COS7 COS7 COS7 COS
on obtiendra
,jjv j,„ (p^p') (cosScos/ — cos6'co«y)-h(^— 7')(co8y cosa'— cos/cosa)
65. Quant à la seconde partie du problème , laquelle consiste à trouver la position de la ligne (L") sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites proposées, il suffit de remarquer que cette ligne (L"), devant être (G. D. n** 47) perpendiculaire en même temps à (L) età (L'), sera donnée par Finterseclion de deux plans (P")
et (P*") menés l'un par (L), l'autre par (L'), et tous les deux perpendiculaires à (P). Or, ces nouveaux plans seront déterminés par les équations
A'"A-h B'"B -f- I = o, ATa'-^ -h^'b' -+-1=0, A'y+ Wq' 4-D'"=o.
Donc la droite cherchée (L") se trouvera représentée analytiquement par le système des équations (P") et (P*'), prises simultanément, lesquelles deviennent, après le calcul des coefficients ,
(jjc^p) [fl— a'-f"6 {ah'— a'b)] -^{y—q) [b — b'-^-a {a'b-^ab')]
(x— //) [fl'— û+^ffl'^— aA')]+( j— ^') \b'^b-\-a'{ab'^a'b)\ = z [a' {a' --a) -j- b' {b'—b)\
66. Remarquons , en terminant , que si les deux droites (L) et (L') se coupaient, le numérateur de la formule (7) deviendrait nul, d'après la condition (5) du n^ 25, et alors on trouverait 5" = o, ce à quoi l'on devait s'attendre; mais si ces droites étaient parallèles, on aurait à" = \^ quoique leur distance soit partout constante. Ce dernier résultat tient à ce que les plans (P) et (P') deviennent alors indéterminés, comme on peut s'en convaincre en remontant aux conditions qui avaient servi à les définir, ou bien en remarquant que les équations (i) et (2) du n^ 62 se réduisent à une seule. Cependant, pour appliquer à ce cas la même marche, il suffirait d'exprimer que les plans (P) et (P') sont menés perpendiculaires au plan qui contiendrait les deux lignes parallèles; mais il sera bien plus court de chercher la perpendiculaire abais-
DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. 5l
séed'un point de (L') sur (L). Prenons, en effet, pour ce point la trace qui est donnée par z=o^ x=p\ y=zq\ et la formule du n° 51 fournira, pour la distance des deux droites parallèles ,
ou bien
résultat qui est facile à vérifier ou à obtenir directement, au moyen d^un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait la distance des traces des deux droites proposées.
Transformation des Coordonnées, et tliéorèmes sur les Projections des droites et des surf aces planes .
FiG. q ^^ Lorsiju'iine droite finie AB et une droite indéfinie OX se trouvent ou non dans un même plan , et que , des extrémités de la première , on abaisse sur l'autre des perpendiculaires AA' et BB' qui , en général , ne seront point parallèles, la partie interceptée A'B' se nomme la projection de AB, et ces deux droites ont entre elles une relation remarquable. En eflFet, si, par le point B, on conçoit un plan MBB' perpendiculaire à OX , et que l'on mène jusqu'à ce plan la ligne AC parallèle à OX, le triangle ACB sera rectangle en C, et l'angle BAC = a sera ce qu'on appelle l'angle de AB avec OX. Or, ce triangle donne AC = AB . cos a , ou bien A' B' = AB . cos a : ainsi la projection d^iine droite sur une autre est égale à la droite primitii^e multipliée par le cosinus de V angle AIGU qu^ elles font entre elles k
68. Le même théorème subsiste pour une surface plane projetée sur un plan quelconque \ mais commençons par Fie. 10. considérer un triangle ACB dont un des côtés BC est parallèle au plan sur lequel on veut projeter la figure : alors on pourra évidemment supposer que ce plan de projection passe par le côté BC lui-même, et représenter par A'BC la projection du triangle primitif. Cela posé, menons par la ligne AA' un plan sécant perpendiculaire à BC; il coupera les deux triangles suivant des droites AH et A' H
TRANSFORMATION DES COORDONNEES, etC. 53
qui en seront les hauteurs^ et qui comprendront entre eBes un angle a égal à celui que forment les plans de ces triangles. Or, on a évidemment
ABC : A'BC :: ah : a'h :: i : cosa;
d'où Ton conclut
A'BC = ABCXcosût,
Si le triangle ABC n*a aucun de ses côtés parallèles au fiq. u. plan de projection, concevez ce plan mené par Tangle inférieur B, et soit A'BC la projection de ABC. En prolongeant les lignes jusqu'à la rencontre du plan, vous formerez deux triangles ADB et CDB, pour lesquels le théorème est démontré *, ainsi vous aurez
A'DB = ADB X cosia, C'DB=: CDB X cosa;
donc, en soustrayant membre à membre, il viendra
encore
A'C'B = ACBXcos*.
