cos(x', z) cos(^', z

cos (x'y z') = ac -f-û V -f-fl"c", • cos(r' z') =:bc-h yc' -\-b"c\

Donc, pour exprimer que les angles des nouveaux axes sont droits, il est nécessaire et suffisant de poser les conditions

ab-^a^y-ha^b'' = 0,

(6) { ac -^a'c' -f-fl"c" = o,

bc ^b'c' -J^b"c" =0;

de sorte que la solution du problème actuel est fournie par les formules (4) , (5) et (6) ; mais, comme cela établit six relations entre les neuf constantes, il n'en restera plus que TROIS dont on puisse disposer arbitrairement pour modifier Téquation d'une surface donnée, tant que les axes resteront perpendiculaires entre eux.

74. Dans le cas de deux systèmes rectangulaires, on a quelquefois besoin de résoudre les formules (4) par rapport à x\y\ z*\ il suffit pour cela de les ajouter, i** après avoir multiplié la première par a , la deuxième par a', et la troisième par a"; tP après les avoir multipliées respectivement par i, h\ h"\ 3^ par c, c\ c": car ces trois opérations

58 GILàPlTILX IV.

donnent, en ayant égard aux relations (5) et (6), les formules .

ex -f- c'y H- c^z = z'.

On pourrait d'ailleurs établir directement ces formules, en regardant j:',j^', z' comme les coordonnées ^rîm/fzVei^ rectangulaires, et en se rappelant que chacune d'elles est (n^ 72) égale à la somme algébrique des projections des trois coordonnées a:, j^, z, sur les divers axes OX', OY', OZ'. Sous ce point de viie, on aperçoit qu'il doit exister entre les constantes les six relations

(8) a* -hfc» -i-c*=i, a'» -4-fc'»-*-c'» = i, a"* -4-A - -hc" = i

(9) aa'-hhy'i-cc' = o, aa" -h bb" -i- ce" = o , a'a" -4- fc'*" + cV = o,

que l'on doit regarder comnM& entièrement équival^ites aux conditions (5) et (6)5 car les unes ou les autres ne font qu'exprimer, dans un ordre différent, que les six angles XO Y, XOZ, YOZ, X'OY', X'OZ', Y'OZ', sont tous droits.

7S. Les équations (7), relatives à deux systèmes d'axes rectangulaires, manifestent une propriété remarquable que présente la projection d'une droite sur une autre droite. En effet, on doit voir, comme au n^ 72, que le rayon vecteur OM (^fig* 12), projeté perpendiculairement sur OX' considéré comme une ligne quelconque , se réduit à la coordonnée OQ^=x': mais les projectiotis de ce même rayon vecteur sur les trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, sont respectivement (n^ 72) les coordonnées x, /, ^^ et puisque l'on a par la première de& équations (7),

x' = xcos(.r, x') -h y cos(/, j:')-f-zcos(z, x'),

TBANSFORMATION DES COOKI>OMN£E9, etC. 59

il en résulte que, pour projeter une droite OM = r sur une droite quelconque OX', on peut d^ abord projeter r sur trois axes rectangulaires y puis projeter de nouv^eau ces premières projections sur OX', et ensuite faire la somme analytique des résultats. C'est d'ailleurs ce à quoi Ton arrive directement , en remarquant que la projection cherchée est égale à r. cos (r, x')^ ou bien | d'après la formule (la) du 1qP 34, égale à

r [cos (r', x) COB («', af)H-eo« (r,r) CM («', j) H- co« (r, «) cos (*', «)] :

or les produits r cos (r, x), r cos (r,y), r cos (r, je) ne sont autre chose que les projections de r sur les trois axes rectangulaires; et ces produits, se trouvant multipliés par les seconds cosinus, deviennent bien les projections sur OX' des trois premières projections.

