DISCUSSION DES SU&VACES DÉPOUAVUB8 DB CENTRE

que y le plan sécant se trouve parallèle à Tun des deux plans directeurs dont nous parlerons au dP 171.

1&4. Propriétés coMMuifES aux deux paraboloïdes , Chacune de ces surfaces peut être engendrée par une des deux paraboles principales, OB par exemple, qui se mouvrait parallèlement à elle-^même (*), et de manière que son sommet glissât constamment sur l ^ autre para-bole principale OA.

Considérons d'abord le paraboloïde elliptique où ces Fio. as. deux courbes ont pour équations ,

, OA....a = o et y^z=zpx^ OB . . . . j = o et z^ z=zp'x.

Lorsque la génératrice mobile OB sera venue dans une position quelconque DE, son sommet D, dont je désigne^ les coordonnées par 00' = a, 0'D = 6, se projettera en (y sur le plan XZ ; et cette courbé étant dans un plan palallèle à ce dernier, elle conservera en projection le même paramètre p:^ d'où il suit que la parabole DE aura pour équations,

D'ailleurs, le sommet D devant toujours se trouver sur la directrice OA , il faudra que ses coordonnées a: = a , jr = 6 , ^ = o , satisfassent aux équations de cette dernière courbe, ce qui fournira entre les constantes arbitraires

(*) On entend par là que deux tangentes ou deux cordes quelconques de cette courbe demeurent toujours parallèles à leurs directions primitives , ce qui entraîne évidemment le parallélisme du plan de la courbe; mais cela exprime eu outre que cette courbe ne tourne pas dans son plan mobile.

a et ë lai relation

(lo)

6' = pcké

Cela posé , si Fou attribuait à a diverses valeurs successives a= 5, âE3=: 6, . . . . , on déduirait de (lo) les valeurs correspondantes de 6 , et en substituant ces valeurs si* multanées dans (8) et (9) , on obtiei^ait les écpiatioas de telle ou telle position déterminée de la parabole mobile DE ; mais si , au contraire , on élimine les constantes a^ëj entre les trois équations (S) , (9) et (10), le résultat conviendra alors à toutes les positions.de la génératrice, et représentera le lieu géométrique parcouru par cette ligne mobile. Or, en tirant de (8) et (9) les valeurs de a et 69 pour les substituer dans (10), on trouve

— p — j ou py'i'pi^=pp'x,

résultat qui coïncide avec Féquation (a) du n*^ 156, et prouve ainsi que la surface engendrée par le mode indiqué plus haut, est effectivement un paraboloïde elliptique.

Fie. a3. 165. Quant au paraboloïde hyperbolique dans lequel les deux paraboles principales ont pour équations

OA . . . . 2 =: o et ^' = pXf OB. . . .j^ = o et z* = — p'xy

on verra, par de» considérations toutes semblables aux précédentes, que cette dernière courbe, parvenue dans une position quelconque DE , sera représentée par

(il) r — ^» (la) »* = — /?'(âr — a).

Ensuite les constantes arbitraires 00'=: a, O'D = 6, devant encore vérifier Féquation de la parabole OA , se