Puisque les constantes 6 et y sont toujours de

3S4 GHAPITHE XVIT.

signes opposés , et que la dernière, y, acquiert en chaque point de l'ellipsoïde une valeur positive pour la première série de lignes de courbure, et une valeur négative pour la deuxième série, nous pourrons donc, en introduisant deux nouvelles constantes plus commodes, poser

/e ^/gne^M^mewr ayant toujours lieu /?ottr les lignes de courbure elliptiques en projection; puis, en substituant dans l'équation générale (5), les valeurs de 6 et de y en fonction de m et de n, il viendra pour l'équation des deux séries de lignes de courbure ,

OÙ Ton reconnaît que m et n sont les deux demi-axes de chaque courbe.

Mais si l'on substitue aussi les expressions de 6 et de y dans la condition (6), on obtiendra, entre i/i et n, la relation fort remarquable

ou le signe supérieur se rapporte encore aux lignes de courbure elliptiques ; ce qui prouve que les deiix quantités met y^, constantes pour une même ligne, de courbure, dont elles sont les demi-axes, et variables d'une ligne à l'autre de la même série , ont toujoui's pour grandeurs simultanées, les deux coordonnées d'un point pris arbitrairement sur une hyperbole ou sur une eUipse auxiliaires, dont les demi-^axes communs et invariables sont y A

suivant OX, et yfB suivant OY : ce dernier est Taxe imaginaire de l'hyperbole.

DE LA GOUHBURK DBS SURFACES. 355

436. De là résulte la construction suivante. On por-Fic. 5q lera sur les axes de Tellipse principale ABA'B', deux distances OoE et 06 déterminées par les équations

Ces distances se construiront aisément au moyen des excentricités des trois ellipses principales, et la première Oa se trouvera toujours plus petite que a, puisqu'on a admis les relations a >> & >> c. Ensuite , sur les deux droites Oa et 06, prises comme demi-axes, on construira, 1*^ une hyperbole auxiliaire aP'Q' dont les sommets réek soient sur OX ; îa° une ellipse auxiliaire aP"6. Cela posé, en abaissant d'un point quelconque P' de cette hyperbole les coordonnées P'E' et P'D', puis, en construisant sur leurs égales OD' et OE', conmie demi-axes, une ellipse E'MD'jCe sera la projection d'une des lignes de courbure de la première série ^ les autres s'obtiendront semblablement par les deux coordonnées de chaque point de Thyperbole auxiliaire.

Quant aux lignes de courbure hyperboliques, oii abais-* sera les cooirdonnées P"E" et P'D" d'un point quelconque de l'ellipse auxiliaire , et sur leurs égales OD" et 0E'\ comme demi-axes, on construira une hyperbole D''M, dont les sommets réels soient sur OX ; cette hyperbole D"M, et toutes celles qu'on obtiendra semblablement avec les deux coordonnées de chaque point de l'ellipse auxiliaire, seront les projections des lignés de courbure de la seconde série.

427. Examinons maintenant les variations qu'éprouvent les lignes de courbure de la première série , lorsque

356 CUAPITRR XVII.

le sommet E' s'avance de O vers B. Quand îl est en O ^ Tordonnée de l'hyperbole auxiliaire aFQ' est nulle : ainsi Fellipse de courbure tXME' a alors son petit axe nul 9 et son demi-^rand axe égal à Oa, c'est-à-dire que cette ellipse se réduit à la droite a'Oa ; et par conséquent la section principale de Fellipsoïde , qui contient les axes a et c , est elle-même une ligne de courbure de la surface , ce qu'on pouvait prévoir, puisque les diverses normales de la surface , menées le long de cette section , sont évidemment toutes dans son plan. A mesure que le point E' s'éloigne de O , les deux axes de l'ellipse de courbure augmentent, jusqu'à et qu'elle coïncide avec la section principale AB \ car si dans l'équation (i o) on pose m^=a^ on trouvera n=zb. 11 est donc inutile d'employer des points de l'hyperbole auxiliaire situés au delà de Q', puisqu'ils fourniraient des ellipses qui embrasseraient totalement ABA', et ne pourraient recevoir la projection d'aucun pdint réel de l'ellipsoïde : restriction qui s'explique en observant que l'équation (9) où (5) ne détermine point par elle seule une ligne dé courbure dans l'espace ; mais qu'il faut toujours la combiner avec l'équation de la surface, et n'admettre que les solutions qui leur sont communes.