76. Il nous sera facile maintenant d'exprimer la distance de deux points en fonction de leurs coordonnées obliques. Commençons par ]a distance OM de l'origine des axes à un point M {fig> 12), dont les coordonnées rectangulaires sont Xy jfj z ^ et les coordonnées obliques x\ y\ z' . Nous aurons d'abord (n° 6)

OM = X* 4- r' -^ *^

mais si Ton y substitue les valeurs de or, y, i?, données par les équations (4) , et qu'on se rappelle (n® 73) que , pour des axes quelconques, on a toujours

fli-t-«'6' + û"i" = cos(a:', ^'},

ac -h a'c' -h a"c" =t cos(x', a'),

hc -f- h'c' 4- h"c" = cos( j', z'\ il viendra

(10) OM = x'^ -H j'' -+- z*^ -4- ix'y^ co%{x\y')

+ 2x'«'cos{ar',z')-h3/'z'cos(>'',«').

60 CHAPIT&E IV.

77. Observons ici que le rayon vecteur OM est la diagonale d'un parallélipipède oblique j qui aurait pour arêtes contiguës x\ y\ z*-^ par conséquent, la formule (10) fait connaître la longueur de la diagonale d'un tel solide , en fonction des arêtes et des angles compris entre ces dernières.

78. A présent, soient M' et M" deux points dont les coordonnées obliques seraient x\ y\ z\ et x"^ y'\ z". Si, par les deux points donnés, on menait six plans respectivement parallèles aux plans coordonnés obliques , on formerait évidemment un parallélipipède dont la droite M' M'' serait la diagonale , et dont les trois arêtes contiguës égaleraient x' — x*', y — y\ z' — z" . Par conséquent, d'après la remarque du n^ 77 et la formule (10) , on aura pour la distance demandée ,

-f-2(x'^x")(j^'-j")cos(a:', r') H-2(^' — x")(z' — 2")cos(x', z') '

FiG. 16. 79. Les formules propres à passer d^un système oblique à un autre système aussi oblique ^ sont très-rarement employées , à cause de leiu'complicsttion ] cependant, pour compléter cette théorie , nous allons donner un moyen d'y parvenir , en n'employant que des projections orthogonales. Soit M {fig* 16) un point de l'espace qui , rapporté tour à tour à deux systèmes d'axes obliques OX, OY, OZ, et OX', OY', OZ', ait pour coordonnées

a =MP, jr =PQ, x =0Q, z' = MP', 7'==P'Q', x'=:OQ'.

Par l'origine commune O , élevons perpendiculairement

TRANSFORMATION DES COORDONNEES, etC . 6l

au plan XY une normale ON dirigée du même côté de ce plan que le demi-^xe positif OZ, et projetons sur cette normale la ligne brisée x+y+'Z : cette projection se réduira à celle de MP = z, parce que les deux autres coordonnées sont dans le plan XY perpendiculaire à ON ; ainsi l'on aura (n° 67)

ON = z cos(N, z).

Maintenant, si nous projetons sur la même normale la ligne brisée x'4-J''+'^' qui a les mêmes extrémités que la précédente , nous aurons encore

ON = OG -f- GH 4- HN

= ar'cos(N, x') 4-r'cos(N, /') -J- «' cos(N, z'J,

formule qui conviendra à toutes les situations, pourvu qulon y tienne compte , ainsi que nous Tavons montré au n^ 72, des signes des coordonnées et de ceux des cosinus des angles compris entre les denu-^ixes positifs et la normale ON dirigée comme il a été prescrit plus haut. Cela posé , en égalant les deux valeurs précédentes de ON , on obtiendra l'expression de z en fonction des trois nouvelles coordonnées : mais si l'on élève aussi deux autres normales ON', ON'', respectivement perpendiculaires aux plans XZ , YZ , et dirigées du même côté que les demiaxes positifs OY, OX ; puis, si l'on projette encore sur ces nouvelles normales, les deux lignes brisées x + y '+- z et x' + ^'+i?', on obtiendra évidemment des résultats semblables aux précédents , lesquels fourniront enfin pour les formules demandées ,

( ^cosjN, «) =x' cob(N, jr') -h^'cos (N,r')-^-^' C08(N, ^),

(il) ; rco8(N',r) =x'co8(N', r')-4-r'cos(N',r')-4-«'co8(N', «0»

[ xcobÇS^x) =a:'co9(N^a:')-Hr'cos(N^^')-f-^'cos(N^5'^