CHAPITRE PREMIER
Notions préliminaires.
1 . Pour appliquer Tanalyse à la Géomëlrîe considérée dans les trois dimensions de Tespace, il faut, comme sur un plan , chercher d'abord le moyen d'exprimer par des équations la position des points et des lignes. Or, si Ton imagine trois plans fixes et connus de situation , tels d'ailleurs qu'ils se coupent tous en un même point O , et deux à deux suivant des droites distinctes OX , OY, OZ , Fic. i. que l'on nomme axes des coordonnées^ puis , que d'un point quelconque M de l'espace , on abaisse sur ces plans fixes, ex parallèlement aux axesj les droites MA, MB, MC , ces trois distances seront dites les coordonnées du point M \ et comme elles changeront en 'général de grandeur pour les divers points de l'espace , nous les désignerons respectivement par les variables x^y^ z. Gela posé,
je dis qu'un point M est déterminé de position quand oii connaît les valeurs de ses trois coordonnées , c'est-à-dire quand on sait que , pour ce point , on a les équations
En effet, si Ton porte sur OX une distance OD égale à a , et que, par l'extrémité D, on mène parallèlement à YZ un plan indéfini BDC, ce plan contiendra évidemment tous les points de Tespace pour lesquels la coordonnée x est égale à a, et par conséquent il renfermera le point M en question. De même, en portant sur OY et OZ les distances OE = b et OF = c ; puis , menant par les extrémités E et F, deux plans indéfinis AEC et AFB, respectivement parallèles à XZ et XY, on verrait que le point diercbé doit être contenu aussi dans ces deux nouveaux plans; par conséquent ceux-ci 'détermineront par leur intersection avec GDB , un point unique pour la position de M, et ce point ne sera autre chose que le sommet du parallélipipède oblique construit sur les trois arêtes OD , OE, OF, égales aux coordonnées MA, MB, MC.
2. Toutefois, pour compléter la détermination du point M , il faut , dans les équations x = a^yr=zb^ z = c, tenir compte des signes des quantités a , fe, c, afin de porter ces distances sur les parties positives OX , OY, OZ des axes coordonnés, ou sur leur prolongement OX', OY', OZ', ainsi qu'on l'explique dans la Géométrie plane : autrement il y aurait huit solutions , puisque les trois plans fixes qu'on doit regarder comme prolongés indéfiniment forment, en s'entrecoupant, huit angles trièdres dans chacun desquels le point M pourrait être placé à des distances absolues a-, i, c. Sans insister ici sur les combinaisons de signes qui répondent à ces divers angles, mais que le lecteur doit se rendre très-familières , nous dirons
NOTIONS PBÉLIMIKAI&ES. 3
seulement que, quand le point M sera situé
dans Tangle OXYZ , on aura x = -f- a , j=-f-6, z=:-i-c;
dans Pangle OX'TZ, x=i — a, y=:-^by a=i-j-c;
dans l'angle OXY'Z, j;=-Ha, / = — b^ z = 4-c^
dans l'angle OX' Y' Z, j: = — a, y ^=z — b^ z = -hc;
puis, pour les angles trièdres situés au-dessous du plan XY, on aura
dansTangle OXYZ', a?=r-f.«, j=-+-A, « = — r;
dans l'angle OX'YZ', i?= — a, ^= + 6, 2 = — r;
dans l'angle OXY'Z', ar==-ha, / =r — b^ z = — c;
dansTangleOX'Y'Z^ x=: — «, r= — 6, « = — c,
3. Les pieds A , 6, C , des trois coordonnées du point M , sont ce qu'on appelle les projections de ce point, ^aife^ parallèlement aux droites OX , OY, OZ ; et elles deviendraient les projections orthogonales, si les plans coordonnés étaient choisis de manière que chacun d'eux fût perpendiculaire aux deux autres, disposition que Ton adopte ordinairement. Dans tous les cas, il est utile de i^emarquer :
I®. Qu'un point de F espace a toujours deux coordon^ nées de communes avec chacune de ses projections: ainsi , M et C ont évidemment le même or, MA = CE , et le même ^, MB = CD ^ M et B ont les coordonnées communes a:=:MA = BF, et z = Î^C = ïl!D'^ enfin M et A ont le même y, MB = AF, et le même z, MC = AE.
2°. Que deux projections d'un même point ont toujours une coordonnée commune: ainsi, les projections Bet C ont le même a:, BF = CE; B et A ont le même z, BD = AE^ A et C ont le même j, AF = CD.
