dans chacun de ces points, la surface offrirait une courbure uniforme, comme ceUe d'une sphère.

402. Mais si, au lieu dedonner l'équation F (x,y , z) = o, on demandait quelle est la surface dont chaque point est un ombilic, c'est-À-dire pom' chaque point de laquelle les deux rayons principaux sont égaux entre eux , sans rien préjuger sur leur variation d'un point à un autre de cette surface , il faudrait alors trouver une fonction inconnue z = f{x , y) qui fût telle que ses dérivées du premier et du second ordre vérifiassent les relations (36) et (Sy). Or, en se rappelant la signification de ces dérivées (n° 368), on voit que les équations (36) et (37) peuvent être écrites sous la forme

p dp \ dq q dq i dp

i -^p^ dx q dx^ i -\-q^ dy p dy

alors elles peuvent s'intégrer (*) comme des équations

{*) Celte marche, plus simple que celle de Mon je, l'bt tirée du Mémoire de M. Poisson.

différentielles ordinaires , pourvu qu on remplace les constantes arbitraires par une fonction Y dey dans la première , et par une fonction X de a: dans la seconde , ce qui conduira à

i-h^'=Y^S i-|-7» = X/?% d'où Ton déduit

Mais les quantités/; et q doivent, par leur nature, satisfaire à la condition -^ = 3^ qui devient ici

dy ax ^

i dX i dY

^dx "^ *- rfr '

(i -hXr (I -hY)'"^

or , quelles que soient les fonctions X et Y , cette égalité est de la forme <f (x) = ^ (y) , et elle ne peut subsister pour toutes les valeurs de a: et de j^ qui sont des variables indépendantes, qu'autant que chaque membre se réduira à une même constante arbitraire. Représentons

la donc par -z , pour la commodité des calculs, et nous au-

rons ainsi

rfX ndx dY ndf

.d'où l'on déduit par l'iiitégration, et en appelant a et & deux nouvelles constantes arbitraires ,

v/TTx V^i-4-Y"

De là nous pouvons tirer les valeurs de X et Y pour les

substituer dans celles àep et q qui deviendront

a — X h — jr

et enfin, ces dernières, substituées dans la relation dz = pdy + qdx^ rendront le second membre une différentielle exacte , de sorte qu'une nouveUe intégration donnera

{x — ay -f- (r — by -+- (« — cy == s\

ce qui représente une sphère dont le rayon et le centre sont arbitraires.

S est démontré par- là que la sphère est la seule surface qui offre une courbure uniforme tout autour de chaque normale ; et que de cette propriété résulte aussi Tinf ariabilité de la courbure en passant d'un point à un autre de la surface.

403. Des ligxies de gouubure. Monge a nommé ainsi la suite des points d'une surface pour lesquels les normales infiniment voisines se rencontrent consécutivement ; et il existe sur toute surface deux séries de pareilles lignes, comme le cakul va le faire voir. Soit, en effet,

l'équation d'une surface rapportée à des axes rectangulaires quelconques , et M un point de cette surface dont les coordonnées sont x^ y ^ z-^ si nous menons en ce Fig. 46. point la normale MG , elle aura (n^ 270) pour équations

La normale menée en un point M' infiniment voisin du premier, s'obtiendra en changeant, dans les équations

précédenles , x^y^ z en a: -f- dtrr, y + ày^ z -^^ dz-^ par conséquent cette seconde normale aura des équations de la forme'

(A) -h ^(A) = o, (B) -h d{là) = o ;

et s'il s'agit , comme ici , de trouver le point de rencontre de ces deux normales , il faudra prendre simultanément les quatre équations précédentes , dont l'ensemble se réduit évidemment à

Développons donc les deux dernières , qui indiquent des différentielle^ relatives aux seules coordonnées j:, y, z, de la surface , et nous aurons

