De là il résulte que cet hyperboloïde est com

I04 CHAPITRE Vil.

posé de deux nappes non contiguës, indéfinies chacune dans un sens , mais séparées Tune de Tautre par un intervalle où il n'existe aucun point de la surface. Un plan sécant quelconque pourrait aussi donner, comme au n^ 130, des sections tour à tour elliptiques,, parabo* liques, ou hyperboliques, suivant son inclinaison sur les axes.

135. L'hyperboloïde à deux nappes se trouve de rév^olution, quand les deux axes imaginaires sont égaux, c'est-à-dire quand i = c ou P' =i P"; car les sections obtenues au n^ 133 pour des plans x = /i perpendiculaires à l'axe réel OX , deviennent évidemment des cercles dont les centres sont sur cet axe. Alors la surface pourrait être engendrée par la révolution de l'hyperbole (AE, AT) autour de son axe réel A'OA.

136. Voilà les trois genres principaux de surfaces douées d'un centre \ mais il reste à examiner quelques variétés , et d'abord le cas où H = o.

Cette hypothèse introduite dans l'ellipsoïde réduit l'équation (i) à

laquelle ne peut être vérifiée par d'autres valeurs réelles que a:==o, y=oetz = o; donc dans ce cas la surface se réduit à un point unique qui est l'origine des coordonnées.

137. Dans l'hyperboloïde à une nappe, la supposition H = o réduit l'équation (3) à

(7) Vx^ -I- py — p'V = o,

FiG. 19. laquelle représente une surface conique \0\' dont le sommet est à l'origine. Pour s'en assurer, il suffit df voir si tout plan mené par ce point donnera des sections rec-

DISCUSSION DES SURFACES DOUÉES d'uN CENTRE. Io5

tilignes. Or, en combinant z =, mx + ny avec Téquatien (7) , on obtient

équation homogène qui conduira nécessairement à des valeurs de la forme

et ce résultat appartient effectivement à deux droites passant par V origine des coordonnées, ou au point unique (x = o^ y= o), quand le radical deviendra imaginaire pour certaines positions du plan sécant. D^aiUeurs Thypothèse z=:h introduite dans l'équation (7) , montre que ce cône a pour base parallèle au plan XY, une ellipse dont le centre est sur OZ : mais il faut généralement le regarder conune un cône dy. second degré dont la base peut être une des trois courbes de cet ordre.

Cette surface conique VOV est asymptote de Thyperboloïde à une nappe *, car, en comparant les ordonnées z et z' qui, dans les équations (3) et (7), répondent aux mêmes x et y, et sur la même nappe , on trouve

sfp\{z'—z) = sjvx^ H-py — v/pa?^+ py — H,

ou bien , en multipliant et divisant par la somme des radicaux,

Sl^,{z' — z)=z ^

S/Par» -h P>' -f- V'Px' -h P>^ ~ H

Donc la différence z' — z décroît indéfiniment jusqu'à zéro , à mesure que x et y augmentent 5 et comme cependant z sera toujours moindre que z\ le cône est en dedans de rhyperboloïde.

I06 CBAPITKE VII.

138. Si Ton veut comparer réquation (7) du cône asymptote avec celle de Thyperboloïde sous la forme

il faut observer que, dans cette dernière surface, les longueurs absolues des aices étaient

»=v1. »=Vf. '=V?.-

Or, lorsqu'on fait décroître H sans changer P, P, P", les axes a , ft, c décroissent ensenible , mais en demeurant toujours proportionnels aux quantités

Vp' Vp" V P''*

donc , quand ces axes sont devenus ainsi nuls par Thypothèse H = o , et que l'hyperboloïde s'est changé en un cône , les trois quantités précédentes sont encore proportionnelles aux longueurs des axes primitifs , et l'on peut poser

d'où il résulte

valeurs qui , substituées dans (7), ramèneront cette équation à la forme

DISCUSSION UKS SUllFAGCS DOUÉES D^UN CENTRE. IO7

139. L'hypothèse H = o, introduite dans l'équation (5) de Thyperbôloïde à deux nappes , donne

(8) Px» «. py — p'v = o ;