■4. D'après cela , il est aisé de voir que les trois équa-
4 CUAPITafe I.
lions x=^a^ y:=^b^ z^=Cy qui déterminent le point M-, équivalent à la connaissance de deux de ses projections, données qui servent, dans la Géométrie descriptive, à fixer la position de ce point. En effet, pour définir analytiquement la projection C sur le plan XY, il faudrait donner deux équations telles que x = a et j^ = 6 : pour définir la projection B, on devrait donner a:=:a' et -s =c; mais ces quatre équations se réduisent à trois , parce que , d'à*près la deuxième remarque du numéro précédent, on doit toujours avoir la condition a'=â. Cette dépendance entre les projections d'un même point sur deux plans se retrouve dans la Géométrie descriptive , puisque l'on sait qu'après le rabattement des plans, les deux projections orthogonales doivent toujours être situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.
5. En outre, quand une fois les deux projections C et B sont fixées par les équations x = a etj^ = è, x = à et J&i=c, la troisième projection A s'ensuit nécessairement ; car, devant avoir (n° 3) le même y que la projection C , et le même z que la projection B, elle se trouvera définie par les équations j^ = i et z = c. Si d'ailleurs on voulait déduire graphiquement le point A des deux projections C et B, il suffirait évidemment de tracer sur les plans fixés , et parallèlement aux axes , les droites CE-etBF,EAetFA.
6. Puisqu'un point est déterminé par ses trois côorï'iG. a. données, si l'on donne numériquement celles des points
M' et M", il doit être possible de calculer la distance de ces deux points ; et c'est ce que nous allons faire , en sup; posant que les axes sont rectangulaires. (^Voyez, pour le cas des axes obliques , le n*' 78.) Menons donc les coordonnées MC=^z\ C0 = j', OD' = a:' relatives à M', et les coordonnées M"C' = z", C!'jy'=y% OD"=:x",qui
NOTIONS PRiLIMINAlRES. B
se rapportent à M"; puis joignons ces deux points, et tirons la droite M'P parallèle à C"C. Le triangle M'M"P sera évidemment rectangle en P, et donnera
mais si Ton mène CQ parallèle à OX, le triangle C'QC' sera aussi rectangle en Q , et fournira Fëquation
4'où Ton conclura , pour la distance cherchée.,
S^il s'agissait d'avoir la distance du point M' i l'origine O, il suffirait d'exprimer que M" coïncide avec ce dernier point, en posant x" = o, jr"=zo^ z*=o; et il en résulterait
Dans ces deux formules, on devra toujours prendre le vadical positivement , puisqu'il ne peut être question que de la distance absolue des deux points proposés.
7. Avant de nous occuper des lignes, il est à propos de généraliser nos idées sur la signification géométrique des équations à une ou à plusieurs variables, lorsqu'on embrasse les trois dimensions de l'espace. D'abord^ une équation telle que j: = a, convient, même en laissant les axes obliques, à tous les points qui se trouvent à une distance a du plan YZ , cette distance étant comptée parallèlement à OX ; et d'ailleurs elle ne convient évidemment qu'à ces seuls points: par conséquent l'équation. x = a représente , dans les trois dimensions , un plan in- (iéfini parallèle à YZ. De même , y ' +^'" + 17 = o , qui
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donnera deux valeurs constantes y=.a±ib^ a pour lieu géométrique deux plans parallèles à XZ ; et en général , toute équation à une seule *variable représente un ou plusieurs plans parallèles aux deux axes dont les coordonnées n entrent pas dans cette équation.
Il résulte de là que z = o est Téquation caractéristique du plan XY indéfiniment prolongé; de même j^=o représente le plan XZ , et a: = o représente le plan YZ.
8. Une équation à deux variables , f{x^ j) = o, appartient sur le plan XY à une suite de points qui générale-
Fio. 3. ment forment une courbe CCC; mais si , par les divers points de cette ligne , on mène des parallèles à Taxe OZ , on- obtiendra une surface cylindrique , dans le sens général de ce mot. Or, un point quelconque N de cette surface, quel qu^n soit le z, aura toujours le même x et le même j que sa projection C (n^' 3); par conséquent les coordonnées de tous les points de ce cylindre satisferont à la relation f{x^ ^) = o , qui ne contient pas la variable z ; tandis que tout point Ij pris hors de cette surface, ayant une projection G qui ne tombera pas sur la courbe CC'C, ne pourra vérifier par ses coordonnées x=OH, j^'=:GH, l'équation proposée. De là on doit conclure que l'équation /"(j:, y) = o représente une surface cylindrique parallèle à l'axe OZ, et dont la trace sur le plan XY est» donnée aussi par la même équation, quand on se borne à considérer deux dimensions de l'espace. Une conséquence analogue s'applique aux équations /^(x, z)=o onf"(jy z) = o, dont chacune, prise isolément 9 appartient à un cylindre parallèle à OY ou à OX, c'est-à-dire parallèle à l'axe des coordonnées qui n entrent pas dans l'équation,
9. Observons, en passant, que si l'on voulait définir analy tiquement la courbe CCC" seule , il faudrait em-