69, Maintenant, soient P un polygone ^/a/i^ et P' sa projection sur un plan fixe. Si l'on décompose le premier en triangles Ti, T„ Ts, ... dont les projections soient T'i, T'„ T's? . . . 5 ^c polygone P sera la somme des uns , et P' la somme des autres^ mais on aura, pour chacun de ces triangles,
T J = Ti cos a , T j = Tj cos a ... ;
donc , en ajoutant membre à membre , il viendra
P' == Pcosa,
formule qui démontre que la projection d'une aire plane sur un plan quelconque est égale à taire primitive multipliée par le cosinus de F angle aigu que forment entre eux les deux plans.
70* Il est d'ailleurs facile d'étendre, pétr la méthode des Imites, la mèine proposition au cas d'une tdre plane S terminée par une ligne courbe ou mixte; car, en y inscrivant un polygone P , et désignant par S' et P' les pro- , jections de ces deux surfaces sur le plan fixe, on voit bien qu'à mesure qu'on multipliera les côtés du polygone , les deux quantités constantes S' et S. cos a seront les limites des deux quantités variables P' et P. cos « ^ or, ces dernières étant toujours égales entre elles d'après la formule précédente , on en conclut que leurs limites sont aussi égales, c'est-à-dire que S'=S. cos a.
Ainsi un cercle dont le rayon égale a, étant pro^ jeté sur un plan, donnera une ellipse dont l'aire sera E:=7r a*, cos a; mais il est évident que les deux demiaxes de cette ellipse seront a et b = a cos a ; donc l'aire deviendrai E = tt ai : résultat conforme à ce que l'on sait d'ailleurs.
71. Si l'on projette la surface plane P sur trois plans rectangulaires , avec lesquels elle forme des angles désignés par a, 6, y, on aura, pour les trois projections F, P", P* de cette surface ,
P'=:Pcosa, P'' = Pcos6, P'" = Pcos7;
puis, en faisant la somme des carrés,. et en se rappelant (n** 56) que cos * a -f- cos* 6 H- cos* y = i , il viendra cette relation très-remarquable
p'a 4 p''2 -4 p'^î ::=: pj^
72. Occupons-nous maintenant de la transformation des coordonnées rectilîgnes, et supposons qu'il s'agisse
Fie. la. ^® passer d^un système d'axes rectangulaires OX, OY, OZ, 4 un système d'axes obliques OX', OY', OZ', qui ont la même origine que les premiers. Si d'un point quelconque M de l'espace, nous menons les droites MP,
TRANSFORMATION DES COORDONNEES, etC. 55
MP', respectivement parallèles à OZ, OZ', et terminées aux points P, P', où elles rencontrent l'une le ^an XY, Fautre le plan X' Y'; puis, si de ces pieds nous tirons PQ , P'Q', parallèles à OY, OY', nous aurons pour les coordonnées de M dans les deux systèmes ,
X =0Q, X =PQ> « =MP, jc' = OQ', j' = P'Q', z' = MP',
et la question consistera à trouver les valeurs des une« en fonction des autres. Pour cela , projetons la ligne brisée x'+jr'+z' sur l'axe OX, en abaissant de chacun de ses angles les perpendiculaires Q 'G 5 P'H, MQ: cette dernière étant nécessairement dans le plan MPQ , aboutira précisément & l'extrémité de l'abscisse a:=:OQ, et l'on aura ainsi