Quant aux lignes de courbure qui se projettent suivant des hyperboles, D"M, on voit que si le sommet D" vient enO, leis, deux coordonnées de l'ellipse auxiliaire aV^ë s0ntx:^=ùf j^szOê'^ de sorte que l'hyperbole qui reçoit alors la projection de la ligne de coiu*bure se réduit à la droite BOB', et cette ligné de courbure dans l'espace coïncide avec la «section principale de l'ellipsoïde qui contient les axes b et c. Lorsque D" s'éloigne de O, l'axe imaginaire de l'hyperbole diminue, tandis que son axe r(^el augmente; et quand enfin le point D" arrive en a,

l'axe imaginaire devient nul, et l'hyperbole se réduit aux deux portions rectîlîgnes «A, a'A', qui complètent la Ëgne de courbure déjà fournie par la première séries et projetée sur la portion de droite aOa\

428. Si le sommet D" continuait à se mouvoir à droite de a, et venait en D', les lignes de courbure, qui jusque alors avaient été hyperboliques en projection, deviendraient elliptiques, puisque Tor^onnée élevée en D' rencontrerait, non plus Pellipse aP'S, mais l'hyperbole auxiliaire «PQ'^ d'ailleurs , lorsque dans l'équation (lo)

on prend m plus grand que Oa = y A , il faut bien néces-

saîrement adopter le signe négatif pour le ievme rg •, ainsi,

c'est une hyperbçde qui détermine alors la yalem: correspondante de n. On voit par là qu'il existe sur l'ellipsoïde, quatre points projetés en a et a', autour desquels les lignes de courbure des deux séries sont pliées en sens contraires, et où elles viennent se confondre, pour se succéder ensuite les unes aux autres.

429. Ces quatre points sont des omhifics (n^ 397), c'est-à-dire des points autour desquels toutes les sections normales ont la même courbure. En effet, puisque les conditions U = o et V = o, qui caractérisent les ombilics , rendent toujours ideritiqiic (n° 399) l'équaxion différentielle des lignes de courbure , nous trouverons immédiatement ces points singuliers , en égalant à zéro les trois coefficients de l'équation (2) du n° 419, ce qui donne les conditions simultanées

xf z=. o et Er^ — Ay ' -r- AB = o.

Or, l'hypothèse o: = o ne conduisant ici qu'à des valeurs ingiaginaires pour y^ 11 ne reste que les solutions

^ = o et j? = db yA,

358 GHAPITSB XVII.

lesquelles correspondent bien aux deux points a et a' sur le plan des' (a:, y).

430. Pour chacun de ces quatre ombilics, les deux lignes de courbure paraissent se réduire à une seule , qui est Tellipse verticale projetée sur AA', ainsi qu'il résulte de la discussion graphique (n^ 428 ); et l'analyse nous conduira au même résultat. En effet, puisque « est un ombilic qui rend identique Téquation générale

(2) Aa^ (^' -t- (Rr* - Ar» --AB) ^ - B^^ = o,

il n'y a qu'à employer ici la méthode que nous avons donnée au n^ 417, et différentîer l'équation (2) en laîs-

dr sant-p- constant. On trouve ainsi, après avoir ordonné,

équation qui , pour les om|4ti^ où l'on a

jr = o et jr = /Â7 se décomjpose dans les deux suivantes

dx ' \^/

or, la seconde n'admet que des racines imaginaires, et la première a pour intégrale générale y=l 5 mais en déterminant la constante arbitraire X de sorte que cette ligne passe par l'ouibilic , il restey==o qui représente bien l'ellipse verticale projetée sur A A'.

431 . Il n'est pas inutile d'observer que toutes les lignes » de courbure de l'ellipsoïde sont des courbes fermées y quoique quelques-unes soient projetées sur des portions

d'hyperbole, telles que RiyS; c'est (ju'alors la courbe s'étend au-dessous du plan XY, et passe par des points q[ui se confondent en projection avec ceux de la partie supérieure.