(C) dx 4- pdz = (z' — ss^dpy

(D) 4r -+- 'Jdz = (z' — z)dq;

ainsi les coordonnées x\ y\ z\ du point commun aux deux normales , seront fournies par la combinaison des quatre équations (A), (B), (C), (D). Or, puisque le nombre de ces équations surpasse celui des inconnues x\ y\ z\ il faut en conclure que les deux normales ne se couperont pas, quelque rapproché que soit le point M' du point M, à moins que ce point M' ne soit choisi de manière à vérifier Véquation de condition que fournira le système (A) , (B) , (C) , (D) , par l'élimination des inconnues X yy\ z\ On obtient aisément cette condition, puisque (C) et (D) ne renferment que z'] et en éliminant entre elles le binôme z^ — z ^ il viendra

(E) (dx -h pdz)dq = (éfy -4- qdz)dpy

qui, en y substituant les relations connues (n^ 368) dz z=i pdx + qdyy dp = rdx -h sdy^ dq = sdx -h tdy^

pourra être ordonnée ainsi :

404. Cette équation (E) ou (E') est dite Véquation différentielle des lignes de courbure; parce que les quantités ^, q^ r, 5, f , étant des fonctions connues des coordonnées x^jyZ^àvi point donné M {fig» 46) ? elle établit une dépendance entre les accroissements dx = PS , rfy* = P'S, qui servent à fixer le point M'-, et puisqu'elle assigne , non la grandeur absolue de ces accroissements , maïs la valeur du rapport

|=tangP'PS.

on peut dire qu'elle fait connaître , en projection sur le plan des (x^y)^ suivant quelle direction PP' il faut passer du point M de la surface à un point infiniment voisin M', pour que les deux normales se rencontrent. D'ailleurs, cette équation (E') étant du second degré, il ny a donc en général que deux directions MM' et MM% pour lesquelles la rencontre des normales voisines ait lieu eflectivement.

Cela posé, en partant du point M' (^fig- Sa), il y aura Fie 5a. de même deux points voisins N ' et G dont les normales rencontreront celle de M'^ si donc on conserve seulement celui des deux, N', qui est dans le même sens que M et M', et qu'ensuite on cherche encore, dans le même sens , le point voisin dont la normale coupera celle de N', on obtiendra , en, continuant ainsi , une première ligne de courbure MM^N'D' de la surface. La seconde ligne de courbure relative au même point M , s'obtiendra d'une

manière semblable, et sera MM"N"D"5 puis, comme ces constructions peuvent se répéter pour chaque point G , H , . . . , o^ formera ainsi deux séries de lignes de courbure qui partageront la surface en quadrilatères curvilignes et infiniment petits, dont les côtés se couperont toujours à angles droits dans V espace.

405. Cette perpendicularité entre les lignes de cow^bure pourrait se démontrer en rendant, comme au n*^ 381 , le plan des (jc,j^) parallèle au plan tangent de la surface

Fie. 46. pour le point M (j^g'. 46) • mais il vaut encore mieux observer que l'équation (E') est entièrement identique avec l'équation (23) qui 'détermine la direction des deux sections principales MA et MB; car il résulte de là , i° qu'en chaque point M d'une surface, les lignes de courbure MM'D' et MM"D" sont tangentes aux sections principales MA et MB ; 2*^ que ces dernières ayant leurs tangentes ou leurs éléments MM' et MM" perpendiculaires l'un sur l'autre (n° 381), il arrive aussi que les lignes de courbure MD' et MD"^e coupent à angles droits. Cependant, il ne faut pas croirç que ces li^es coïncideront généralement, dans toute leur étendue, avec les courbes planes MA et MB ; parce qu'une fois arrivée au point M' <ie la surface, M'A ne sera plus ordinairement une section principale pour ce point -, de sorte que les lignes de courbure MM'D' etMM"D" seront en général des courbes gauches.

