Maintenant comparons les plans entre eux, et
4o CHAPITRE III.
cherchons d^abord les conditions qui expriment que deux plans sont parallèles , ^iGnl •
(P) Aa: '-hBr -hO -f-D =rO,
(P') A'a:-+-B'r-+-C'z-hD' = o,
les équations de ces plans. Il faudra et il suffira que leurs traces sur chacun des plans coordonnés se trouvent respectivement parallèles ; si donc on pose dans les équations (P) et (P') , successivement j: = o,j^ = o,z = o,on trou»vera les conditions
lesquelles se réduisent à ces deux-ci ,
c'est-à-dire que les coefficients des termes ^variables seuls dois^ent être respectivement proportionnels dams les deux équations; et même on pourra toujours rendre ces^^ trois coefficients respectivement égaux j en divisant le terme constant D' par le facteur commun qui distinguera A', B, C',deA, B, G. Fie. 8. 55. Trou\fer V angle de deux plans donnés par les équations ci-dessus (P) et (P')^ Si Ton conçoit la figure 8 exécutée sur un plan de projection perpendiculaire aux deux plans proposés , ceux-ci y seront représentés par leurs traces AP, AP'^et Tangle PAP' mesurera évidemment Finclinaison de ces plans. Mais si on leur mène deux normales par le point A, on reconnaîtra aisément que l'angle N AN '=PAP'*, d'ailleurs, comme ces droites prolongées indéfiniment forment , aussi bien que les plans , quatre angles supplémentaires deux- à deux , on peut dire
DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTEE EUX, etC. ^ï
généralement que ces deux normales comprennent entre elles les mêmes angles que les plans en question ; et cela sera vrai encore de deux autres droites parallèles à AN , AN', et tracées par tel point de l'espace que Ton voudra. Cela posé, en menant par Torigine deux perpendiculaires aux plans (P) et (P'), elles auront pour équations
(N) xz^LOZy y z=:hz avec les conditions a = 7; , h -r^-^
et les angles de ces deux nornoiales seront déterminés {pP 32) par la formule
aa' '\' hb' '\- i 1
cos(N, N')i=
donc, en substituant ici les valeurs de a, a\ i, b\ on aura pour les angles des deux plans
AA'-HBB'-i-CC'
cos(P, P') =
formule où le double signe qui affecte le second membre i'épond aux angles aigus et obtus que comprennent les deux plans indéfinis.
56. Pour calculer les angles que fait un plan (P) aî^ec les plans coordonnés ^ il suffit d'exprimer, dans la formule précédente, que le second plan (P'), qui était quelconque, vient à coïncider avec un de ceux-ci. Or, pour quç le plan (P' ) devienne le plan XY, il faut évidemment poser dans son équation A = o, B = oetD = 05 donc alors on a pour l'angle du plan (P) avec le plan XY,
ces f p, xy) = - — r=: cos ( N , z) :
4^ CHAPIT&E 111.
OU trouverait d'uuç manière semblable
COS(P, X»)= " ■ ==;=rCOS(N, J^),
C08 (P, r*) = , — = cosfN , x).
Ces i,rois angles du plan (P) avec les plans coordonnés, sont évidemment les mêmes que ceux de la normale (N) avec les trois axes ; aussi , en faisant la somme de leurs carrés, on trouve, comme au n^ 31, la relation
cos' (P, jcjr) + cos'(P, xz) -+- cos*(P, yz) = i .
57. Les angles d'un plan (P) avec les plans coordonnés laissent toujours une ambiguité qui ne peut disparaître qu'en substituant au plan, supposé d'abord transporté parallèlement à lui-même jusqu'à l'origine des axes , une normale menée par ce point et prolongée vers une seule des faces du plan. Les angles de cette normale avec les axes positifs sont alors complètement déterminés , puisque, dans les formules du n*^ 56, il faudra prendre le radical de inêmc signe que le coefficient C , lorsque la normale en question formera un angle aigu avec OZ , et de signe contraire j quand elle fera cet angle obtus. Quant à la manière de définir la face du plan sur laquelle on veut élever cette normale, c'est dans chaque problème en particulier qu'il en faut chercher les moyens : par exemple , dans les questions de Mécanique , où il existe des forces qui tendent à faire tourner leur rayon vecteur autour de l'origine , on peut convenir que la normale sera élevée de telle sorte que le spectateur placé sur cette droite, et les pieds sur le plan, voie le mouvement de rotation s'effectuer toujours de sa gauclie vers sa droite. On pour-
DBS PLANS ET DE LEUa COMBINAISON ENTRE EUX, etC. '4^
rait adopter l'hypothèse contraire ; mais la première oflTre Tavaiitage que , quand la normale ainsi définie formera des angles aigus avec les demi-aKes positif disposés suivant Tusage habituel , la projection du rayon vecteur sur les plans coordonnés s.e mouvra dans Tordre alphabétique des lettres , savoir : de OX vers OY, de OY vers OZ , et de OZ vers OX.
