NOTIONS PRELIMINAIRES

ployer les équations simultanées f(oc^ j^) = o et :? = o -, parce qu^alors il n'y aurait plus , sur tout le cylindre , que les points de sa base qui vérifieraient à la fois les deux relations citées.

10. Sans répéter des raisonnements analogues, on peut conclure, comme un cas particulier du précédent, que quand Téquation à deux variables est du premier degré, c'est-à-dire de la forme j^ = ar-f-J, elle appartient non-seulement à une droite PQ (^g- 3) dont on sait déterminer la position sur le plan XY, mais encore à tous les points du plan PQRS mené par cette droite parallèlement à Vaxe OZ; en efiet, ce plan n'est autre chose qu'un cylindre dont la base serait rectiligne. De . même , une équation du premier degré, telle que

mx -h nz =/? ou my -h nz = qy

représentera un plan parallèle k OY ou à OX.

il. Enfin, quand l'équation proposée renferme trois variables, comme F(a:, j^, z)=:o, il y en a nécessairement deux auxquelles on peut donner des valeurs arbitraires; si donc nous posons seulement z = c, l'équation F (x, jr, c) = o contiendra encore deux variables, et représentera (n® 8) une surface cylindrique parallèle à OZ 5 mais comme on ne doit prendre ici que les points de cette surface qui satisfont à la condition ^ = c , il s'ensuit que, par cette première hypothèse, on obtiendra une courbe, savoir: la section faite dans ce cylindre par le plan z = c , parallèle à XY. Si l'on pose ensuite z = c\ on trouvera tous les points de la courbe tracée par le plan z = c' dans le nouveau cylindre F (x, y^ c') = o 5 et en continuant ainsi , on obtiendra une infinité de courbes diverses situées dans des plans parallèles à XY, et aussi rapprochées que Ton voudra les unes des autres ; par con-

séquent le lieu géométrique d^une équation à trois variables F (ar, y^ z) =;^ o , est une surface dont la nature dépendra de la forme de la fonction F. D^ailleurs , on ne saurait prétendre que ce lieu est un solide, puisqu^alors chaque plan sécant devrait donner pour section une aire, tandis quHl ne produit, en coupant la surface cylindrique F (a:, j", c) = o , cpHune courbe à une ou plusieurs branches, identique avec la base de ce cylindre.

12. Dç cette discussion il résulte que toute équation isolée, soit qu^elle renferme une, deux ou trois variables, représente une surface, laquelle devient néanmoins totalement imaginaire quand aucun système de valeurs réelles ne satisfait à Véquation proposée; ou bien, si Ton ne peut y satisfaire qu'en partageant cette équation en deux ou trois autres, la surface se réduit à un nombre limité de lignes réelles, ou de points réels, parce qu^ alors on tombe sur le système de plusieurs équations simultanées. Il n'y a pa^s lieu de considérer ici des équations qui renfermeraient plus de trois variables proprement dites, puisque chaque point de l'espace est suffisamment (Jéterminé par ses trois coordonnées : cependant, si l'on regardait 1^ variables au delà de trois, non plus comme des coordonnées, mais comme des paramètres qui i^flueraient sur la forme et la position de chaque surface individuelle , on tomberait sur des solides et sur la théorie des surfax:es em^eloppes, dont nous parlerons plus loin (n^» 277 çt 337> .

13. Maintenant, si l'on fait concourir deux équations simultanées F (x, r? 5) = o et F' (x, j^, z) = o, c'est- ^-dire dans lesquelles les variables seront censées recevoir à la fois les mêmes valeurs , ce qui n'en laisse plus qu'une seule d'arbitraire , z par exemple , ce système représentera une ligne droite ou courbe, puisqu'il ne pourra con-

NOTIONS PRiLlMINAIRES. 9

venir qu'aux points situés en même temps sur les deux surfaces, c'est-à-dire à leur commune section. Réciproquement, le seul moyen que nous ayoï^s pour définir une courbe dans Tespace, étant d'assigner deux surfaces connues dont elle soit l'intersection , nous ne pourrons représenter analytiquement cette ligne que par deux équations simultanées. C'est à cela que revient en effet la méthode des projections , que nous allons faire connaître, et dont l'avantage consiste en ce que, parmi le nombre indéfini de surfaces différentes qui peuvent passer par une courbe donnéei; cette méthode emploie de préférence deux cylindres dont chacun est parallèle à Fun des axes coordonnés, et dont les équations se trouvent conséquemment plus simples, puisque, d'après le n^ 8, elles ne renfermeront chacune que deux variables.

