DISCUSSION DES SURFACES DEPOURVUES DE CENTRE

trouveront aussi liées par la relation

de sorte qu'en raisonnant comme ci-dessus , il faudra éliminer a et ê entre les équations (")? C^^) ©t (i3), ce qui conduit à

résultat qui , par son identité avec Tequation (5) du n*^ 160, prouve que le paraboloïde hyperbolique peut aussi être engendré par la parabole OB qui se mouvrait parallèlement à elle-même, et de manière çue son sont^ met glissât constamment sur Vautre parabole prince^ pale OA.

166. Tous les plans diamétraux, dans les deux paraboloïdes, sont parallèles à Vaxè OX de la surfade. En (^et, si ron recourt à la formule générale (5) du n® 105,

dx dy dz

pour l'appliquer à Téquation des surfiK^es dépourvues de centre ,

où ^'pourra être supposé positif ou négatif, on trouve (i4) 2p^njr-^!ipz=pp^my

équation qui représente un plan évidemment parallèle àOX.

Réciproquement, tout plan qui sera parallèle à OX, et représenté par uue équation donnée

(i5) Rr-f-T3 = K,

128 CHAKT&E Vllt.

sera un plan diamétral du paraboloïde , puîsqu^en iden" tiiîant réquation (i4) avec (i5), on en déduira pour m et n des valeurs toujours- admissibles

167. Tous les diamètres des paraboloïdes sont parallèles à Paxê de la surface; car ces droites sont (n** 104) les intersections de deux plans diaiçétraux, et nous venons de voir que ceux-<i se trouvent toujours parallèles à OX.

Réciproquement , toute droite menée parallèlement à l'axe d'un paraboloïde sera un diamètre de cette surface', puisque deux plans conduits par cette droite seront diamétraux (n^ 166).

168. Des génératrices regtilignes. Il s'agit d'exaininer si une droite peut être appliquée dans toute sa longueur indéfinie sur un paraboloïde j or, comme la forme limitée du paraboloïde elliptique fait assez prévoir qu'il ne saurait jouir de cette propriété , et que d'ailleurs il suffira de changev le signe de p ' pour appliquer les résultats à ce genre de surface, nous allons effectuer cette recherche spécialement sur le paraboloïde hyperbolique, dont l'équation avec les signes en évidence , est

( i6) p y^ — pz^ = pp'x.

S'il existe une droite située tout entière sur cette surface , sa projection horizontale sera de la forme

(17) ^ = aa:-4-6,

où a et 6 sont deux constantes indéterminées \ et le plan projetant représenté aussi par cette équation (17)5 devra

DISCUSSION DES SUEFACBS DÉMnmVUKS DE GENT&E. %tlg

donner par sa combinaison avec la surface. (i 6), unein'tersection du second degré dont une brajoÉchcf soit rec^Çihgne^ et par suite Fautre branche le sera paoreillement. Or, en éliminant x entre (i6) et (17), parce que la projection sur le plan ¥Z es.t la plus intéressante , on obtient

et pour que cette équation puisse se décomposer en deux facteurs du premier degjfré , il faut que le second mettibre soit un carré parfait, puisque le premier membre en est un, ce qui exigé que Fou pos^

£;=i£!. .di.ù 6=f .

Cette relation unique entre S et a laisse arbitraire une de ces cpiantités ] par conséquent il existera une infinité de droites situées sur la surface, et dont les projectidtos, déduites dès équations (i7)let (18) où Ton aura substitué la valeur de 6 , seront

La troisième projection se déduirait de celles-ci par l'élîmination de y^ et aurait la forme

169. Avant d'aller plus loin, observons que ces résultats deviendraient imaginaires, si Ton changeait le

signe du paramètre p'-^ d'où JI résulte 4[ue#/epar4z&o/oft/e eUiptùjue n^ndmet aucune^ ^inéi^rioe reouligne, ^ ^ - .170. Qtiantau parabalotde hyperbolique, les dûverçes droites; qu'il| admet y. pour des .yaleùrs^ sueoessives de Vp!détermihée « , ont deux à deu^ une projection- horâzoa-^ taie commune; mais comme elles se distinguent sur les autres plans, on doit les partager en deux systèmes (A) et (B). savoir :

