Lorsque les équatioDS d'une droite

(i) a: = az-hpy (2) yzzzbz-j-g,

sont données, c'est-à-dire que les constantes a^b^p^ q sont connues, il est facile d'obtenir les traces de celte ligne. Si Ton veut, en effet, trouver la trace R sur le plan XY, on se rappellera (n^ 7) que l'équation -zr = o f ,^ /^ caractérise tous les points de ce plan; pài*' conséquent , cette condition introduite dans les équations (i) çt (2) fournira x = p et j^ == ^, pour les coordonnées de R. On obtiendrait les deux autres traces en posant successivement j^ = o et j? = o.

23. On peut, au contraire, se proposer de déterminer les constantes généraks a , ft, /?, ç, par certaines conditions auxquelles on assujettira la droite. Exigeons, par exemple , que cette ligne passe par deux points connus M et M" Cfig» ^) 5 dont les coordonnées seront désignées par x\ y\ z^ et x*\ y"^ z'\ Alors il faudra que les équations générales (i) et (2) soient vérifiées par la substitution de ces deux systèmes de coordonnées à la jdace de X , j^, z^ ce qui fournira les conditions

(3) x'^zaz'-^-p, (4) y'—hz'+q, (5) x'^zzzaz'^-^p, (6) j'' = è«"-h^,

l4 GHAPIT&E II.

d^où l'on pourrait tirer les valeurs des quatre constantes , pour les substituer ensuite dans (i) et (2) : mais on arrive d'une manière plus élégante à un résultat équivalent, en éliminant par des soustractions , comme dans la Géométrie plane, les inconnues ael p entre les équations (i), (3), (5), et les inconnues b et if entre (2), (4), (6). De cette manière on obtient pour les équations de la droite M' M",

24. Si la droite cherchée devait passer seulement par le point (x' y' ^'), on n'aurait à joindre aux équations générales (i) et (2) que les conditions (3) et (4), ce qui, en éliminant p et q^ donnerait pour les équations d'une droite assujettie à passer par un points

dans .lesquelles les constantes a et i i'esteraient indéterminées , comme on devait s'y attendre. Mais si , de plus , on veut que la ligne cherchée soit parallèle à une droite connue représentée par

il faudra évidemment que les plans projetants de ces deux droites, et par suite leurs projections, soient respectivement parallèles \ ce qui fournira les nouvelles conditions a^=s:-a\ i = h'\ et la droite demandée sera enfin représentée par

Si l'origine O est le point donné par lequel on veut conduire une parallèle à la droite (D'), les équations (D)

PROBLEMES SUE LES LIGNES DROITES. l5

se réduiront éTidemment à la forme très-simple

25. Trouver le point de rencontre de deux droites connues j déterminées par les équations

(i) xz=az -f-p, (2) y = hz -\-q pour la première ,

(3) x=.a 'z -t-/? ', (4) X = b^z-hq' pour la seconde.

Observons d'abord que les variables x et y prennent en général des valeurs très-différentes dans les systèmes (i) et (2), (3) et (4), pour une même bypotbèse z = z' : cependant , si les deux droites se coupent , les coordonnées du point commun devront vérifier à la fois les deux systèmes , et par conséquent elles s'obtiendront en regardant .r, y, z 5 non plus comme des variables, mais comme des inconnues qui ont les mêmes valeurs dans ces quatre équations. Il ne s'agit donc que de les résoudre sous ce point de vue^ toutefois, puisque leur nombre surpasse celui des inconnues, il devra y avoir une équation de condition sans laquelle le problème sera impossible, parce qu'en effet deux droites dans l'espace ne se rencontrent pas toujours. Cette équation s'obtient, comme on sait, en éliminant les trois inconnues: or, en soustrayant (i) de (3) et (2) de (4), on a

o = a(«' — a)^p' — /?, o=zz{b' — b)'^q' — q\

puis , en éliminant z entre ces dernières , ou bien en exprimant que les deux valeurs qu'elles fournissent pour z s'accordent entre elles, on arrive à la condition

(5) Pj=:L-'L=±

Si donc cette équation n'est pas vérifiée identique-

l6 ÈHAPltRE tl.

ment par les constantes des équations proposées , les deux droites en question ne se couperont pas^ et lorsqu'elle sera satisfaite , les coordonnées du point de section s'obtiendront en substituant la valeur commune

dans (i) et (2), ou dans (3) et (4)? indifféremment.

26. Quand on a a = a' et i = ft', la condition (5) se trouve satisfaite, et cependant les droites ne se rencontrent pas , puisqu'elles sont parallèles ^ mais on doit évidemment sous-entendre , avec la relation (5 ) , que la valeur précédente de z n'est pas infinie ^ ou bien il faut dire que la condition (5), prise isolément, exprime que les deux droites sont dans un niénie plan et peuvent se couper, sans décider à quelle distance aura lieu leur rencontre.

N. B, Observons ici que toutes les questions dont il' est parlé dans les n^*^ 22, 23, 24, 25, se traitent de la même manière et conduisent aux mêmes formules, quand les axes sont obliques^ seulement, la signification géométrique des coefficients a^h^ a\h' est altérée, comme nous l'avons dit n° 16.

FiG. 6. 27. Trouver les angles que forme ai^ec les axes rectangulaires OX, OY, OZ, une droite donnée

et comme cette ligne peut ne pas rencontrer les axes , il faut entendre par là les angles que forment ceux-ci avec une droite OD menée par l'origine, parallèlement à la droite primitive.

