DISCUSSION DES SURFACES DOUÉES D^UN CENTRE. I

que (AM, A'M') et (A.1M1, A'tM'i), ne sont jamais dans Fig. ai. un même plan. En effet , \% point R où se coupent leurs projections horizontales se trouve pour la première au delà de M par rapport au pied A de cette droite \ et par conséquent il est, dans Tespace, au-nlessusde Tellipse de gorge ^ tandis que le point R de la seconde droite Ai Mi est évidemment au-dessous de cette ellipse.: donc ces deux droites d'un même système ne se coupent pas. En outre, elles ne sont point parallèles, car leurs projections horizontales se coupe4l en général ; et quand même on comparerait les deux tangentes auxtextrémités d'un diamètre de Tellipse de gorge, ces deux droites se trouveraient, dans Tespace , inversement situées par rapport au plan vertical mené par ce diamètre , de sorte qu'elles seraient bien loin d'être parallèles.

L'analyse conduit à la même conséquence. Car, si Ton combine les quatre équations (A) et (Ai) du n^ 144, en les soustrayant deux à deux , on arrive , après l'élimination des variables, à la condition (a— ff')'=:o, qui ne saurait être satisfaite tant que les droites sont distinctes l'une de l'autre. Il est vrai que pour celles qui passeraient par les extrémités d'un même diamètre de l'ellipse de gorge, on aurait « = «'•, mais alors il faudrait évidemment adopter pour le radical des signes contraires dans les équations (A) et (Ai) , et , sous cette nouvelle forme , leur

combinaison conduirait à V^* 4- a' a* = 0, condition également impossible.

La même relation subsiste évidemment entre les droites du système (B) , qui ne Siont jamais situées deux à deux dans un même plan.

448. Au contraire, une droite quelconque du système (A) coupe toutes les lignes (B) , (Bi) , (Bj) , . . . de f autre système. Cela est évident pour (AM, A' M') el

\ l4 CHAPITRE VII.

(BM , B' M') qui sont dans le même plan vertical , et se cottpent en (M , M') sur l'ellipse de gorge : comparons donc la première de ces droites avec (BiMi, B\M'i). Les points projetés en R sont, sur Tune et Tautre de ces droites, situés au-dessus de Tellipse de gorge , puisque R est au delà des points de contact M et Mi -, et comme la verticale élevée en R ne peut rencontrer la nappe supérieure de la surface qu'eu un senl point 1M\ ce point est nécessairement commun aux deux lignes (A) et(B|). Deux droites de systèmes différents sont donc toujows dans un même plan, et seulement elles deviennent parallèles quand elles passent par les extrémités d'un diamètre de l'ellipse de gorge. L'analyse conduit à la même conséquence^ car la combinaison des quatre équations (A) et (Bf) du n^ 144, mène à deux valeurs de x qui s'accordait entre elles.

149. On donne le nom de surface gauche à toute surface engendrée par une droite qui se nteut de telle sorte que deux positions consécutives ne sont pas dans un même plan^ et c'est ce qui arrive (outre les cas généraux dont nous parlerons dans le chapitre XV ) quand on assujettit la droite mobile A k s'appuyer constamihent FiG. 21 sur trois droites fixes B, B', B", qui, deux à deux, ne sont pas dans un même plan. D'abord, je dis que cette condition suffît pour régler le mouvement de la généra'^ triée A ; car si , pour chaque point M pris sur B , vous imaginez deux plans , dont l'un passe par M et la droite B^ l'autre par M et la droite B'', l'intersection de ces plans fournira une droite unique MNP qui s'appuiera bien sur les trois directrices. Ensuite, la surface sera gauche, puisque deux positions A e|. A^ de la génératrice ne sauraient être dans un même plan , sans que les droites B, B', B'', qui ont chacune deux points communs avec A et A',

DISCUSSION DES SUATAGES DOUÉES D^UN CENTRE. I l5

ne se trouvent elles^ioèmes dans ce plan^ ce qui est contraire aux données de la question.

150. Or , rhyperboloïde à une nappe, considéré conurn» le lieu de toutes les droites (A), (Ai), (Af) , ... ou (B), (Bi), (Bt) , . . . du n^ 144 , est du genre des surfaces gau«ches dont nous venons de parler. En effet, dans chaque système , les droites ne se rencontrent pas (n^ 147)^ et d^ailleurs puisque (A), par exemple, coupe (n^ 148) toutes les droites de l'autre système, il n'y a qu'à choisir à vo^ lonlé trois de ceBea^^ci , (B), (Bi), (B,), puis faire glis-* éer sur elles la droite mobile (A) : alors cette dernière ne pourra prendre (n^ 149) que les positions successives (Ai), (At), . . . , qui remplissent déjà la condition de s'appuyer sur les trois diveetriees : donc la droite mo-» bile (A) engendrera ainsi Thyperboloïde en question. Cette surface admet aussi évidemment un second mode d^ génération, dans lequel la droite (B) glisserait sur trois droites quelconques (A), (Ai), (A,) du premier système.