406. Avant d'aller plus loin, édaircissons cette théorie par quelques exemples. Dans une surface de révolution,

Fie. 47. le méridien MA eist évidemment une première ligne de courbure^ puisque les normales MG, M'G, ... de la surface en M, M', . . . sont toutes situées (n**301) dans le plan de ce méridien , et par conséquent ne peuvent manquer de §e rencontrer. D'ailleurs, cette courbe méridienne

DK LA COURBURE DES SURFACES. BSg

MM' D'A est aussi ù*ie section principale de Isl suvfsLce ^ puisque le plan d'une telle section doit^ comme nous venons de le voir, passer par la tangente MM' de la ligne de courbure et par la normale MG; donc ici la première ligne de courbure coïncide avec une section principaile , et il en sera de même toutes les fois quune ligne de courbure sera plane , et que son plan renfermera là normale de la surface.

Quant à la seconde ligne de courbure , c'est évidemment le parallèle MM"D", car on sait que toutes les nor-^ maies en M , M" , . . . aboutissent au même point H de Taxe^ mais cette ligne de courbure, quoique plane, ne coïncide pas avec la seconde section principale MM" B , puisque celle-ci doit être dans un plan mené suivant la normale MH ^ perpendiculairement au méridien MA, q^ est la première section principale : seulement , les lignes MM"Bet MM"D"'ont une tangente commune.

407. Dans les cylindres à bases quelconques , la génératrice rectîligne et la section droite sont évidemment les deux lignes de courbure; et ce sont en même temps les deux sections principales , par la raison donnée ci-dessus pour le méridien. Dans d'autres surfaces, au contraire, chaque ligne de courbure est distincte des deux sections principales , comme dans l'ellipsoïde quelconque dont les lignes de courbure se prêtent à des constructions élégantes, que nous ferons connaître bientôt (n^ 426). Pour les surfaces développables et les surfaces gauches, on pourra consulter la Géométrie descriptii^e , n°710,

408. Calculons maintenant les portions MG et MH de Fig. 46. la normale , comprises entre le point M et ceux où elle est coupée par les deux normales voisines qui la rencontrent.

En appelant R une quelconque de ces deux distances , MG

34o CHAPITRE XVII.

par exemple , on aura

R* £= {x' — xy H- (/ — yy -h (^' — 2)» ;

et les coordonnées x\ y\ z\ du point de section G seront données par les quatre équations (A), (B), (C), (D), dont les deux dernières se réduisent à une seule, en vertu de la condition (E) que nous supposons vérifiée par le point M'. Si donc,' d'aboi>d, on tire de (A) et (B) les valeurs de x' ' — x^y' — y^ il viendra

puis, on devrait substituer ici la valeur de (V — z), déduite de (C) ou de (D) -, mais pour que cette valeur convienne à la fois aux deux lignes de courbure, et par conséquent aux deux points G et H, il faut auparavant

éliminer entre les équations (C) et (D), la quantité —

qui n'est pas la même pour ces deux lignes. Or, si Ton substitue les expressions déjà citées

dz = pdr ~h qdy^ dp = rdx -h sdy^ dq = sdx -H tdy^

dans les équations (C) et (D), celles-ci pourront être ordonnées de la manière suivante :

(C) [i 4-i?' — {3' — z)r]^ = [(2' — z)*— ;?y]rfr,

(D') [i ;^q^^{z'^z)t]dy=:[[z' •r-z)s--'pq]dXy '

alors, pour éliminer dx et dy^ il suffit de les multiplier membre à membre , et il vient

(F) {z'-^zf(rt^s'')-^{z'^z)[{i + q^)r^7.pqS'\-{i-^-p^)t]

C'est donc de là qu'il faudrait tirer la valeur àez — ^, pour la substituer dans l'expression de R ; ou bien , si de

celte dernière ou déduit la valeur de ^ — z^ et qu'on la porte dans (F); on trouvera pour déterminer lés deux va- > leurs de R, Téquation du second degré ,

(G) R2(r^— j') — R[(n-^»)r-.2/?^jH-(i-+-;?')^]V^H-/?»-h^'

409. Les racines cte cette équation , ou les portions MG et MH de la normale , sont ce que Monge a nommé les deux rayons de courbure de la surface au point M ; et nous expliquerons tout à l'heure (jaP 411) le motif de cette dénomination. Mais auparavant, remarqu<ms que l'équation (G) est entièrejnent identique avec réquation(2i) trouvée au n° 379 ; d'où il résulte qu*en chaque point , les deux rayons de courbure de la surface coïncident , en grandeur et en position , avec les deux rayons de courbure des sections principales ,