Des circonstances toutes semblables se reproduiraient si Ton avait projeté ces lignes de courbure àur le plan qui contient Vaxe minimum et Vaxe moyen de FeDipsoïde \ car il suffirait d'introduire dans Féquation (a) les r dations

lesquelles laissent toujours positives les constantes A et B , et par suite , mèneront aux mêmes conséquences sur la forme elliptique et hyperbolique des projections des deux séries de lignes de courbure.

432. Voyons maintenant quelle forme prendront ces lignes, en se projetant sur le plan qui contient raxe maximum et F axe minimum de l'ellipsoïdlB (^Jig* 53). Il suffit , pour rendre Téquation (2) applicable à ce cas , d'y introduire les relations

et comme alors la constante B (n^ 419) devient négative , nous poserons

ce qui conduira , comme au n^ 420 , a l'intégrale

(11) . jr> = 6j:> -f. iy ,

avec une condition analogue à (6), savoir :

mais ici la constante arbitraire ë ne pourra recevoir que

360 CHAPITAE XVIt.

des valeurs négatives. En effet, Téqualion (7) devient alors

et puisque la partie rationnelle surpasse numériquement la grandeur absolue du radical, ces deux valeurs de ë seront toujours à la fois de même signe ^ pour un même point (x\ y) de Tellipsoïde. En outre, comme tous les points ^e cette ^surface seront nécessairement projetés FiG. 53. en dedans de l'ellipse a P'6', qui serait construite sur les demi-axes

puisque ces demi-axes sont évidemn^eni plus grands que OA = a et OC = 1 5 il en résulte que pour tous les points de Tellipsoïde , oii aura constamment

d'où je conclus que toutes les valeurs de 6 seront négor tiues^ et, d'après la relation (la), y n'aura, au contraire,^ que des valeurs /70«aVe^ ; de sorte que l'intégrale (11) repi:'ésentera toujours des ellipses, sur lesquelles se pro- •jetteront ici toutes les lignes de courbure des deux séries. D'ailleurs, en posant

l'équation (11) commune aux deux séries de lignes de courbure deviendra

X^ jr»

m* rû

DÉ LA COURBURE DES SURFACES. 36l

et les demi-^axes m, n, de chacune de ces lignes, seront liés par la relation (12), qui devient

d'où l'on voit que ces demi-axes se trouveront ici lesdeux coordonnées d'un même point variable , toujours situé sur une ellipse auxiliaire tt'P'P'^6', construite avec les demiaxes /Â7 et ^B^.

433, Lorsqu'on prendra sur cette ellipse auxiliaire un point P' voisin du sommet ûc\ les deux coordonnées P'E' et P'D' donneront les axes d'une ellipse D'ME', Pic. 53. projection d'une ligne de courbure de la première série. Cette ellipse, d'abord très-resserrée, s'ouvrira de plus en

plus dans le sens du petit axe , tandis que son grand axe diminuera , et elle finira par coïncider avec l'ellipse principale AC quand le point P' sera venu en Q ; car, si dans l'équation (i4) on pose m = a, on trouve w = 5 : ainsi la portion a 'Q de l'ellipse auxiliaire aura donné toutes les lignes de courbure de la première série. Au delà , un point tel que P" fournira, par ses coordonnées, les demi-axes d'une ellipse D^'ME", qui appartiendra à la seconde série des lignes de courbure , puisqu'elle coupera en M la ligne E'MD' de la première série ; et ces nouvelles ellipses se rétréciront de plus en plus dans le sens des X , pour se réduire enfin à la droite COC\ projection d'une section principale, qui est elle-même une ligne de courbure de l'ellipsoïde.

434. Dans l'intégration de l'équation (2) , nous avons négligé (n*^ 420) le facteur

Ady- 4- Brfx' = o, .

qui ne pouvait alors donner aucune solution réelle; mais,

36a CHAPITRE XVII.

pour la projection actuelle où. B = — B' et A = A', on

en tire

dx ~— VA''

et si Ton substitue cette valeur dans Féquation proposée (2), il viendra

Ay 4- B'*» ±: ixx^k'B' = A'B';