De même, pour mesurer sans ambiguité l'angle de deux plans (P) et (P'), il faudra prendre l'angle compris entre deux normales dirigées par rapport à chacun de ces plans , comme nous venons de l'indiquer pour un seul.
58. L'équation du plan prend une forme remarquable , et utile à employer quelquefois , lorsqu'on y introduit la perpendiculaire â abaissée de l'origine sur ce plan , et les angles X, jut, v, que fait cette normale finie avec les demiaxes positifs OX, OY, OZ. Pour abréger la discussion, admettons que, dans l'équation
(P) Aj:-}-Br + C3-+-D=:o,
on ait eu soin, avant tout, de rendre /lég^a^i/^dansle premier membre le terme D \ alors la perpendiculaire abaissée de l'origine (n^ 50) devra être écrite ainsi
et les angles i, jx, v seront donnés (n*^ 56) par les formules
CO«X= ; ..: , ■,. ' zs^y O0»{KZ=z
w^m-^mm^^m
COSv=:
sjA} ^- B'H- C* -h >Jh} + B' -H C«
car, d'après la préparation effectuée sur le terme D, je dis qu'on doit prendre ici tous les radicaux positii^enient. En effet, le plan proposé coupe les axes coordonnés à des distances
lesquelles auront évidemment les mêmes signes que A , B, C : or, quand la distance x' sera positive, il est facile d'apercevoir que l'angle X de la normale finie d se trouvera aigu, et qu'ainsi cos X devra être positif; mais puisque alors A > o, il faut donc dans l'expression de ce cosinus prendre le radical avec le signe +. Si au contraire la distance x^ était négative, l'angle X serait nécessairement obtus*, et comme dans ce cas, on aurait A <Co, il faudrait encore prendre le radical positivement. La même discussion s'appliquant aux autres angles, il en résulte que les cosinus doivent être écrits conmie nous l'avons fait ci-dessus 5 et*alors on en conclut
A=:— r— COSX, B = — y— COSfl, C = — j— COSv,
d'où, en substituant dans l'équation (P), il vient pour l'équation du plan ,
X cos ^ + j cos fA -f- z cos V = + 5.
Sous cette forme, le second membre â sera toujours une quantité essentiellement positive, et les cosinus seuls pourront avoir des signes divers , suivant la position du plan , ou plutôt de la normale â relativement aux demiaxes des coordonnées positives.
59, Condition pour que deux plans soient perpendiculaires entre eux. Dans ce cas, il faut et il suffit que la
l>feS PLANS KT DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. ^5
valeur trouvée n° 55, pour le cosinus de Fangle des deux plans , devienne nulle : donc on aura la relation
AA'-^BB'-hCC'=:o.
60. Déterminer Vintersection de deux plans représen* tés par les équations
(P) Ax H- Bj + Cz H- D = o,
On pourrait, d'après les réflexions faites au n*^ 1*3, se contenter de dire que la droite demandée est suffisamment déterminée par le système des équations (P) et (P') prises simultanément, c'est-à-dire en y regardant x, j^, z, comme recevant à la fois les mêmes valeurs. En effet, sous ce point de vue, il ne reste plus qu'une de ces varia-* blés qui puisse être prise arbitrairement ; de sorte que si l'on pose tour à tour z = i, 2, 3. ..9... et que Ton calcule d'après les équations (P) et (P), les valeurs correspondantes de X et dey, on déterminera autant de points que l'on voudra de l'intersection des deux plans. Mais si Ton désire de connaître les projections de cette droite , on se rappellera (n°*3et 17) que les variables a: et ^, par exemple , représentent à la fois les coordonnées d'un point de l'intersection dans l'espace , et celles de la projection sur le planXZ : donc l'équation de cette projection s^ob tiendra en éliminant y entre (P) et (P'). Le même raisonnement montre qu'il suffira d'éliminer a: pour avoir la projection sur YZ-, de sorte que, sans développer ici les calculs, on arrivera évidemment à deux équations de la forme
(i) x=:az+/?, (2) jrzzzLbz-^-q.