410. Cette identité permet quelquefois de trouver graphiquement , et sans aucun calcul , les rayons de courbure des deux spctions principales pour un point donné sur îine surface. Par exemple, dans une surface de révolution , il suit de ce que nous avons vu au n® 406, que les rayons de courbure des deux sections principales MA et Fie. 47^ MB, sont toujours, 1° le rayon de courbure MG du méridien ; a^ la portion MH de la normale comprise entre

le point donné M et l'axe de révolution. Ces relations sont nécessaires à connaître dans certaines questions de Géométrie descriptive, qui exigent l'emploi d'une surface du second degré, osculatrice d'une surface de révolution.

411. Revenons aux surfaces quelconques ; et, parles deux normales consécutives MG, M^G, faisons passer un Fig. 4^. plan : il contiendra la section principale MA, puisque celle-ci doit toucher la ligne de courbure MM'D'; et comme

]^e& deux normales en question sont sensiblement égales

(p? 3S1), la sphère <jui sera décrite avec MG pour rayon ^ touchera la surface proposée en deux points consécutifs. M et M' le long de MA. Il en sera de même de la sphère décrite avec MH = M"H pour rayon , laquelle touchera la surface au^ deux points M et M" sur la section principale MB \ tandis cjue si , avec le r^tyonde courbure MI = Kl {fis- 4^) d'une section normale quelconque MN, on décrivait une sphère , celle-ci n'aurait qu^un plan tangent de commun en M avec la surface. En e£fet, le second rayon Kl, qui est bien une normale commune à cette section et à la sphère correspondante, ne. saurait. être normal à la surface primitii^e j puisqu'il va couper la droite MG, et qu'une teUé rencontre ne peut avoir lieu (n®404) qu'aux seuls points M' et M". C'est pour cela que Mange a nommé les rayons principaux rayons de courbure de la surface j en les regardant comme les rayons des deux sphères qui seules peuvent toucher la suif ace en deux points consécutifs^

Toutefois, il ne faut pas dire que les deu^ sphères décrites avec les rayons MG et MH, sont osculatrices de la surface proposée ^ parce que le contact du second ordre que chacune d'elles présente avec cette surface , n'a lieu que suivant la direction MM' ou MM", çt non pas tout autour du point M, connue l'exigerait la définition des siu*faces osculatrices, donnée au n° 396.

412. Il faut aussi se garder de croire que MG {fig^ 46) soit le rayon de courbure de la ligne MDVç'est-à-dire le rayon du cercle qui aurait avec cette ligne deux éléments communs. En effet , il est vrai que les deux droites MG et M'G , étant normales à la surface , sont aussi telles par rapport à la courbe MD' 5 mais pour que leur rencontre donnât le centre du cercle osculateur de MD', il faudrait (n^ 351 ) que ces normales fussent situées toutes deux

dans le plan osculateur de cette courbe , ce qui n'arrivera que dans le cas particulier où MD' coïncidera avec MA , ou du moins lorsque MD' et MA auront un contact du second ordre.

Par exemple , dans une surface de révolution {fig. 47) 5 la première ligne de courbure étant confondue avec le méridien MA , contiendra dans son plan les deux normales MG et M'G qui fourniront bien , par leur rencontre, le centre dé courbure G de cette ligne MD'5 tandis que la seconde ligne de courbure MD", quoique plane , n'aura pas pour rayon de courbure la normale MH \ mais ce sera évidemment le rayon même de ce parallèle circulaire MD".

