DISCUSSION DES SUEFACSS DÉPOURVUES DE CENTRE

Cette surface ne coupe évidemment les axes qu*à Forigine des coordonnées , et la droite OX , intersection des plans XY et XZ qui sont ici les sévis principaux (n^ li?)? est I^axe uni<pie et indéfini du paraboloïde. Ces mêmes plans donnent pour sections principales deux paraboles AOA'9 BOB', ayant pour équations Fie. aa.

Q z = o et x' = px^px,

y = o et z'=:—x=p'x'y

et si Ton introduit leurs paramètres p , p\ dans l'équation (1), à la place des coefficients F, P', elle prendra cette forme plus symétrique

i^) 7*^]^** ^^ p'y^-^-px^—pp'x.

157. Les sections parallèles au plan TZ, ouperpendiculaii'es â l'axe du paraboloïde , sont représentées par

(3) x = A et «I^-H-rrrA;

on voit que ce sont toujours des ellipses, telles que ABA'B', semblables entre elles, puisque leurs axes, qui s'obtiennent en posant tour à tour ^ = o, j"=o, dans l'équation (3), conservent un rapport indépendant de h. Ces ellipses s'agrandissent indéfiniment avec h , tant que cette quantité est positive \ mais elles deviendraient imaginaires, si h était négatif: d'où l'on conclut que le paraboloïde actuel ne s'étend millement du côté des x négatifs. iS8. Lorsqu'on Sip=p\ les ellipses précédentes (3) deviennent évidemment des cercles , dont les centres sont situés sur OX, et dont les plans sont perpendiculaires à

cette droite 5 par conseillent , le paraboloïde est alors de révolutions et peut être engendré par la demi-parabole OA ou OB, tournant autour de son axe OX.

159. Coupons maintenant la surface (2) par un plan quelconque

z = mx -h /ïf -+- ^ ;

il viendra pour la projection de la courbe ,

Or, comme ici le binôme caractéristique B' — 4^C se trouve égal k-^J^ppin*^ il en résulte que les sections faites dans la surface sont toujours des ellipses ou des paraboles: d^ailleurs, ce dernier cas n'arrive que quand m = o , c'est-à-dirç quand le plan sécant est parallèle à l'axe OX du paraboloïde elliptique. Ainsi, la dénomination de la surface rappelle très-exactement les deux genres de sections planes qu'elle adniet.

160. Paraboloïde hyperbolique. L'équation relative à ce genre est , avec les signes en évidence ,

(4) py — pv = Qx.

La surface ne coupe les axes coordonnés qu'à l'origine , et, comme au n^ 156, l'axe unique et indéfini de ce paraboloïde est la droite OX , intersection des deux fdans principaux XY et XZ. Les sections faites par ces plans

$ont

z = o et y^ = p^x=pxy

y=zo et z' = j^x=:--p'x:

FiG. a3. ce sont les deux paraboles AOA' et BOB', dont la seconde

DISCUSSION DES SUBITACB DSrOURVUBS DE CSHT&E. 123

ayant Un paraïaètre négatif, counte sa t:e&eavité vers les X négatifs. Si Toti intrcMluit les paramètres de ces courbes dans rétpiaiion (4)? elle prendra la forme symétrique

qui ne difiere de celle du paraboloïde elliptique que par le changement de p' en —^'9 et œtte relalèpa est fort utile pour transporter à Tun les propriétés reconnues dans Tautre.

161. Les plans parallèles a YZ, ou perpendiculaires à Taxe OX du paraboloïde hyperbolique, couperont cette sur&ce suivant des hyperboles représentées par

Leurs axes qui s'obtiennent en posant tour à tour :s = o , y=. G , dans Téquation (6), conservent entre eux un rapport indépendant de A: ainsi, toutes ces hyperboles sont semblables , et elles s'agrandissent indéfiniment avec la valeur absolue de h , mais leur position change avec le signe de cette quantité. En effet, pour une valeur positive A=00', Téquation (6) montre bien que l'hyperbole (GDH, G'D'H) a son axe réel O'D dirigé parallèlement a OY, et que son axe imaginaire O'C est vertical; tandis que , pour une valeur négative h = 00", l'équation (6) donne une hyperbole (g^c A, g'c^fi) dont Taxe réel O'c est vertical, et dont l'axe imaginaire 0"c? est parallèle àOY.

D'ailleui^s, quand on pose A = o dans (6), on voit que le plan YZ coupe le paraboloïde suivant deux droites

x=zo, y

124 CHAPITRE YIU.

qui sont les asymptotes communes à toutes les hyperboles précédentes projetées sur ce plan YZ.

162. De là on doit conclure que le paraboloïde hyperbolique est une surface composée d'une seule nappe continue , qui s'étend indéfiniment vers les x positifs et vers les X négatifs , mais dont la courbure présente une forme opposée dans ces deux régions. En outre, cette surface rn( sera famaù de résolution , quand bien même on aurait ^=^', comme cela est arrivé (n*^ 158) pour le premier paraboloïde; et effectivement, nous allons démontrer que le paraboloïde hyperbolique ne peut admettre pour section plane aucune courbe fermée.

163. Combinons l'équation (5) avec celle d'un plan quelconque

z = mx -^ ny -\-h;

il viendra , pour la projection de la section ,

(7) (/*' — P^^) f^"^ ptn^x^ — 'i.pmnxy -f- ....=: o.

Ici la quantité B* — 4AC = +pp'm*'^ donc , toutes les sections planes faites dans la surface qui nous occupe sont des hyperboles ou des paraboles y et ce dernier cas arrive seulement quand m = o , c'est-à-dire quand le plan sécant est parallèle à Vaxe OX. C'est la nature de ces sections qui a fait nommer cette surface paraboloïde hyperbolique : cependant , parmi les hyperboles , il faut comprendre le système de deux droites qui se coupent , et parmi les paraboles , le cas d'une seule ligne droite 5 car ces variétés se retrouvent dans l'équation (7), lorsqu'il arrive que son premier membre peut se décomposer en deux facteurs rationnels , ou bien quand ni = o avec p' — pn^ = o.

Dans ce dernier cas , où la section est une droite uni^