Si ces dernières sont plus commodes pour se repré-
senter la position de rintersection, c'est qu'elles appar* tiennent (n^ 15) à deux plans passant par cette droite, et qui ont cela de particulier , qu'ils se trouvent perpendiculaires l'un à XZ, l'autre à YZ^ mais il n'en faut pas moins rester convaincu que les équations (P) et (P') sous leur forme actuelle, et prises simultanément, déterminent déjà la droite demandée aussi complètement que (i)et(2). '
61 . Par des raisons toutes semblables , on sentira que la courbe intersection de deux surfaces représentées par
est aussi complètement déterminée par le système de ces deux équations, "priBes simultanément j que par les équations de ses projections
déduites des précédentes, en éliminant tour à tour y et X] et d'ailleurs ces dernières représentent aussi deux surfaces j savoir : des cylindres parallèles à OY et à OX (n** 8).
Nous terminerons ce chapitre par un problème qui nous fournira l'occasion d'appliquer plusieurs des formules obtenues jusqu'ici.
62. Trouf^er la grandeur et la position de la plus courte distance de deux droites, que l'on suppose n'être pas dans un mèn^e plan , et avoir pour équations
(L) x = az -f-jp, X =z bz H- g,
(V) x=:a'z-hp\ yzrzb'z^q'.
Pour résoudre la première partie de ce problème , concevons par la droite (L) un plan (P) parallèle à (L'), ce qui est toujours possible, puisqu'il suffirait de faire passer ce plan par la première ligne et par une droite menée
t>ES PLANS ET DE LEUK COMBINAISON ENTRE EUX, etC. fy)
d'un point de celle-ocî parallèlement à la seconde (mais , pour exprimer analytiquement ces conditions , nous emploierons tout à rheure un moyeif plus simple). Imaginons aussi par la droite (L') un plan (P') parallèle à (L) : ces deux plans seront nécessairement parallèles entre eux, et leur distance mesurera éyidemment la grandeur de la plus courte distance des deux droites proposées. {Voyez la Géométrie descriptive, n** 47.)
Or le plan (P) aura une équation qui, pour simplifier les calculs , pourra s'écrire
(P) Aj?-i-BjH-z4-D = o;
mais , puisqu'il est parallèle à la droite (L') et qu'il contient la droite (L), on aura (n°* 44 et 45) les conditions
(i) ka' H-Bè'-f. 1 = 0,
(2) A/ï 4- Bô -h I = o,
(3) Ap -f-B^ +D=o,
dont les deux premières donnent A = -— -, B =
ab'^a'b' ab'^a'b'
et la troisième déterminera D en y substituant ces valeurs. De même , le plan (P') aura pour équation
(P') A'x- -f- BV -h z -f. D' = o,
avec les conditions
(6) A>'-f.B'^'-+-iy=:o;
> et sans résoudre les équations (4) et (5), on doit voir, en
48 €HAPITRK m.
les comparant avec (2) et (i), qu'eUes conduiront à A' = A, B' = B, comme on devait s'y attendre, puisque les plans (P) et (P') sont nécessairement parallèles : quant à la valeur de D', elle se tirera de (6),
Cela posé, abaissons de l'origine deux perpendiculaires â et ^'sur ces plans parallèles^ elles seront exprimées (n** SO) par
et leur différence â' — (î ou cî — â' mesurera l'intervalle des deux plans, ou bien la plus courte distance c^'' des droites proposées ; donc , en substituant ici les valeurs de . D et DV tirées de (3) et (6), puis celles de A et B, il viendra
63. U est essentiel d'observer que, pour obtenir la véritable grandeur de à" dans tous les cas , il faut d'abord garder les numérateurs D et D' avec les signes qui les affecteront, puis prendre toujours leur différence anal^j^tique. En effet, comme les deux plans (P) et (P') coupent l'axe OZ à des distances z z=: — D, z = — D', si les termes D et D' sont de même signe , ces plans parallèles se trouveront d'un même côté par rapport à l'origine des axesj^t, dans ce cas, leur distance est bien égale à la différence des grandeurs absolues des perpendiculaires S' et cî, c'est-à-dire qu'elle sera donnée par
±(D^-~D) Au contraire, lorsque D et D' sont de signes opposés,
PF,S PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. ^Q
l'origine des coordonnées est située entre les deux plans , et alors la véritable distance d" se trouve la somme des valeurs absolues des perpendiculaires c?, â'\ maïs cette somme équivaut encore à la diflFérence analytique
Donc, dans tous les cas, la règle énoncée ci-dessus est juste ^ et seulement, dans la valeur définitive de d"j il faudra rendre le résultat positif', en donnant au radical le même signe qu'aura le numérateur.
64. On peut, dans la formule (7), introduire Tangle 6 que font entre elles les deux droites proposées, et les angles «, 6, y, a', 6', y', qu'elles forment avec les axes. En effet, d'après la dernière formule du n*^ 32, la valeur de cî" peut être écrite ainsi
et si l'on y substitue les valeurs trouvées n** 30,
cosa , cosê ^ cosa' ,, cosS'
«= , ft = , a'=z ,y b'r= -,