413. Si par tous les points de la ligne de courbure MM'N'D' on mène les diverses normales à la surface, ces ^*g. 5a. droites, qui se rencontreront consécutivement, formeront une surface développable dont l'arête de rébroussement sera la suite des centres de la première courbure, relatifs à la ligne MM'D'. En opérant ainsi pour cbaque ligne M"GH..., N"KL... de la même courbure, on obtiendra une série de surfaces développables dont les arêtes de rebroussement formeront , par leur ensemble , une surface, lieu de tous les centres de la première cour-^ bure, et à laquelle toutes les normales seront tangentes 5 niais cette surface aura une seconde nappe, lieu des centres de la seconde courbure j qui résultera des arêtes de rebroussement produites par les normales menées le long des lignes de la seconde courbure MM"N"..., M'GK. . ., N'HL. . ., et cette seconde nappe sera aussi touchée par les mêmes normales que la première. Pour obtenir l'équation de ces deux nappes , qui sont le lieu de tous les points de section dont les coordonnées ont ^té désignées par x\ y\ z\ dans les équations (A) , (B),

(F), il suffira évidemment d'éliminer a:>j^, z , entre ces trois équations et celle de la surface proposée.

Les deux nappes, des centres de courbure sont ^ par rapport à la surface proposée ^ ce que les développées des lignes courbes sont par rapport à celles-ci; et ces nappes offrent encore diverses propriétés remarquables , sur lesquelles on pourra consulter le livre VIQ de notre Traité de Géométrie descriptivfe. Nous ajouterons seulement ici que quand ces deux nappes se couperont , leur intersection sera évidemment le lieu des centres relatifs à la ligne des courbures sphériquesy dont nous avons parlé au n° 401,

414. Lorsque le point M considéré sur une surface quelconque, sera un ombilic (n® 397), Féquation (E') des lignes de courbure relative^ à ce point , prendra la forme o=o, comme il est déjà arrivé (n*' 399) poui: l'équation (23) avec laquelle (E') coïucide toujours^ ce qui annonce que d'un ombilic , il part une infinité de lignes de courbure, et la direction du premier élément de chacune d'elles reste arbitraire. En effet, ces lignes doivent toujours (n^ 405) être tangentes aux sections principales relatives au point considéré; et dans un ombilic, toutes les sections normales sont principales (n« 399).

415. Cependant les opinions des géomètres se sont trouvées partagées sur cette matière. Monge y a laissé quelque obscurité, parce qu'il définit les ombilics, en plusieurs, endroits, par des conditions diverses qui ne sont pas toujours une suite nécessaire les unes des aur très : tantôt il les regarde comme des points où la courbure de la surface est égale dans toutes les directions , ce qui est le caractère véritable et général \ tantôt comme des points où les deux lignes de courbure viennent à coin-

cider, circonstance qui arrive aux ombilics que nous rencontrerons sur l'ellipsoïde (n** 430), mais qui n'est plus vraie pour les points de la ligne des courbures sphériques (n** 401) ^ ni pour d'autres ombilics isolés , tels que les sommets d'une surface de révolution.

M. Dupin (*), en partant de la première définition, est conduit à n'admettre qu'un nombre limité de lignes de courbure , pour chaque ombilic isolé ou faisant partie d^ la ligne des courbures sphériques. Néanmoins, dès que tous les rayons de courbure des sections normales sont égaux' pour un même point d'une surface, celle-ci est Qsculée par une sphère qui a les mêmes normales que la surface primitive , tout autour de l'ombilic et à une distance infiniment petite ; d'où il suit que dafis toutes les directions autour de l'ombilic , une normale infiniment voisine ira couper celle de ce point, au centre même de lasphère osculatrice; et par conséquent il existe ici une infinité de lignes de courbure, d'après la définition un^ versellement admise (n** 403).

Pour concilier ces résultats , M. Poisson (**) regarde un ombilic comme admettant une infinité de lignes de cour-r bure, parce que dans toutes les directions autour de ce point , une normale infiniment voisine va rencontrer la première , du moins tant qu'on ne tient compte que des différentielles du premier ordre ; niais si l'on pousse l'approximation plus loin , il y aura quelques-unes de ces directions pour lesquelles le rapprochement des normales sera plus intime que pour les autres , et ce sont ces di-r rections particulières qui méritent alors plus spécialement le nom de lignes de courbure, et qui se trouvent

(*) Voyez les Développements de Géométrie, 3* mémoire. (**) Voyez le Journal de V École Pofjç technique , ai® cahier.