. , Pour luiCjUx apercevoir les position^ respçctives . dQ , ces FiG. 24. lignes , séparons les trois plans coordonnés , en} leç, transportant parallèlement à eux-mêmes jusqu'à une certaine distance*, et alors on reconnaîtra que les projections horizontales de toutes les génératrices des deux systèmes sont des tangentes MT, J>(I'T', . . .à la parabole principale y^ •=^px. En effet, si nous combinons cette dernière équation avec (19), pour avoir les points communs à ces lignes, il vient.

résultat qui, étant un carré parfait, annonce que les abaisses des poinu de section de MT avec la parabole OA sont toutes deux égales , ainsi que les ordonnées qui se^

DISCUSSION ©ES SI?|IIACS3 UBFOUKVUES DE CENTRE. iSl

déduiraient dé (i9);.par conséqtLent la droite MT est bien tangente à la parabole hprûsontale OA.

On s'assurerait d'une manière sqinblable, que le$ projettÎQus d«s. généçatripfîs sur le plan XZ , lesqu^ll^ font représentées, pour ch^ique valeur d^ ^, par la double équatipn^sij), se trouvent 4e& tangentes RS et RV, ... à la paraboles .principale z* = -r- p'x^ »

171'. .Qvant auji proj^tiws des génériiitrices sur le plan YZ, le^ secondes équations 4e^ Igroupes (A), (A'), (A"),. .^^ QuC les coeffic^ntâ des variables sont ipdépen^ dants deic^ <e', . . . , montrent que ces projections -sont des droites pamilèlesj NA , N'A', * ... ; donc l^s pjan^proje^tants sont parallèles entre ei^s^, etpar^uit^, les géi^ér^r triées, dans Tespaea se xrouv,ent. toutes parallèles à Tun de ces pl^ns. Le paraboloïde; hyperbolique offre donc cette propriété remarquable, que toufes ies génératrices ^u^système {A): S0nt parallèles à un même plan aO'X, qui a pour équation

ee plaQ» ;0)i ^out; autre de même directipn , se nomme le plan directeur des droites d|i systèpiç (4l).

Une relation semblable a lifii poujc le$ droites du système (B)§, c^ les âecoQdes .équations (B), (B'), . . . mon* treut. q^;'leur^ projections sur YZ sont d^s lignes parallèlça l^^l^'^^^^-yàoïkc^es génératrices , dansl'espaçe, sont toutes, p^roMèles au plan directeur JO'X, déterminé par Téquation

=-Vf-

Observons que les deux plans directeurs se coupent

l32 CHÂI^ITRE VilTi

toujours suivant Taxe OX du paraboloïie, ou suivant une parallèle à cet axe , et ils se trouveraient perpendiculaires cntVe eux , si l'on ^vait p =p\

172. Deux droites tfHelconques (A) et (A') d\in mânw système ne se trmui^ent jamais dans un même -plan. En effet, leurs projections sur le plan YZ sont parallèles: donc les génératrices en question ne se coupent pas; d'ailleurs elles ne aont point parallèles dans, l'espace, puisque leurs projections sur XY se coupent nécessairement, comme tangentes à une -même parabole * donc des deux génératrices ne sont pas dans un même plan. Ainsi le paraboloïde hyperbolique, considéré comme le lieu des diverses droites (A)^ (A)? C^')? • • •? ^^tune^ surface gauche (n^ 149), mais qui offre cette circonstanœ particulière , que ses génératrices rectîligtres sont toutes parallèles à mi même plan a (XX. -

Une conséquence analogue a iieu pour les droites du système B , qui ne se trouvent jamais deux à deux dans un même plan.

FiG. 04. i^3. Au contraire, une droite quelconque du système (A) coupe toutes celles de l'autre système. Cela est évident pout* les génératrices (A) et (B), situées toutes deux dans le même plan vertical MT, et projetétes suivant NA et NB', mais comparons (A) avec (B'). Leurs projections sur YZ se rencontrent en E -, et comme en menant de là une parallèle à OX, elle n'ira percer le paraboloïde qu'en un seul point D p,uisque l'équation de cette surface est du premier degré en x^ il est certain que le point projeté en E etD, est conmiun aux deux génératrices. D'ailleurs l'analyse conduit à la même conséquence ; car, si Ton combine les quatre équations (A) et (B') du n^ 170, on verra aisément qu'elles s'accordent à donner une même valeur pour j^, après l'élimination des variables x et z.

rnscussiofr des surfaces oépoubvues de centre. i33

On démontrerait d'ime manière semblable , que chaque génératrice (B) coupe toutes celles du système (A).