Les équations de OD seront (n*^ 2 1) x = az ^ y = bz :

PROBLÈMES Sim LES LIGNES DROITES. f]

si Ton prend sur cette droite une longueur arbitraire OJVr = r, et que Ton désigne par x', y\ z' les coordonnées de son extrémité M', on aura , pour déterminer leurs valeurs, les trois équaûons

dont les deux premières expriment que le point M' est sur la droite OD, et la dernière est la formule trouvée n^ 6. On en déduit aisément

^a*4-è2-l-i' y^a^^y^^x sla^-^-b^-^i'

Cela posé , en achevant le parallélipipède déterminé par les trois coordonnées du point M', et en posant les angles cherchés M'OX = a, M'0Y = 6, M'OZ^y, on trouvera, par les triangles recungles M'QO, M'SO, M'TO, les relations

et en y substituant les valeurs des coordonnées trouvées ci-dessus, il viendra

(7) fiOSfle= , C0Sb =

cos7 =

28. Observons ici, 1°. que ces cosinus renferment un radical qui est susceptible de recevoir le double signe ± 5 mais on devra toujours Taffecter du même signe dans les trois cosinus à la fois, et cela ne fournira que deux systèmes de valeurs qui répondront aux deux angles supplémentaires formés par la portion OD , et par son pro-

l8 CHAPITRE II.

longemcnl OE, ai^ec les demi-axes positifs; car c'est de cette manière que Ton doit toujours mesurer les angles d'une droite avec les axes coordonnés.

7?' Que ce radical pris positivement se rapportera toujours aux trois angles que forme avec les axes la portion OD qui se trousse au-dessus du plan XY , ou qui fait un angle aigu avec OZ , puisque alors , dans les formules (7), cos y ayant une valeur positive ^ il sera certain que Fangle y est aigu. Toutefois cela n'empêchera pas les deux autres angles ce et 6 d'être obtus ou aigus , suivant les signes qu'auront les numérateurs a et £ dans ces formules (7).

Fie. 6, 29. Le parallélipipède employé ci-dessus montre que les coordonnées x' = OQ , J''= OS, z^ = OT, d*un point quelconque M' , sont les projections sur les axes , du rayon "Vecteur OM!=r^^ et les équations (6) donnent les valeurs de ces coordonnées sous la forme

x'szrrcosa, jr'==rcos6, z' = rcosy,

FiG. a. De même, si une droite finie M'M" a pour coordonnées de ses extrémités a:', j^', z' et x'\y\ z'\ et qu'on mène par ces deux points six plans parallèles aux plans coordonnés , on formera im paraUélipipède rectangle dont les arêtes seront évidemment or' — x"^y' — y'\ z' — z"-^ de sorte que les angles a, 6, y ^ formés par la diagonale M']VF=D, avec ces arêtes ou avec les axes , seront déterminés par les relations suivantes qui sont fréquemment employées ,

cosa=: — — — , cos6= jr , C0$7==

dans lesquelles d'ailleurs on sait (n^6) que

PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES. ig

30. Lorsque Ton connait à priori les angles et, è^ y^ que forme une droite quelconque avec les axes, il est facile d'en conclure les coefficients a et i qui entreraient dans les équations de ses projections ; car , des formules (7)

du n** 24, on déduit par la division, =a, =zbi

de sorte que quand une droite devra passer par un point donné {x\y", z"), et faire avec les axes des angles a,&,y, ses équations pourront s'écrire sous la forme très-symétrique

cosa cos6 COS7

31. En ajoutant les formules (7) du n^ 24, après les avoir élevées au carré, on obtient cette relation fort remarquable :

(8) cos'a -I- cos* 6 -h cos*7 = i ,

qui prouve que les trois angles formés par une même droite avec les axes ne peuvent jamais être pris tous arbitrairement. Quand on s'est donné a et 6, par exemple, le

troisième est déterminé par cos y = ±: y^i' — cos* a — cos* 6, -et n'est plus susceptible que de deux valeurs supplémentaires l'une de l'autre ; encore faut- il que les deux premiers angles satisfassent à la relation cos'a-j-cos' S < i, laquelle comprend les deux conditions

a4-6>>90*» et a — ê<:;90».

On peut se rendre raison de ces diverses circonstances , au moyen de deux cônes droits qui auraient pour axes OX et OY, et dont les génératrices formeraient avec ces axes des angles égaux à a et S ; car la droite en question devrait être à la fois sur ces deux surfaces coniques, les-

quelles ne peuvent se couper que suivant deux génératrices placées symétriquement, Tune au-^dessus et Tautre au-dessous du plan XY.

32. Trouver F angle que forment entre elles deux droites représentées par

x=iaz -hp et jr zzzbz -\- q^ x^ia'z-^-p' et y :=:b'z-^q'\

mais comme ces lignes peuvent ne pas se rencontrer, il faut entendre par là V angle compris entre deux droites menées par un même point j et parallèlement aux lignes primitives. Soient donc OD et OD' ces deux parallèles^ FiG. 6. leurs équations seront (n** 24)

(D) x^az^ r = ^«,

alors, si l'on prend sur ces droites deux points M', M'', à une distance quelconque de l'origine, par exemple, telle que 0]Vr= I, 0M"= i, et que l'on joigne ces deux points, le triangle obliquangle OM'M" donnera, par un théorème connu ,

M' M' = OM' -h OM" — 20M' . OM" . ces ( M' OM'' ).

Mais si l'on désigne par x\ y\ z et x'\ y\ z" les coordonnées des deux points M' et M", cette équation deviendra

^j:' ^a:"y-J^{y' -^ y"Y-^{z' '--z"f=i -hi— 2 cos(D,D'), et, en développant les carrés, elle se réduira à (9) cos(D, D') = ^V'+7'r"-4-^V%