(i) X = OQ = OG H- GH -4- HQ;
mais par le théorème du n? 67 , on obtient
OG=^'cos(x',^), GH = ^'cos(7', x), HQ= «'008(2', jp),
en désignant toujours par ces notations et autres semblar bles^ les angles compris entre deux derm^axes positifs. Donc 9 en substituant, il viendra
(2) X = ,t' cos (x', x) -h jr ' cos ( / ', x) H- »' cos («', x),
A la vérité, la construction parait supposer que les axes OX', OY', OZ', forment tous des angles aigus avec OX; cependant 9 si l'un d'entre eux, par exemple OY', formait un angle obtus, alors dans la figure, que l'on construira aisément, le point H tomberait à gauche de G, et l'on aurait, au lieu de (i), cette équation
(3) x = OG — GH + HQ,
avec laquelle s'accorde encore l'équation générale (2), puis-
que, d'après l'hypothèse Y'OX > go**, le terme y cos {j'^x) sera aussi négatif, et toujours égal numériquement à la projection GH de l'ordonnée P'Q'=j^'.
D'un autre coté, si, en laissant l'angle Y' OX aigu, il arrivait que le point M eut son ordonnée y' négative, le point H tomberait aussi à gauche de G , et l'équation (3) remplacerait encore Téquation (i); ce qui prouve que, pour rendre la formule (2) applicable à tous les cas., il faut tenir compte des signes des coordonnées et des signes des cosinus j en rapportant toujours ces cosinus aux angles compris entre les demi-axes positifs. D'ailleurs, en projetant la même ligne brisée x'+y'-i- z ' sur OY et sur OZ , on aurait nécessairement des résultats semblables : donc on peut dire que chaque coordonnée rectangulaire est égale à la somme algébrique des projections des trois noux^elles coordonnées sur chacun des anciens axes , et poser les trois formules générales qui suivent :
Îx = x' C08 (x', x) -h r ' C08 ( j^ ', x) -H «' C08 («', x) = ox' -^hy* -^ cz'y J^=x'cO8(x',J')-hr'C08(r',r)-H«'c0Sv«',r) = «'^' -^^'y' -^C'z'y z = x' C08 (x', e) -+-r ' C08 (> ', «) H- z' C06 (V, m) = a V -+- 6«y ' -f- c"*' .
Toutefois il* faut bien remarquer que les neuf constantes qui entrent dans ces formules ne peuvent pas toutes recevoir des valeurs arbitraires. En effet, a, a, a", par exemple , désignant les cosinus des angles que forme une même droite OX' avec trois axes rectangulaires OX, O Y, OZ , doivent être soumis à la condition citée n*^ 31 : il en arrive autant pour t, b\ b'\ et pour c, c', c"-^ par conséquent il faudra toujours joindre aux formules (4) les trois relations suivantes :
ce qui ne laissera que six constantes dont on puisse disposer arbitrairement.
TBANSFORMAtlON DES GOORUONHiEES , CtC. 5']
73. Passer d^un système d^ axes rectangulaires à un autre système d^axes aussi rectangulaires? Il suffira d'employer les formules précédentes (4) et (5), en y joignant de nouvelles conditions propres à exprimer que les axes OX', OY', OZ' sont aussi perpendiculaires entre eux» Or, d'après la formule (12) du n^ 34, on a dans tous les cas,
cos(j:', x') =co8(^', j:)cos(/'>j?)4-cos(4?', r)cos(/', /)
