Les angles qui entrent dans ces équations suppo
62 CHAPITRS IV.
sent Tintroduction de normales auxiliaires , distinctes des axes anciens et nouveaux ; mais on pourrait y stibstituer des angles formés par les données immédiates de la question, en observant que
cos(N,z)=: sin(z,j:/), cos(N,ar')= sin («a?',^^),
Toutefois cela aurait l'inconvénient d'exiger l'emploi d'angles négatifs dans les seconds membres ^ car on apercevra aisément que le fajcteur sin (x^xjr)^ par exemple, devrait être ajQecté du signe moins, si le demi--axe positif OX' tombait du côté opposé à OZ par rapport au plan XY. Ainsi il faut mieux garder les formules sous la forme (i i), parce que , les angles n'y pouvant varier^que de o à i8o°, les cosinus prendront d'eux-mêmes les signes convenables.
Observons enfin qu'en supposant rectangulaires les axes primitifs OX, OY, OZ, les trois normales ON", ON', ON viendront coïncider avec ces axes, et les formules (i i) feront retomber alors sur les équations (4) du n^72.
81. Dans toutes les transformations de coordonnées qui précèdent, nous avons supposé que l'origine restait invariable. Or, si , en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on transportait seulement l'origine du point O à un autre point O' dont les coordonnées relatives à O fussent désignées par a , S , y , il est clair qu'il faudrait employer les formules
d'où il résulte évidemment que, pour passer d'un système d'axesOX, OY,OZ, à un autresystème O'X', O'Y', O'Z', dont la direction et l'origine sont différentes , il suffira d'ajouter aux valeurs de x, y, z trouvées pour les divers cas précédents , les coordonnées a , 6 , y de la nouvelle origine O', comptées parallèlement aux anciens axes.
THAliSFOEMATION DIS COORDONNÉES, etC. 63
82. Il importe d'observer que quand on emploiera un des systèmes de formules qui précèdent, pour rapporter Téquation d'une surface F(x,j^, z) = oàde nouveaux axes, l'équation transformée F'(j:',y ,«') = o sera toujours du même degré n que^Ia première; et l'on sait que l'oi^ entend par degré d'une équation, la plus haute somme des exposants des trois variables dans un même terme. En effet, dans tous ces systèmes, les valeurs de Xj
j-, ^, étant linéaires par rapport à x\y\ z\ une quantité telle que x^ deviendra (ax' -\^by + cz' + ayj dont les termes sont au plus de la dimension ;i ; et un produit xf^. yf. ^''donnera des termes x^\y*f\ z'\ dans lesquels p'^q'^r' égalera au plus le degré p^^q+r: donc, d'abord , le degré n' de l'équation F' (x\y\ z') ne pourra jamais surpasser n.
D'un autre côté, on ne saurait prétendre que, par des réductions de termes, le degré n' soit devenu moindre que n. Car, en substituant dans F' (x'^y\ «') = o les valeurs de x\y\ z\ tirées des formules qu'on aurait employées pour la première transformation , valeurs qui seront encore évidemment linéaires j on doit toujours retomber identiquement sur F (x , / , z ) = o ; or , cela exigerait que le degré n' pût s'élever jusqu'à n par une transformation de coordonnées, ce quiVient d'être démontré impossible ; par conséquent, le degré n' restera toujours égal à n.
C'est ainsi que, comme nous Tavons vu n* 38, l'équation du plan est toujours du premier degré, soit que les axes se trouvent rectangulaires ou obliques.
83. Toute section faite dans une surface F (x, y , z) = o du degré n^ par un plan quelconque, est une courbe du degré n au plus.
En effet, concevez que cette surface soit rapportée à d'autres axes, dont deux, OX' et OY', soient situés dans
64 CHAPITKR IV.
le plan sécant: alors son équation T?(x' y j'^ z^) = o sera encore (n** 82) du degré n ; et comme il suffira évidemment d'y poser 5î'=o, pour obtenir la section demandée, le résultat ne pourra être d'un degré supérieur à «. Seulement ce degré sera moindre , si l'hypothèse ;s'=o anéantit tous les termes de l'ordre le plus élevé.
