EP

laquelle exprime que la distance du point (^1, /i, Zt ) à chaque point de la surface, est une quantité constante.

198. Lorsque deux des coefficients P et P' sont égaux et en même temps nuls, on sait (n? 115) que la surface est un cylindre parabolique. On retrouve alors , comme au n° 120 , un système de cordes principales parallèles à OZ , avec un plan principal correspondant, savoir :

puis un nombre infini de cordes principales , parallèles à XT, et indéterminées dans leur direction ; mais les plans conjugués de ces systèmes , représentés par l'équation (28), semblent tous situés à l'infini. Cependant on en trouvera un situé à une dis^ tance finie , ou plutôt arbitraire , si l'on choisit a et 6 de manière que l'on ait

Qcosa -h Q'cosê = o;

ce qui suppose que l'on prend des cordes parallèles aux génératrices du cylindre, et le plan principal (28) devient alors celui de la section droite. On se rendra aisément compte de ces diverses circonstances, par des considérations géométriques, et l'on interprétera d'une manière analogue le cas de deux plans parallèles , lequel arriye-tjuand on suppose nuls P, P', Q et Q'. ISS. Il résulte des discussions précédentes, t^ que, dans toutes les surfaces du second ordre , les systèmes de cordes principales sont au nombre de trois , distincts et rectangulaires

PLANS DIAMÉTKAUX. 97

entre eux; ou bien leur nombre est infini ^ et l'un est alors perpendiculaire à tous les autres; excepté dans le cas de la sphère, où toutes les directions possibles donnent des cordes principales.

tP. Les plans principaux sont aussi au nombre de trois, ou bien i! y en a une infinité; mais, dans tous les cas, deux au moins de ces plans sont à une distance finie.

Discussion des Surfaces douées d'un centre

424. Les surfaces de cette classe sont (n° H7) toutes renfermées dans Féquation

Par' -h Py -h P V == -4- H,

qui donne lieu à plusieurs genres, suivant les signes dont les coefficients se trouvent affectés *, mais pour abréger la discussion, sans omettre aucun cas réellement distinct, nous supposerons que Ton ait toujours eu soin, préalablement , de rendre positif le second membre H de l'équation proposée ; et comme alors les trois carrés ne sauraient avoir des coefficients négatifs à la fois sans que la surface ne fût imaginaire, il nous restera à examiner les trois genres renfermés dans les cas suivants.

125. Ellipsoïde. Trois carrés positif s . L'équation avec FiG. 18. les signes explicites , conserve la forme

(i) ■ Px» -h py + PV = H ;

pour obtenir les points où la surface rencontre les axes coordonnés , on égalera à zéro deux des variables x , y, Zy et l'on trouvera six sommets réels A et A', B et-B', C etC, situés aux distances

DISCUSSION DES SUHEACES DOUÉES d'uN CENTRE. qq

Ces distanxîes OA:=a, OB=i , OC = c, se nommeat ks demi-^axes ou demi-diamètres principaux (n^ 104) de la surface^ car chacune de ces droites est l'intersecaion de deux plan^ coordounés qui sont ici des plans prmci-^ poux (n« H7). Si d'ailleurs on introduit ces axes dans réquaiîon (i), en y substituant les valeurs deP, P' P'' tirées des relations précédentes , cette équation prendra la forme trèe-syjmétrique

^ 126. Les sections faites p^r les plans coordonné» s obtiennent en posant tour à tour a:: = o,j=:o,z=:o-et ce sont évidemment des ellipses faciles à construire. Quant aux sections parallèles au plan XY, elles seront données par les équations simultanées

et l'on voit que ce sont toujours des ellipses semblables^ puisque leurs axes qui s'obtiennent en posant tour à tour x=o, jr= o , dans la dernière équation , conservent entre eux un rapport constant, quel que soit h. Ces ellipses deviennent imaginaires quand A'>c*- ainsi la surface ne s'étend pas au-dessus du point C ni au-dessous du point C. On obtiendra des conséquences semblables pour les sections parallèles au plan XZ, ou au plan YZ- et généralement , tout plan quelconque donne une section elliptique, puisque l'équation

z=zmx~\-ny' ^ k^

combinée avec (i), conduite

(P^P'W)x^H-(P'4-P'V)j»-+-2P''/w/i:pj-h... = o,

lOO CHAPITRK VII.

résultat où la conditioa B' — 4 AC<C o se trouve maDife^tement remplie. L'ellipsoïde est donc une surface fermée dans tous les sens.