474. Or , puisque le mouvement d'une droite est complètement déterminé par la condition de s'appuyer sur trois autres droites fixes (n^ i49) , il s'ensuit que si l'on fait glisser la génératrice (A) sur (B), (B') et (B"), elle ne pourra prendre que les positions (A'), (A"), . . . qui déjà rencontrent ces directrices, et ainsi elle décrira le paraboloïde kyperboHque. Sous ce point de vue, celle surface devient un cas particulier de l'hyperboloïde à une nappe (n° ISO), puisque ici les trois directrices (B), (B'), ( B^') satisfont (n** 171) à la condition de se. trouver toutes parallèles à un même plan AO'X.

D'ailleurs les mêmes raisonnements font voir que , si (B) glissait sur trois droites du système (A), elle parcourrait encore le même paral^^loïde ^ de sorte que ce mode de génération est double.

1 7S. Observons enfin que. le mouvement d'une droite est aussi complètement réglé, quand on n'assigne que deux directrices^ avec la condition que la droite mobile restera parallèle à un plan donné. En eflbt, si l'on coupe les deux lignes fixes par divers plans parallèles au plan directeur y et que l'on joigne par des droites les points de section de chaque plan, on obtiendra autant de positions de la génératrice.

D'où il suit que le parabdloïde hyperbolique peut encore être engendré par la droite (A) assujettie à glisser seulement sur (B) et (B'), et de plus à rester parallèle au plan donné aO'X^ car elle ne pourra prendre ainsi que les positions (A'), (A"),... qui déjà satisfont à ces trois conditions.

D'ailleurs ce mode de génération, qui est le plus copa.-: mode dans \a pratiqijie, est aussi double comme le pré-^

l34 CHAPITRE VIII»

cèdent (n*^ ifli), puisqu'on^ peut produire le même paraboloïde eu faisant Hdottvoir la droite {B) sur (A)» et (A'), avec la condition» qu-elle demeure "parallèle au plan (U-

recteur i ex» ^ ^ ' •'

176-. Réciproquement, lorsquune droite quelconque^ A glisse sur demx droites fixes B- et ^non situés dans le même plari, en demeurant parallèle à tm plan donné y elle engendre toujours un^pâ^rabbloïdeivfperboiique.

Prenons le plan' directeur donné pour le plan coordonné XY, et choisissons' le> plan XZ pàlrallèle asax deux directrices B et B', en laissant arbitiiaiires,' du ^reste^ l'origine O et les deux' axes OY, OZ '5 alors les directrices rapportées à ceÉ axes obliques, seront représentées évidemment par ' *' V

(B) y =: hj xz=: az -^ b,

(B') r = h', x = a'z-hb\

La génératrice qui doit être constamment parallèle au plan XY, aura des équations de* la fbrttie '•

OÙ les quantités a, 6, y sont des constantes indéterminées^ mais il faudra y joindre les relations qui expriment que cette droite mobile rencontre toujours chacune des deux directrices , relations que l'on obtient (n^ 25) par Télimination des trois variables x^y^z^ entre les équations (A) et (B), puis entre (A) et (B'), et qui sont

Les trois constantes a, ê, y se trouvant ainsi liées par deux équations , une d'entre elles , par exemple ot , reste