84. Pour connaître cette section en vraie grandeur, ce qui est utile dans la discussion des surfaces , il ne suffirait pas de combiner F (x^ y^ z)=zo avec l'équation du plan sécant Aa:+Bj^+Cz+D=o, en éliminant la variable z, par exemple •, parce que le résultat f(x^y) = o représenterait seulement la projection de la courbe demandée , projection qui n'est pas ordinairement identique avec la section dans l'espace : mais il faut effectuer une transformation de coordonnées équivalente à la marche indiquée n^ 83 9 et pour laquelle nous allons donner des formules directes, après avoir déterminé » i^ l'angle (f que forme avec OX la trace du plan sécant sur le plan XY; 2^ l'angle B qui exprime l'inclinaison du plan sécant sur je même plan XY. Or, la trace en question étant
Ax -h Br -h D = o, on aura tang«p = — :^ ;
et par les formules du n** 56 , on sait que
ces 6 = —
j^ic. i5. 85. Cela posé, soient OX, OY, OZ les axes rectangulaires auxquels est rapportée la surface F(a:,j^, ^) = o; OAB le plan sécant que nous supposons passer par l'origine, et OX' sa trace sur le plan XY. Menons dans ce plan sécant une droite OY' perpendiculaire sur OX', et cherchons à rapporter à ces deux derniers axes la section
TRANSFORMATION DBS GOORDONNiES, etC. 65
faite par le plan OAB dans la surfaoe. Or, pour un point M de cette section, on a en même temps
MP=raj, PQ = r, oq = x, MR=^', 0R=:«';
puis, si nous tirons la droite RP, elle sera évidemment perpendiculaire sur OX', et parallèle à la projection orthogonale 0^ de OT' sur le plan XY; de sorte que rincUnaison du plan sécant sera mesurée par Tangle MRP = Y'OY'=e. Alprs le triangle recUngle MRP donnera ,
MP = « rsj'sinô,
PR =^" = ^'cosÔ;
mais en considérant le point P, projection de M, comme rapporté tour à tour aux deux systèmes de coordonnées rectangulaires x=OQj jr^l?Q, etj:'=OR, j^''=PK, ou aura entre ces coordonnées les relations connues
X = x' cosf -H x'^ *inf ,
ce sont les formules ordinaires pour la transformation des coordonnées rectangulaires dans un plan \ seulement nous avons changé le signe dejr" partout, attendu que, dans la figure actuelle, les^" positifs se projettent sur les jr n^atifs^ Donc, en substituant ici la valeur précédente de j-*, on obtiendra enfin pour les coordonnées d'un point commun à la surface et au jdatai OAB , les expressions
X =x' coSf 4- x' cosO.sin y, (la) ' ^ j^ = x'sinç — j' cosO.cosf , z = j^'sin©.
i oe8fonttuléii,8ubMituéesdansF(jr, j, ^)::=ro,don*
connue (*)
(i5) cosa=: cos sin6sin7 4-cos€cosY»
Or, ici, on a A = ô, a = XOX', 6=y, y = ^, par conséquent réquation (i S) devient
a = ces XOX' = 008 G sin (p sio 4^ -H cos^ cos>|^.
La même sphère serait coupée par Tangle trièdre ONXY' suivant un triangle ABD où Ton aurait A =6, a = XOY', 6 = ^+90®, y = <p; donc, en substituant dans (i5), ou bien q^ remplaçant seulement 9 par 90^+9 dans la va-*
(*) Nous démonlveroBS au chapitre XYIII cette formvle que noua employons ici pour abréger; car on pourrait arriTer aux Taleurs de x, ^, 5, en fonction de x', y ', e% par une succession de systèmes rectangulaires qui, ayant deux à deux un axe commun, n^exlgeraient que remploi des fiovmules (i4) relatives à la trausformatioa des coordonnées dans un pian. FiG. i3. Ep efltet, si Ton regarde la droite ON comme un axe auxiliaire OX'', et que Ton en imagine deux autres OY" et OY*' qui soient les intersections des plans XY et X'Y' avec le plan ZOZ', on passera du système primitif OX, OY, OZ, au sTBtèmeOX', OY'', OZ, par les formules
X = x" cos tff-hjr" sin tff, yzss.y" cos ^ — • x '' sin ^ ;
puis, du système OX^, OY'', OZ, on passera au système OX'^, OY'^, 0Z% par les relations analogues
^"=:jr'»C08d-+-«' Siu d,
z ■=. t* COS d —r*' sin 5;
enfin , on passera du système OX'', OY"', OZ' au système OX', OY', OZ', par le moyen des équations
x" =x'co8 97 — j^'sinç, ^'^ =: j' ' cos y -♦- X ' sin y ;
et ai Ton substitue ces diverses valeurs dans les précédentes, on trouvera pour expressions des coordonnées x, j", 5, en fonction de x', ^', «'et des angles 0, f, ^, les formules (16} citées dans le texte.
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES, etC. 69
leur de a , il viendra
b = cos XOY' == cosO cos ^ sin 4^ — sin ^ co$ >|*.
Dç même, l'angle trièdre ONXZ' fournira un triangle sphérique ABE oà Ton aura A =90® — 6, a=:XOZ', 6=90**, y=^^tlonela formule (i 5) donnera
,c ;= cosXÛZ' = sin 6 sin >|i.