\ 4. Commençons par les lignes droites , et , pour mieux fixer les idées, supposons les axes rectangulaires, et regardons OZ comme vertical. Alors, imaginons que do tous les points de la droite MM" dans l'espace, on mène Fie. 4. des perpendiculaires au plan XY (si les axes étaient obliques, il faudrait dire: des parallèles à 01a)\ elles rencontreront ce plan en des points C, C, C',. . . dont l'ensemble formera ce qu'on appelle la projection de MM" sur ce plan ; et cette projection sera toujours rectiligne, puisque les perpendiculaires seront évidemment situées toutes dans un même plan parallèle à OZ, lequel se nomme le plan projetant de MM". Si l'on projette de même cette droite sur les deux autres plans fixes par des perpendiculaires (ou en général par des li^es parallèles à l'axe qui est hors du plan que l'on considère) , on obtiendra les trois projections AA", BB", CC'^ dont deux suffisent pour déterminer la droite MM'^ En effet , supposons que Ton nous donne AA" et BB"; en concevant

par la première un plan parallèle à l'axe OX , et par la seconde un plan parallèle à OY, ces deux plans, dont la situation n'a plus rien d'arbitraire , devront évidemment renfermer chacun la droite MJVF, et ils en fixeront la position dans l'espace par leur intersection. Fie. 4. 15. Cela posé, la projection BB" sera déterminée sur le plan XZ dès que l'on donnera son équation , qui se trouvera, sur ce plan , de la forme

dans laquelle on sait que p désigne l'ordonnée OG du point de rencontre avec OX , et qu6 a = tang GIZ. L'autre projection A A'' sera définie sur le plan YZ par une équation telle que

onqs= OH et i = tangHKZ. Par conséquent, ^ensem-^ ble des équations (i) et (2) déterminera complètement la droite MM'' dans l'espace^ et quoiqu'elles soient ici considérées comme appartenant aux projections seules de cette ligne, on doit, d'après ce qui a été dit n** 40, les regarder plus généralement comme les équations des dettx plans projetants MBGR, MAHR, perpendiculaires, l'un à XZ, Tautre à YZ, et qui , par leur intersection, fixent la position de MM" dans l'espace. Ceci confirme et éclaircit ce que nous avons annoncé n^ 13.

16. Il est important d'observer que, quand même les axes seraient dbliques, les projections BB" et A A", pourvu qu'elles soient faites parallèlement aux axes, ainsi que nous l'avons prescrit (n° 14), auraient toujours des équations delà forme (i) et (a)*, seulement les constantes a et b changeraient de signification, et représenteraient alors des rapports de sinus, comme on l'a vu dans la Géométrie plane.

NOTIONS PaéLlMIllAIBES. 1 I

17. Remarquons d^ailleurs que, dans les équations simultauées (i) et Ta), les variables x^ y, z se rapportent aux peints correspondants des projections BB" et AA", c'est-à-dîre qu'en posant, par exemple, z = OF, on doit trouver x = FB et j^ = FA. D'où l'on voit : i** que ces variables représentent aussi les coordonnées MC, MA, MB de chaque point M situé sur la droite dans l'espace : ainsi ces équations peuvent être dites celles de la ligne MM" elle-même; 2** que les valeurs a: = FB, j^ = FA, sont encore égales aux coordonnées CE, CD, du point C de la projection CC"-, et par conséquent Inéquation de cette troisième profection se déduira toujours des deux premières j en éliminante entre (i) et (2), ce qui donnera

pour l'équation de la ligne CC" ou du plan projetant vertical MCR.

18. On voit aussi par là qu'il serait aisé de déduire graphiquement la troisième projection des deux autres ; car, si l'on prend sur AA" et BB" deux systèmes de points correspondants à un même z , tels que A et B, A' et B', il suffira de tracer sur les plans fixes, des parallèles aux divers axes, pour en conclure la position des points C et C, qui détermineront la droite CC

Cette construction devient plus simple quand on l'applique à deux des traces R et S de la droite MM", traces qu'il est aisé de retrouver sur les projections A A" et BB", par les premiers principes de la Géométrie descriptive.

19. Lorsqu'il s'agit d'une courbe MM'M". . . , on ima- Fie. «L gine aussi par tous les points de cette ligne des perpendiculaires au plan XY (ou, si les axes sont oblicjues, des pa-

12 GHAPIT&B I.

rallèles à OZ) 5 ces droites , dont Tensemble formera une surface cylindrique, rencontreront le plan XY suivant une ligne CCC"..., qui, en général, sera courbe, et que l'on nomme la projection de MM' M" sur ce plan. Si Von conçoit de même, par la ligne MM' M", deux cylin-^ dres projetants, parallèles Tun à OY, l'autre à OX, on obtiendra les autres projections BB'B", hJ^K" . . .^ et la courbe dans l'espace sera évidemment déterminée, dès que l'on donnera deux de ses trois projections, puisque alors elle devra se trouver à l'intersection de deux cylindres connus.

20. Or, les deux projections BB'B" et AA'A", par exemple, seront définies par des équations de la forme

r{y,z):=o V ^ ir= + W .... (5),

lesquelles , dans leur signification complète , représentent (n** 8) les deux cylindres projetants qui ont pour bases les courbes BB" et AA" : donc la ligne MM" sera déterminée par le système des équations simultanées (4) et (5)^ et d'après les remarques du n^ 17, l'équation de la troisième projection CC'C" se déduira de celles-là, en y éliminant la variable :ç.

21 . La construction graphique de cette troisième projection, qui en général ne sera pas rectiligne, exigerait que l'on répétât les constructions indiquées n*' 18 pour une droite, sur divers points des courbes BB" et AA", assez nombreux et assez rapprochés pour pouvoir unir les résultats par un trait continu.

Ces principes une fois posés , nous allons résoudre divers problèmes relatifs aux lignes droites, et qui d'ailleurs seront des moyens de solution pp\ir d'autres ques^. tioiis plus élevées.

{PROBLÈMES SUR t«S LIGNES DROITES. l3

Problèmes sur les Lignes droites,