et Ton prouvera , comme au n^ 137, que cette équation Fie: ao. représente une surface conique VOV dont la base parallèle à YZ est une ellipse. Ce cône est encore asymptote de rhjperboloïde à deux nappes; car, en comparant les deux ordonnées x elx' qui, dans (5) et (8), répondent aux mêmes y el z^ on obtient

v/p . (o? — or/) = v/py-hPV-hH— v^py-hPV,

ou bien , en multipliant et divisant par la somme des radicaux,

v/P-(ar — ^') =

V/Py -H P 'V -f- H 4- v/Py -4- P'V '

donc, la différence x — x' décroît indéfiniment jusqua zéro , à mesure que y elz approchent d'être infinis. Mais comme on aura toujours x'^x\\e cône enveloppe la sur^ face extérieurement.

L'équation (8) de ce cône asymptote pourrait aussi, comme au n** 138, être ramenée à la forme

140, Les surfaces conicpies à base du second degré ne sont pas les seules variétés que renferment les équations générales (i), (3) et (5). En y supposant nuls un ou plusieurs des coefficients P, P', P", H, elles fourniront encore des cylindres à base elliptique ou hyperbolique ,

I08 GHAPITEE VII.

comme

Px*-+-Py = H, ou Pa:^--.pyr=H;

et aussi le système de deux plans qui se coupent , ou qui sont parallèles , comme

Px» — py = o, ou Px^znH;

mais, ces divers cas n'exigeant aucune discussion , il nous suffira bien de les avoir indiqués.

141. Des génébataices rectilignes. Examinons si, parmi les surfaces douées d'un centre , et autres que les surfaces coniques ou cylindriques, il y en a quelqu'une sur laquelle une droite puisse être appliquée dans toute sa longueur indéfinie ] et effectuons cette recherche spécialement pour Thyperboloïde à une nappe, parce qu'il est aisé de prévoir que la forme des deux autres surfaces ne permet pas qu'elles jouissent de cette propriété^ d'ailleurs, il suffira de changer le signe du carré d'un axe, pour appliquer à ces dernières les résultats analytiques obtenus pour l'autre.

L'hyperboloïde à une nappe (n^ 128) a pour équation

S'il existe une droite qui puisse s'appliquer tout entière sur cette surface , une de ses projections sera de la forme

(lo) 7 = aa?-h6,

où a, S sont des constantes indéterminées^ et comme cette équation représente en même temps le plan projetant de la droite, il faudra qu'en coupant la surface par

DISCUSSION DES SURFACES DOUCES D*UN GENTAE. lOQ

ce plan , rintersection , qui sera une ligne du second degré , ait une équation qui puisse se décomposer en deux facteurs dont un soit iinéaire, et par suite Tautre le sera pareillement. Or, la combinaison des équations (9) et (10) donne , pour la projection de la section sur le plan XZ ,

(") :t= «,fc

Mais , le premier membre étant un carré parfait , il faudra, pour la décomposition annoncée, que le second membre soit aussi un carré ^ donc il faudra établir, entre les indéterminées a et S , la relation

{b' -h «'a») (6' — *») fl' = a'^ €'fl<;

d'où Ton déduit

valeur toujours réelle , qui , substituée dans les équations (10) et (11)9 donne pour les projections de la droite chercbée ,

^ ' c ab

Le radical qui entre ici renferme implicitement le double signe de la valeur de ë, mais il faudra le prendre toujours avec le même signe dans les deux équations à la fois. D'ailleurs , puisque nous n'avons eu à satisfaire qu'à une relation unique entre 6 et a , la dernière de ces constantes reste tout à fait arbitraire dans les équations (12) et(i3); et par conséquent il existe une infinité de droites situées tout entières sur Phyperboloïde à une nappe.

IIO CHAPITRE VU.

142. ObsorvoBs ici que, pour appliquer ces résultats à rallipsoïde ou à Thyperboloïde à deux nappes , il suffirait dans l'équation (9), de changer c en c v — i , ou 6

en b \/— I ; et comme chacune de ces modifications rendrait imaginaire l'équation (i3), on doit en conclure que ces deux surfaces n'admettent aucune génératrice rectiligne.