Maintenant si , dans les Valeurs de a , £ , c , on remplacé tp par 9o^+<p9 Taxe OX deviendra OT, et il en résultera* immédiatement
a' z^ cos YOX' = cos 9 sin f cos ^ — oosy sin >|/, b' = cosYOY' = COS0 cos^ cos^» -h sin^ cost|/, c' == cosYOZ' = sin Ô cos 4».
Enfin, si Ton considère' Tangle trièdre ONZX', il cou-' pera la sphère suivant un triangle sphérique ACP, où Ton aura
A = 90^4-Ô, otprZOX', 6 = AC=;:<p, ^ = AF = 90»^ donc la formule (i 5) donnera
a" = cosZQX' = — sine sin^ ; et en remplaçant ici 9 par 90** 4-99 on en déduira
b" =z cosZOY^ = — sine cos<p-,
d'ailleurs, on a évidemment
c" = cos ZOZ' = cos e.
Voilà donc, en fonction des trois angles 9, 9, (j/, les valeurs des neuf coefficients qui entrent dans les formules (4)
fJO CHAPITRE IV.
du n^ 72 ^ et en les y substituant , ces fontuiliés deviendront
x^z^.x' (cosOsinf SiiBit' + co^f eosil') 4-7'(cosôcosf sin^l» — sin^ cos>|/) •4^ V sînO 9Ui>|P|
(16) ( j' = <2r'(ciOSd|fo(p€0«>p*^bO8f 811144
H-z' sinOcostpy z =r — x' rifi9 sin f — y* sin4f cos f -f- z ' cos ô.
l*iG. i-j. 90l ÛMianoiurÉjBS poLiiKBs. On peut enoot« fixer ta p06it£oD.d^un point M de T^espace, au moyen des trois va^ riables suivantes : i** le rayon vecteur OMoisr^ 2^ Tangle Z0M=9 formé par ce rayon avec Taxe positif OZ^ 3° Fangle POX=:c«> que forme le -^hn méridien ZOM avec le plan fixe ZOX. De ces deux angles, le premier 9, qui est compris entre deux droites prolongées d^un seul côté du pôle 0| pq variera que çle o à i^o^'^^.taiidis que le second c») deyr;a varier de q à .360^, pciar que 1^ myon vecteur OM puisse atteindre tous les points de Tespace. Maintenant , si Ton veut exprimer en fonction de r , d , a> , les coordonnées rectangulaires MP = z, PQ =; y, OQ = x^ on observera que les triangles rectangles MO P et PO Q donnent
x = OPcosoa, jr =r OPsinto, OP=rrsinô, zr^rcosô;
d'où l'on conélut
(l'y) ^ = rsin9co6w, • ^ = rsift6ttiiw, z:=:rcosO.
91. Nous avons déjà trouva (pP^) poujr les vaJeurs de ces coordonnées en fonction du rayon vecteur r et des trois angles a , 6 , y , (ju'il forme avec les axes rectangulaires. le« relations
(18) ' '• .r ±r rcosw, r=rrcosâ, zs^rcoey;
TRANSFORMATION BAS COORDONNÉES, etC. Jf
ainsi, en comparant les formules (17) et (18), on pourra exprimer de la manière suîyante les trois angles a, 6, y, en fonction de co et d :
(19) cosa = sind cosu,* cos6 =r sind sin», 7 = 0.
Ces relations sont quelquefois nécessaires à employer dans la Mécanique, et elles s^accordent bien d'aîUeors avec Téquation de condition
cos' a 4- 008*6 -h cos* 7=1,
qui doi t toujours subsister (n^ 31) entre <z , 6 et y .
7> GHAPITftB V.
' ■ '»■ ■ H l' j i ■ . ■ . > I I . < n I > 1 1 1 ■ I I î I ■ I II I I 1 l ' i II ■ I » > t * "^
Du centre dans les surfaces queleonaues^ et spécialement dans. les si^Jaçefi duseçofid de^é.
Fus. ,^. 92. On appelle centre d'une surface quelconque uin point O tel que toutes les cordes MOM', NON', menées par ce point , y sont divisées chacune en deux parties égales. Il faut cependant ajouter que si la droite OM coupait la surface en plus de deux points , il suffirait que ceux-ci , combinés dans un certain ordre , se trouvassent deux à deux à égale distance de O. Cela posé , si Ton conçoit quelia surface soit rapportée à trois axes rectangulaires ou obliques, mais dont V origine soit au centre O, et que Ton mène parallèlement à OZ les ordonnées MP et M'P' des extrémités d'une corde, on verra aisément, par les triangles égaux MOP, M'OP', que ces coordonnées sont égales et de signes contraires. H en sera évidemment de même pour les x et pour les y des points M , M', et aussi pour toute autre corde passant par le centre : d'où il suit que sif(x ^y^ z) = o représente l'équation de la surface rapportée au centre comme origine, cette équation devra se trouver vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs, tels que
Par conséquent , il faut que V équation f {x^ j , ^ ) = o