151. Réciproquement, lorsqu/ ime droite quelconque^ s'appuie constamment sur trois droites fixes B, K, B", qui, prises deux à deux, ne sont pas dans un même plan, la surface aipsi décrite est toujours un hyperbo^ loîde à une nappe ,• pourvu cependant que les trois directrices ne soient point ensemble parallèles à un même plan; car, sans cette dernière restriction qui est vérifiée (n® 146) par les droites de Thyperboloïde , la surface dégénérerait eu im des paraboloïdes dont nouft parlerons plus tard (n^ 176).

Sous les conditions admises, il sera toujours possible de mener , par un point quelconque de l'espace , trois axea coordonnés obliques , respectivement parallèles aux trois divecirioes^ mais, afin de manifester clairement la

XlQ CHkPIT&E Vil.

axes coordonnés actuels sont évidettiinent (n® 145) trois arêtes du cône asymptote de cette surface (*).

153. D'ailleurs, la forme symétrique de Téquation (i8) manifeste clairement Texistence du second mode de génération que nous avons reconnu dans Thyperboloïde (n*^ 150). Ea effiet^ §i l'on prend po«r directrices de la droite mobile G du n^ 151 , les trois droites A, A', A% qui sont les arêtes opposées à B, B', B", dans le parallélipipède de Isifig' 14? 1^^ équations de ces nouvelles directrices 9«ront

fj; = — a,

et alors la génératrice G va décrire la même surface, puisqu'il su£Bra évidemment , sans nouveaux calculs , de changer dans Péquation (ï8)a,6,yen — a, — 6, — v, ce qui n'altère pas cette équation. D'ailleurs les trois droites A, A', A'' ne sont autres que des positions par^ ticulières de la génératrice G, lorsqu'elle glissait sur B, B', B", dans le premier mode; car la ligne A, par exemple , coupe B' et B^, et se trouve parallèle à B ; de sorte ^'eUe doit être regardée comme s'appuyant sur ees trois dernières droites. Donc, lorsquon a fait mouvoir une droite sur trois directrices rectUignes , on peut prendre

(^) C'est M. J. Binet qui a fait connaître Pexlstence du paraUélipipède rettiarquable que nous venons d'employer, ainsi que celle de beaucoup d'iutrei <|ui sont «ti^i concentriques avec l'hyperb'oloTdc. {Voyez le xvi^ cahier du Journal 4e V École Polytechnûjue,)

DISCUSSION UBS SUftFACSS IHXrÉES d'uN CENTRE. lia

à leur tour trois quelconques des positions de la génératrice pour nouvelles directrices , et en faisant glisser sur celles-ci r une des premières directrices, on retrout^era le même hyperboloïde que dans le premier mode ,

154. Si Ton admettait que deux des directrices B" et B' sont dans un métne plan, la surface se réduirait, comme on doit le prévoir aisémient, au système de deux plans , dont l'un serait celui des deux directrices en question , et dont Fautre passerait par le point commun à ces deux droites et par la troisième directrice. Effectivement, dans l'hypothèse « = o, l'équation (i8) se décompose dans les deux suivantes ;

07 = 0, 6« -I- 7jr = o.

Mais il ne faut pas chercher à déduire de l'équation (i8) le cas particulier où les trois directrices %qraieul parallèles à un même plan; car alors il eût été impossible de prendre , comme nous l'avons fait , les trois axes coordonnés parallèles à ces droites. Nous traiterons plus tard (n° 179) ce cas, qui est aussi fort intéressant.

I20 GHAPIT&B VUI.

Discussion des surfaces dépourvues de centre.

155. Les surfaces du second degré qui sont dépourvues de centre sont toutes comprises dans l'équation (20) du n° 117, où les diverses combinaisons de signes des coefficients se réduiront toujours aux deux suivantes :

-h Py ±P V = -f- Qa?.

En effet, on pourra d'abord rendre positif le premier coefficient P', s'il ne l'était pas, en changeant les signes de tous les termes de l'équation donnée. Ensuite, quand Q sera négatif, il suffira de remplacer x par — x' pour ramener l'équation à la forme précédente ) or , comme ce changement équivaut à compter les x positifs dans le sens opposé à celui qu'on avait adopté d'abord , on voit que le signe de Q ne peut avoir d'influence que sur la position de la surface , et non sur sa forme ; c'est pourquoi nous nous arrêterons au cas où il est positif, et ainsi cette classe de surfaces ne présentera que deux genres vraiment distincts, appelés le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique^ à cause de la nature des sections qu'ils admettent.

156. Paraboloïde elliptique. L'équation avec les signes explicites , est alors de la forme

(0 py-f-p'v=:Qx.