346 CHAPITRF. XV|I.

en nombre fini. En nous rangeant à cette dernière opinion , nou3 allons chercher a l'appuyer par les calculs suivants.

416. La normale de la surface au point M (x, j^, z) a des équations qui peuvent s'écrire

celles de la normale au point projeté en j: H- dx^ J'^^Jy seront de la forme

A -4-yA -f- \d^k = o,

A -h dB -h T^'^ = o>

en tenant compte des infiniment petits du second ordre. Mais, pour le point commun à ces deux droites, le système de ces quatre équations revient à combiner (A) et (B) avec les suivantes

(A") dX'hpdz-hTPd^'^-^dpdz-\-{z--z'){dp-\-\d^p) = Oy (B'') dX'hqdz-\-\qdH-hd(ldz'+-(z--z'){dq -f- \d^q) = o ;

et la condition pour que ces deux normales se rencontrent, s'obtiendra (n^ 403) en éliminant z' entre (A") et (B"), ce qui donne généralement

(e) [dx 4- pdz -+- \pd''z -f- dpdz) (dq + y^'î)

= {dy -+- qdz -h \qd'^Z -|- dqdz) [dp H- \d^p).

Cela posé, si le point considéré M est quelconque, il faudra réduire l'équation (e) aux seuls termes de l'ordre le moins élevé , ce qui conduit à

(E) [dx -h pdz)dq = {dy + qdz)dp\

équation trouvée au vP 403 pour les lignes de courbure ordinaires: mais si ce point M est un ombilic, on sait

(n°* 414» et 399) qu'alors Fëqùation (E) sera identùfuement 'vérifiée; de sorte que les infiniment petits du second ordre disparaissant d'eux-mêmes dans l'équation générale (e) , il faudra y garder tous les termes du troisième ordre, et négliger ceux du quatrième, ce qi^i donnera

(E'^} {dx -h pdz)d^q -H {pdH -f- dpdz)dq

= [dx H- qdz)d^p + {qd'^z + dqdz)dp.

C'est donc cette dernière équation qui , dans le cas d'un ombilic , déterminera la direction à suivre pour trouver une normale qui coupe celle du premier point ^ et comme en substituant ici les valeurs connues

dz =r pdx -h qdy , dp = rdst -f- sdy , ,

dr . .

Téquation (E") contiendra le rapport —- à la troisième

puissance, il s'ensuit que, par un ombilic j il passe ordi-^ nairement une ou trois lignes de courbure; ou, plus généralement, un nombre déterminé^ parce que si l'équation (E"') se trouvait encore identique d'elle-même, il faudrait,- en remontant aux équations (A") et (-B") , tenir compte des différentielles troisièmes, ce qui conduirait à

. . y dy

une équation de condition où— entrerait à la quatrième

puissance, et ainsi de suite. Mais ces lignes de courbure en nombre fini, seront du genre de celles où le rapprochement des normales a'élève au delà du premier ordre , puisque dans les équations (A") et (B") nous avons tenu compte des différentielles supérieures, et que « sans cela^ la rencontre de^ normales aurait eu lieu dans toutes les directions, attendu que l'équation (E) se trouvait vérifiée

dy d'elle-même , quelle que fut la valeur de -^.

348 GHAPIT&E XVII,

Ajoutons enfin que même les lignes de courbure de ce genre sont quelquefois encore ennombre infini comme il arrive au sommet d'une surface de révolution; et nous verrons danis le numéro suivant la raison analytique de cette circonstance particidière.