143. Revenons à Thyperboloïde à une nappe; et, pour examiner la position qu'y occupent les divc^rses droites,

FiG. ai. représentons cette surface projetée d'une part sur un plan horizontal, parallèle aux deux axes réels a elb qui sont dans le plan coordonné ocy^ et de l'autre sur un plan vertical parallèle aux deux axes a et c, situés dans le plan j:z. Pour exécuter ces projections, il suffit de marquer sur le plan horizontal les deux axes Oa = a^ Ob = J, et de tracer l'ellipse de gorge âig*; ensuite, sur le plan vertical, et à une hauteur quelconque, on portera les deux axes O'a! =. a , O'C = c , -et l'on tracera Thyperbole principale \fa!\i qui se trouve dans le plan vertical OD. Si d'ailleurs , pour fixer les idées , on suppose l'hyperboloïde terminé aux deux plans horizontaux D'il', D'^H'', également éloignés du centre , ces deux plans couperont la surface suivant des ellipses égales, projetées l'une et l'autre sur DEH , et semblables à l'ellipse de gorge àbg.

144. Cela posé, les équations (12) et (i3), dont la seconde renfermie un double signe , donnent pour chaque valeur attribuée à a, , deux droites qui ont une projection

Vhorizontale commune A6 , et sont par conséquent situées dans un même plan vertical : mais leurs projections sur XZ étant deux droites distinctes, A' A'' et B'B^onpeut ranger toutes les lig^es qui corre^ondent aux diverses valeurs «, a', «",... en deux systèmes (A) et (B), dis-

DISCUSSION DES SUKFAGES DOUÉES D^UN CEN^Rl^- lH

tingués par le sigae quij affecte leurs projections sur le plan XZ, savoir:

Or il est facile de reconnaître que toutes les projections Fie. ai. horizontales de ces diverses droites sont des tangentes à r ellipse de gorge abg^ telles que AB, AiBi,* • • En effet , si l'on combine l'équation

avec celle de cette ellipse

qui se déduit de (9) en y posant z = o , on trouve pour les abscisses des points de section ,

Mais cette équation , étant un carré parfait, a ses deux ra^ cines égales^ par conséquent la droite (12) est une sécante dont les deux points de section sont confondus : ainsi elle est bien tangente a l'ellipse abg, quelle que soit la valeur attribuée à a.

On vérifiera de même que, pour toutes les valeurs de a^ les projections

ri3) ^«W^^T^Hhfl^

^ ^ . c ab '

tl2 CHAPITRE VU.

sont deux droites A'A" et B'B", tangentes à Vhyperbole principale D'a'D' qui a pour équatio4 a^z^ — (fx^=za^c^ ; et quand on pose a = o, ce qui arrive pour le plan vertical AfBt, ces projections deviennent les asymptotes de

cette hyperbole , puisqu^il reste ^ = zti - a:.

145. Si Ton mène par l'origine des coordonnées, qui est le centre de Thyperboloïde , des parallèles aux diverses droites du système (A) ou à celles du système (B), on formera une surface conique dont une quelconque des arêtes sera représentée par

j=:our et ±- = —^ j^ ;

c ab

puis, si Ton élimine a qui varie en passant d'une arête à une autre , on aura , pour Téquation de ce cône ,

laquelle coïncide avec l'équation du cône asymptote trouvée au n** \ 38. D'où l'on conclut que toutes les droites situées sur Vhyperboloïde sont respectii^ement parallèles aux arêtes du cône asymptote de cette surface.

146. n suit de là que trois droites quelconques de l'hyperboloïde ne sont jamais parallèles à un même plan. En effet, s'il en était autrement, il y aurait trois arêtes du cône asymptote qui seraient situées dans un plan unique , et ce plan devrait alors couper la base elliptique (n** 137) du cône dans trois points placés en ligne droite^ résultat incompatible avec la forme des courbes du second degré. Cette remarque nous sera utile plus tard , pour distinguer la surface actuelle d'avec le paraboloïde hyperbolique.

Fie. ai. 147. Deux droites quelconques du système (A) telles