On donne deux angles A e£ B , wec le côté compris y
i**. Pour trouver l'angle C, on emploiera le théorème (4), qui donne
cos G = — cos A ces B + sin A sin B cos 7
= cos A ( — cos B -h sin B tang A cos 7) ;
et , par le secours d'un angle auxiliaire ^ , on aura
cos A sin (B — 4»)
tang A cos 7 = cot + , cos C = r-^, 2-£.
' ^ smy
2^. Le côté a s'obtiendra par une des formules (3) , qui
doiine
cot a sin 7 =: cot A sin B + cos 7 cos B
= cos 7 I cos B -h sm B 1 ;
\ cos 7 /
et, par le secours du même angle (p que ci-dessus, on
aura
cot A . cot 7 cos (B — 4»)
= tang^b, cota = '- ^-^ 1 .
cos 7 ^ ^ cos ip
3g4 CHAPITRE XVIII.
3^. Le côté S se déduirait semblablement de la formule cot € sin 7 = cot B sin A -+- cos y cos A.
Observons d'ailleurs que les deux côtés «,69 pourraient aussi se calculer par les analogies de Néper, (Ployez n^488.)
481. On arrive aux mêmes valeui'S, en abaissant l'are *»c. 9. gjj ___ ^ perpendiculaire sur AC, et en désignant par ^
l'angle DBA ; car le triangle rectangle ABD donne
. * . cosA
cos 7 = cot ^ cot A , cos n = —. — r ;• ' ^ sin>I*
et, par^ l'autre triangle rectangle BCD, on obtient
oosC „ , ^ cosAsin(B — 4*)
cos h =2 -7- j-r, d'où cos C = r-^, .
sin (B — 4*) sinrl»
Quant à a , les mêmes triangles rectangles donnent
C0S(B— .>!;) = ^"^ , cos 4^ r= ^«-;
^ ^^ tang a ' ^ tang 7
d'où l'on conclut
tang 7 cos^'
Pour obtenir 6, il faudrait abaisser la perpendiculaire du sommet A.
GINQUiiME CAS.
482. On -donne deux angles A et B, a\^ec le côté a opposç^ à l 'un d*ei4X.
I**. Le côté 6 s'obtiendra par le théorème (2), qui
donne
sin ê sin a
sin B sin A'
a**. Pour trouver l'angle C, on emploiera le théorème (4)5 qui fournit l'équation
cos A = — cos B cos C -h sin B sin C cos a
= cos B ( — cos C -h sin C tang B cos a)^
TRIGONOMÉTEIE SPUK&IQUK. 395
et, par le moyen d'un angle auxiliaire, il viendra
• , , cos B sin (C — ^) tangBcosa = cotip, cosA = 7—^, -^
3°. Le côté y se déduira d'une des formules (3), savoir, cot a ^in 7 = cet A sin B + ces 7 ces B ;
d'où résulte
cota .
=r Sm 7 — cos 7 = cot A . tanc B ;
cosB ' ' .
et alors, par Un arc auxiliaire f, il viendra
cota
cosB
= cot^, sin(7-^y) == cot A tang B sin f .
483. Cela revient encore à abaisser l'arc CD = h per- ^ •«• ^•
pendiculaire sur ÂB, et à poser l'angle BCD == if; , et le
segment BD = <f -, car le triangle rectangle BCD donnera
^1 , cosB
cos a = cotB cotry, cos n =r -: — r : ^
sm \[*
mais le triangle ACD fournit aussi la relation
cos A COSA = -: — — -r,
sin (C — ^)'
d'où l'on conclura
' /n ,x cos Asin +
Quant au côté y, on a, dnaa les mêmes triangle» rec*
tangles,
« tang ep ^ tang A , tang h
cos B = — 5J[ tangB = . , tang A = . , r;
tang a ^ sm y . sm (7 — 9)
d'où l'on conclut , en éliminant h ,
. , , tang B sin y
sm (7 — ?) = — ; — >
^' ^^ tangA.
résultats qui s'accordent tous avec ceux du n® 482 , mais qui offriront souvent deux solutions. {Voyez n® 486.)
396 GHAPITRK XVIII.