127. Lorsque deux quelconques^ des coefficients sont égaux, par exemple P = P' ou a=by rellipsoïde est de réi^olution autour de Taxe des z 5 car les sections trouvées (n*^ 126) , pour des plans perpendiculaires à cet axe , tels que z = A, deviennent alors des cercles dont les centrés sont sur OZ. Ainsi , dans ce cas, la surface pourrait être engendrée par la révolution de l'ellipse CAC^ autour de son axe CC

128. Si Ton suppose P= F= P", ou a = J = c , l'ellipsoïde se change en une sphère , puisque l'équation (2) devient

j;2 | jJ | Z2 __ ^2^

laquelle exprin^e que la distance de l'origine à un point quelconque de la surface est constamment égale à a,

A cette occasion , nous ferons observer qu'une sphère du rayon R , et dont le centre serait placé au point qui a pour coordonnées a ^ ê^ y^ aurait pour équation

car le premier membre de cette équation exprime bien (n° 6) le carré de la distance du point (a , 6 , y) à un point quelconque (a:,^, -s) de la surface.

128. Htperboloïde a une nappe. Un seul carré néga-' tif L'équation générale , avec les signes explicites , devient

(3) Par' -f- Py — P "z^ — H ,

et les points où la surface rencontre les axes coordonnés,

mSGUSSiON DES SURFACES DOUEES d'oN CENTRE. lOl

seront fournis par

d'où l'on conclut qu'il y a ici quatre sommets réels A et Fie 19. A', B et B', et deux sommets imaginaires. Les distances OA=a, OB = by OC = c, sont encore nommées, par les mêmes raisons qu'au n** 125, les demi-diamètres principaux ou demi-^xes de la surface 5 mais les deux premiers sont dits les axes réels j et le troisième n'est que le coefficient de l'expression fournie par l'analyse pour Faxe imaginaire. En introduisant ces axes a , £ , c , à la place de P, P', P'', dans l'équation (3), elle prendra la forme

129. Les sections paraUëles au plan XY sont données par les équations simultanées

ainsi ces courbes sont des ellipses j toujours semblables y puisque les deux axes qui s'obtiendront en posant tour à tour ^==0 5 JC = o, dans l'équation précédente, conservent entre eux un rapport constant , quel que soit A. D'ailleurs les dimensions de ces ellipses augmentent indéfiniment avec la grandeur numérique de A ; de sorte que la plus petite de ces sections horizontales , nommée ellipse de gorge, s'obtiendra en posant z = o dans l'équation (4)9 c'est la courbe ABA'B', qui a pour diamètres principaux les deux axes réels a et i^ de l'hyperboloïde.

Quant au plan XZ, il coupe la surface suivant une hyperbole (EAF , E' A'F) dont l'équation se déduit de (4)

102 CHAPITRE Vil.

en y posant j^ = o -, et des résultats semblables ont lieu pour le plan YZ, ainsi que pour les plans parallèles à ceux-là.

1 30. On voit par là que cet hyperboloide s'étend indéfiniment, mais qu'il est composé d^une seule nappe continue, sur laquelle on peut passer d'un point quelconque à un autre, sans sortir de la surface. D'ailleurs la section faite par un plan quelconque

z = mx H- ny -\- k ,

peut être tour à tour une ellipse, une parabole ou une hyperbole , suivant l'inclinaison du plan sécant ; car celte équation combinée avec (3) , conduit à

(P — P''/w')jr='-h(P' — P'V)/^ — 2P''/?î/ia:7-h . . . =o,

résultat où le binôme caractéristique B^ — 4AC peut se trouver positif, nul ou négatif, suivant les valeurs de m et n,

131. Lorsque les deux axes réels sont égaux, c'est-àdire quand a = b^ ouP=P', l'hyperboloïde se trouve de réi^olution autour de l'axe imaginaire OZ , puisque les sections obtenues au n** 129, pour des plans z = A perpendiculaires à cet axe , deviennent évidemment des cercles dont les centres sont sur cette droite. Alors la surface peut être engendrée par la révolution de l'hyperbole EAF autour de son axe imaginaire.

132. Hyperboloide a deux nappes. Deux carrés négatifs. L'équation devient, en mettant les signes en évidence,

(5) Px> — Py-' — PV — H.

DISCUSSION DES SUILF4GES DOUÉES d'uN GEMTEE. Io3

La surface rencontre les aies coordonnés aux distances

de sorte qu'il n'y a ici que deux sommets réels A et A\ Fig. ao et les quatre autres sont imaginaires ^ mais les distances OA = a, OB=i, OC=c, sont toujours nommées (n*^ 104) les demi-diamètres principaux ou les demiaxes de la surface , et le premier est dit l'axe réel, parce que c'est le seul qui rencontre effectivement cette surface. En introduisant ces trois axes a, £, c, à la place de P, P', P", dans l'équation (5), eUe prendra la forme

jp2 yS gi

133. La condition y = o introduite dans l'équation (6), montre que le plan XZ coupe l'hyperboloïde actuel suivant une hyperbole (EAE', FA' F'); et il en serait de même du plan XY, ainsi que des plans parallèles à ceux-là. Pour des plans sécants parallèles à YZ, ou perpendiculaires à l'axe réel OX , on obtient

ainsi ces sections sont des ellipses semblables entre elles, et qui croissent indéfiniment avec la grandeur absolue de h\ mais elles deviennent imaginaires quand A'<a% c'esC-à-dire dans l'intervalle des deux sonunets réels A et A,