417. Il importe d'observep^ue Téquation (E") , où nous avons laissé à dessein le terme dpdqdz commun aux deux membres, est précisément la différentielle de l'équation (E), prise en regardant comme seules constantes les accroissements dx et dj des variables indépendantes. C*est pourquoi nous n'avons pas pris la peine de développer et d'or-

donner l'équation (E'')p2ir rapport à -j- , attenduque, dans

la pratique, et quand on trouvera que l'équation (E), ou plutôt l'équation (E') du n° 403 , devient identique pour un point particulier , il suffira de différentier cette dernière équation par rapport à /;, q^ r, 5, /, et l'on obtiendra l'équivalent de (E''). De même, ci cette dernière devenait identique, il suffirait d'e^ prendre encore la différentielle, et ainsi de suite. Mais quand toutes ces différentielles seront constamment nulles pour le point que l'on considère , on tombera dans le dernier cas indiqué au numéro précédent (*). Nous éclaircirons ceci par l'exemple de l'ellipsoïde, n° 430.

Détermination des lignes de courbure sur une surface particulière.

418. Pour obtenir, en quantités finies , les équations dies lignes de courbure sur une surface donnée ^{x^ j, z) = o, ou commence par déduire de cette équation les valeurs de

(*) M. Dupin était arrivé à établir ces règles, mais par des considérations qui me paraissent laisser quelque chose à désirer sous le rapport de la rigueur. (Yorez page 164 des Développements de Géométrie.)

-^5 Py 7? ^t ^y ^9 ^^ fonction de x et dej^^ et en les substituant dans Féquation générale (E') trouvée n** 403 , on a l'équation différentielle de la projection des lignes de courburé sur le plan des (a:, j^); Ensuite, il reste à intégrer ce résultat, et à déterminer la constante arbitraire qu'amène l'intégration , de manière que la courbe passe par le point donné sur la surface : mais comme., d'après la forme de l'équation différentielle (E'), cette constante arbitraire entrera au second degré dans l'intégrale, elle admettra pour chaque point de la surface deux valeurs généralement distinctes , qui correspondront aux deux lignes de courbure relatives au point donné.

419. Appliquons cette marche à l'ellipsoïde représenté par l'équation

en la différentiant successivement par rapport k x el kj^ et jusqu'au deuxième ordre, on trouvera

valeurs qui substituées , ainsi que celle de z*, dans l'équation (E') du n** 403 , la ramèneront à

{h^^é)xy df^ Uà" — c')x' jb' — c') J^ i"! î^ b^(a'^ b') ' d^ ^ \ji'{a' — b') b\a^ — ^») ^ \dx

et si , pour abréger , on pose

g^(a' — b') __ b'ja' — b')

35o CHA.PlTaE XVII.

rëquation prétédente deviendra

B * rfar* \A B } dx K *

ou enfin

(2) kxydy^ H- (Bj:* — Aj' ^- AB) d^i/^* — Rrj^ir* = d.

Telle est Téquation différentielle des lignes de courbure de l'ellipsoïde, projetées sur le planXY, qui représentera à volonté un quelconque des trois plans principaux de cette surface , mais nous supposerons d'abord que c'est le plan qui contient Vaxe maximum et Vctxe moyen, c'est-à-dire que nous admettrons les relations

d'après lesquelles les constantes A et B seront essentielle- • ment positives.

420. Pour intégrer l'équation (2) qui est du premier ordre , mais où les différentielles sont élevées au second degré , nous commencerons par la différentier ; car on sait que , par ce moyen , on réussit souvent à simplifier ces sortes d'équations. En l'appliquant donc ici , on trouve d'abord

d'y [nAxfdy -f- ( B^' — - Ay^ -- ÂB)dx] ï

-h Adjr^ [xdy -H ydx) — nAydy'^dx > :=* o ,

-H 2 Bxdydx^ — 'Mxi^ [xdy -f- ydx) )

ou bien

/3x ( dy[iAxydy -f- (Ba:» — Ay^ — A^)dx] i ^ ^ { -f- {Ady-^ 4- B^^) {xdy — ydx) j ' *~ ^ *

mais si l'on observe que l'équs^tion (2) donne

dy

réquation (3) pourra se décomposer ainsi

{Adjr^ 4- Bdx^) [xyd^y + [xdy — ydx)dx\ = o;

et comme le premier factem* ne saurait être nul , puisque i^ et B sont ici des quantités positives , il restera , en supprimant ce facteur et en divisant par a:*,