équation finie, sans constante arbitraire, qui , comme on sait , est une solution singulière de la proposée ^ et doit représenter la ligne eni^eloppe de toutes les intégrales particulières. En effet , cette équation se décompose ainsi

et comme les doubles signes sont indépendants , cela fournît quatre droites, que l'on reconnaît aisément pour les cordes supplémentaires qui passent par les sommets de

l'ellipse auxiliaire aW"^'^ dont les demi-axes sont ^A^

et VB* Ces quatre cordes touchent àonc toutes les ellipses suivant lesquelles se projettent les lignes de courbure ; et comme une de celles-ci est l'ellipse principale AC , cette courbe est aussi touchée par les quatre cordes , précisément aux ombilics co , o)', tù'\ fù"^ où les lignes de courbure des deux séries viennent se confondre;

Au surplus, on arriverait aussi à ces quatre droites , en cherchant, d'après la méthode exposée (n^ 340) , la ligne enveloppe de toutes les ellipses représentées par l'équation

2 kf^t

laquelle se déduit de (i3) et (i4) , et où le paramètre arbitraire est m.

DE tA GOtJRBtF&S. DKS SUEIAGES. 363

435. Observons , en terminant cette théorie , que quand on a déjà construit (n^ 426) les lignes de courbure d'un ellipsoïde donné, projetées sur le plan qui renferme Taxe maximum fia et Taxe moyen ab , et que Ton veut ensuite construire , pour ce même ellipsoïde , la projection des lignes de (Courbure sur le plan qui contient le plus grand et le plus petit axe, il serait peu commode de changer la dénomination de l'axe moyen, comme nous l'avons fait (n*' 432). Il vaudra mieux alors conserver toujours les relations

mais dans les valeurs de A' et de B' changer i en e et c en i ; de sorte que dans la Jig. 53 , l'ellipse principale aura pour demi^axes

OA rr ûf , oc = c ^

et les grandeurs des demi-*axes del'ellipse auxiliaire a¥'ë\ seront

par là ces valeurs pourront exister simultanément avec celles de A et de B (n^ 426) , qui se rapporent au plan de l'axe maximum et de Taxe moyen.

436. Remarquons enfin que pour trouver les deux lignes de courbure relatives à im point assigné M de Fellipsoïde {fig* 52), îl faudrait substituer les coordonnées x\ y de ce point dans l'équation (9), laquelle, jointe alors- avec Téquation (10), suffirait pour calculer les axes de l'ellîpse MD' et de l'hyperbole MD". Maïs si , comme dans le tracé d'une voûte en dlipsoïde , le poin(

364 CHAPITRF. XVII.

assigné était en S sur Tellipse de la naissance AB'A', on pourrait employer une solution graphique fort simple, pour laquelle nous renverrons à la GéométPie descriptive ^ no743.

Des courbes de niveau et des lignes de plut ffranâe pente.

437. Ce sont des lignes remarquables qui servent, dans le tracé des cartes topographiqtles, à représenter la forme du terralui Les courbes de niveau ne sont autre chose que les sections faites dans la surface qui recouvre le sol , par divers plans horizontaux \ et si Ton a soin de piener ces plans à des intervalles égaux mesurés sur la verticale, il est évident que là où les projections horizontales des courbes de niveau seront plus rapprochées, elles indique» rqnt que la pente du terrain est plus rapide ; et en même temps , les diverses sinuosités de ces courbes figui eront les mouve^lents du sol, quelque variés que soient ceux-ci.

Pour obtenir Téquation finie des courbes de niveau, il suffit de joindre à l'équation de la surface proposée , celle d^un plan horizontal quelconque , c'est-à-dire de prendre le système

et en éliminant z , il vient pour la projection des ligne& de niveau, l'équation F (jr:,y, 7)==o, où y est une constante arbitraire* Mais si l'on veut avoir l'équation différentielle commune à toutes ces courbes, on différe^tiera le système précédent , ce qui donnera

dz = pdx -h qdy et z =: o ;

et par suite, l'équation différentielle qui catactérise les courbes de niveau , sur toute surface , sera

(i) pdx -{- qdr = o;

seulement , Â pon q renferme ^ (ce qui arrirera ordinairement lorsque Féquation F = o aura été différentiée avant d'être résolue par rapport à ^) , il restera à éliminer èette variable au moyen de Téquation de la surface , pour que Téquation (i) représente la projection horizontale des courbes de niveau.