SIXIÈME CAS
484. On donné les trois angles A, B e« C. Pour obtenir un des côtés, a par exemple, on emploiera le théorème (4) 9 qui donne
cos A = ■ — cos B cos C 4- sin B sin C ces a,
équation où cos a est la seule inconnue , mais qui ne se prête pas aU calcul logarithmique. C'est pourquoi nous agirons comme dans le premier cas, et nous substituerons la valeur de cos ol , tirée de Téquation précédente , dans la relation connue
nn I a = t/ -
— cos a sm
alors il viendra , en réduisant au même dénominateur sous le radical,
,in ^ « - . /~cos(B- ^C)~~cosA
Sin T a :=r \/ : tt
2 sin B sin C ou bien
dnla=Y/=i^
s,^ ;- cûsi(B 4- C -f- A)cosi(B -hC- A)
sin B sin G
Cette valeur, que Ton aurait pu déduire de celle de cos j A, trouvée n° 474, en appUquant cette dernière au triangle supplémentaire, sera toujours réelle. En effet, comme la somme des trois angles A , B, C est toujours comprise (n® 448) entre deux et six angles droits, il s'ensuit qu'on aura à la fois les deux conditions
|(A-f.B-|-C) >9oo et <3X90«;
ainsi , le premier cosinus qui entre sous le radical précédent sera négatif, et , à cause du signe qui le précède , ce facteur deviendra positif. Ensuite , le second cosinus sera toujours positifs car, dans le triangle supplémentaire, chaque côté étant (n^ 446) plus petit que la somme des
TAIGONOMiTMC &PH1^.RIQUE. 897 ^
deux autses, on aura
oii bien
d'où I on couclut
§ V. Remarques.
485, On doit observer que , des six cas que nous ve« nons de résoudre, les trois derniers auraient pu élre ramenés aux autres par le secours du triangle supplémentaire. En effet, quand on donne, dans le quatrième cas, les angles A et 6 avec le coté compris y, on connaît, dans le triangle supplémentaire , les deux côtés a! et è' avec Tangie C, puisque ces éléments sont les suppléments des données de la question. On pourrait donc, comme au n® 4-78, calculer y\ A', C5 et, en prenant leurs supjiléments , on aurait les valeurs de C, a, 6. De cette manière , le quatrième cas se ramènerait au troisième , le cinquième au second , et le sixième au premier.
486. En examinant par quelles lignes trigonométriques sont fournies les inconnues dans chacun de ces six cas , on reconnaît aisément que le second et le cinquième sont les seuls qiu puissent admettre deux: solutions; et encore ils
ne les admettent pas toujours. En effet, soit CAB Tangle Fie. 61. donné A, que nous supposerons d^abord aigu , et AC = S le côté connu adjacent à cet angle : si Ton abaisse Tare CD perpendiculaire sur AB , le second côté donné oc pourra prendre deux positions CB et CB', également écartées de CD , et il y aura deux triangles ACB, ACB', construits avec les mêmes données , pourvu toutefois que a < 6 ; car si a>6, la seconde position CB' que prendrait ce côté, devrait être plus éloignée de la perpendiculaire CD que
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puis enfin, par les formules ordinaires de la Trigonométrie , qui changent les sommes de sinus ou de cosinus en produits, on ramènera aisément les deux équations précédentes à la forme
<„) eangX(A-4-B)=cot.C.^i^),
Ces relations , qui pourraient être écrites sous la forme de proportions ou dH analogies , serviront, dançle troisième cas des triangles obliquangles, à trouver (A+B), (A — B), et par suite , chacun des angles A et B.
488. Si Ton applique les formules (ii) et (12) au triangle supplémentaire , dans lequel A' = 1 80® — a , B' = i8o« — 6 , C= 180^ — 7, a = i8o« — A , . . . , on en conclura ces deux nouvelles analogies,
(,3) tang|(a+6) = tangi,.^-^^|i^,
/ /x f / ox I sin |(A — B)
(.4) tangH«-6)=tanglv.-f|^^.
lesquelles pourront aussi , dans le quatrième caSj suffire à trouver (a -f- 6), (a — 6), et par suite, chacun des côtés oc et S.
489. Nous placerons encore ici une conséquence remarquable de Féquation trouvée n^ 457,
. . VI — cos* a — ces* 6 — cos* 7 -f- 2cos a ces 6 cos 7
sin A = . ^ . — ' •
sm 6 sin 7
Fie. 6a. Considérons, en effet, un parallélipipède COADB, dont les trois arêtes contiguës sont
T&IGONOMÉTRIS SFH^&IQUE. 4^1
lesquelles font entre elles des angles
BOC = a, COA=ê, A0B = 7.
Ces angles sont (n° 446) les côtés d'un triangle sphérique intercepté par les trois faces de l'angle trièdre O, sur une sphère qui aurait son centre en ce points et les angles A , B , G de oe triangle seront les angles dièdres qui ont pour arêtes OA, OB, OC. Cela posé, on a évidemment
surf. OADB = ab sin AOB = ab sin 7;
puis 9 en abaissant la perpendiculaire CH sur la base, et la droite HK perpendiculaire sur OA, on aura
CH = CK . sinCKH = CK . sinA ,
ou bien, en prenant la valeur de CK dans le triangle rectangle COK,
CH = csin€sinA.
Donc le volume du paraUélipipède sera
vol. (a, ày c) =r abcsinAÛBL^siny'y
«t, en y substituant l'expression citée au commencement de cet article, pour sin A, on obtiendra le volume de ce corps en fonction des arêtes et des angles qu'elles forment entre elles , savoir :
Tol. {a^ by c) =i abc ^i — cos' oc — cos'ê — cos'y H- acosa cos € cos y.
Cette expression pourrait aussr se calculer aisément par logarithmes , car elle se décomposerait en (^atre facteurs , attendu que le polynôme sous le radical provient (n*^ 457) de la différence
sin * 6 sin *7 — ( cos a — cos 6 COS7 ) ^*