Or, le premier membre de cette équation est évidemment la différentielle exacte d'un produit; et en Tintégrant, il vient

ê désignant ici la constante arbitraire où. Ton a dû, pour conserver l'homogénéité, introduire la différentielle indépendante dx. De là on tire ÉÊk

et en intégrant de nouveau ,

421. Ce résultat montre que les projections des lignes de courbure seront des courbes du second degré ; mais il entre ici une constante arbitraire de trop , puisque l'équation différentielle qu'il s'agissait d'intégrer n'était que du premier ordre. Cette circonstance vient de ce qu'en différentiant l'équation (a) sans éliminer de constante , nous avons obtenu une équation (3) plus générale que la proposée ; il faut donc restreindre la signification de l'intégrale (5) , en l'assujettissant à vérifier l'équation (2) ; or si l'on substitue dans cette dernière les valeurs que four-

nit (5) pour j^ et dy., on trouve la condition

(6) Av + B| 4- AB = o, ou 7 = j^^

Telle est donc la dépendance qui doit exister entre les consjtantes 6 et y, pour que l'équation (5) soit l'intégrale de (2) \ et par suite , une seule de ces constantes , 6 par exemple , demeure arbitraire, du moins tant qu'il ne s'agit que de satisfaire analytiquement à l'équation différentielle (2).

422. Mais, pour compléter la solution du problème de Géométrie qui nous occupe , il faut assigner le point de la surface pour lequel on cherche les lignes de courbure, et par conséquent exprimer que l'équation (5) est satisfaite par les coordonnées a:', j^' de ce point. Or, il va résulter de là une équation propre à déterminer 6, et qui fournira pour cette constante deux valeurs toujours de signes con- ^qp/re^ ; circonstance importante à vérifier, parce qu'elle annoncera que les deux lignes de courbure , relatives à un même point de l'ellipsoïde , sont toujours projetées suivant des courbes de genres opposés^ sur le plan qui contient l'axe maximum et l'axe moyen.

Substituons, en effet, dans l'équation (5) les coordonnées assignées x\ y\ ainsi que la valeur de y fournie par la relation (6), et il viendra

d'où , en résolvant cette équation du secofid degré , X g Ar' '— B^ » -f- AB ±: >/(A/ ^ — Bj/ ' -f- AB)' 4- 4 AB j/ ^y' '

Or, puisque ici le terme ^KRx'^y'^ est essentiellement

DE LA. GOUaBURB DES SURFACES. 353

positif, la partie irrationnelle surpassera en grandeur absolue la partie rationnelle v^t les deux valeurs de S seront toujours de signes contraires.

433. Quant à la constante y, elle sera constamment de signe opposé à 6. En effet', la valeur (6) mon^« d'abord que quand S est positif, y se trouve négatif; ensuite , la valeur négative de 6, fournie par (7) et substituée dans (6), rendra toujours le dénominateur AS + B > o, car cette condition revient à celle-ci

Ar '^ 4-,Rr' » -h AB > \/(A/ '-^Ba/'-h AB)*.-f- 4ABjc'y%

ou bien

Ax'' 4- Bjc" -I- AB> ï/(V-HBy'+.Afi)' ^4ABV%

laquelle sera toujours satisfaite d'elle-même. Ainsi, . lorsque S sera négatif, y se trouvera positif, et réciproquement.

424. Nous conclurons de là que, pour chaque point M de l'ellipsoïde , les projections desi lignes de courbure sont représentées par deux équations de la forme

et qu'ainsi la première de ces lignes se projette suivant ^*°' ^' une ellipse MM'D', U deuxième suivant une hyperbole MM'^D", qui sont concentriques avec l'ellipse principale AB, et dont les axes coïncident en direction avec ceux de cette courbe. On calculerait ces axes, pour chaque point de l'ellipsoïde, par les formules (7) et (6) ; mais au lieu de nous arrêter à ces détails, étudions les rapports intéressants qui lient entre elles les diverses lignes de courbure d'ime même série.