DISCUSSION DES SUEFAOES DÉPOURVUES DE CENTRE. ' l35

arbitraire^ de sorfie que si on lui attribuait diverses valeurs sUccsedsivés «=11 , a = a,. . . , oiï pburràit en déduire celles de 6 et'^; pùis^ en substituant ces valeffrs correspondantes dans les équations {A), on obtiendrait successivement telle ou telle position déterminée de la droite mobile; mais si au contraire on éKmine a, S, y entre les quatre équations (22) , (a3) et (A) , le résultat codviendra alors à toutes les positions de cette généra*triée ^ et sera par conséquent Téquation du lieu géométrique parcouru par cette droite. Or , par des soustractions évidentes, on élimine aisément 6 et y, et Ton -obtient

y — /* m a (x — ûz — b)y y — h^z=ia.{x — a^z — b')'y

d'où Von déduit, en éliminant a,

Cette surface est du second degré, et elle ri admet point de centre^ car le terme x^hl-^fi) qui est de degré im,pair, ne pourra jamais disparaître (n** 94) en transposant les axes actuels parallèlement à eux-mêmes, puisque ce terme, étant le seul qui soit fonction de x, conservera toujours le même coefficient donné (Ji — A). L'équation (24) représente donc un des deux paraboloïdes -, et c'est évidemment le /^arafco/oïrfe hyperbolique ^ puisqu'en posant a: = 0, on obtient une hyperbole, ce qui ne saurait convenir (n** 159) à l'autre paraboloïde ; d'ailleurs ce dernier n^admet pas (n^ 169) de génératrice rectiligne (*). • ^

(*) Si Ton supposait h = h'y Péquation (a4) se décomposerait en deux facteurs du premier degré , lesquels représentent deux plans qui se coupent. En effet ^ cette hypothèse revient à dire que les deux directrices B

/ l36 * CHAPITRE VIIÏ,

177. Si nous n'avions pas voulu offrir au lecteur n» exercice de calcul propre à servir de guide dans les cas généraux , nous aurions pu arriver à un résultat beaucoup plus simple, en choisissant les axes coordonnés d^une manière encore plus particulière. En effet, en conservant le plan directeur donné pour le plan XY, on peut : i^ choisir l'axe OY de manière qu'il passe par les deux points où ce plan est rencontré par les directrices B et B! ; a?' placer l'origine O au milieu de cette distance (*).^ 3** conduire le plan XOZ suivant deux droites b et b' menées par le point O parallèlement à B et B', ce qui dér terminera la position de l'axe OX; 4*^ enfin, diriger ] 'axe OZ de sorte qu'il divise en deux parties égales une parallèle à OX tracée dans l'angle bOb' , Avec de tels axes obliques, les droites B et B' se, projetteront sur le plan XZ suivant des lignes passant par l'origine , et elles auront évidemment pour équations

(B) yz;:i'hhy x=z-haz, (B') • y = — h y X =2 — az.

La génératrice aura encore, des équations de la forme

(A) z.= 7j x = ^-^^} mais potgr qu'elle s'appuie constamment sur (B) et

et B' sont situées dans un même plan y = hf et alors la génératrice mo^ bile, foujpurs parallèle au plan XY, ne peut plus prendre que Pun de ces deux mouvements : i^ décrire le plan même des deux droites B et B'; 2<^ passer constamment pat le point de section de celles-ci , et décrire lin plan parallèle à XY.

{*) H ne faut pas affirmer que cette distance, ou cet axe OY, coîncidera avec la plus courte distance des deux directrices, parce que cela supposerait que le plan directeur donné est perpendiculaire sur le plan parallèle à ces deux droites j ce qui peut ne pas arriver.

Discussion DES SURFACES D£N>UBYUES DE CENTRE. iSj

sur (B'), on trouvera les conditions

6 =r o , A = aa'jf ;

de sorte qu'en éliminant a , 6 , y entre les quatre dernières équations, on obtiendra pour la surface demandée^

(25) ayz=:hxy

résultat qui pouvait se déduire de Téquation (34)9 en y supposant t = o , J'= o , a' = — a , A'= — A.

178. Observons que sous les deux formes (24) et (25), les plans XY et XZ sont évidemment les deux plans directeurs du paraboloïde, auxquels les génératrices des deux systèmes sont respectivement parallèles (n* i71) ? et ici leur int^section OX est seulement parallèle à Taxe principal de cette surface : aussi quand on pose ^ = A, onjr = ky on trouve pour section une droite unique.

179. Démontrons encore la réciproque du mode de génération indiqué au n° 174, en cherchant Féquation de la surface engendrée par une droite mobile A assujettie à glisser constamment sur trois droites fixes B, B', B'\ qui sont toutes |p:ois parallèles à un même plan : on sous-entend d'ailleurs que deux quelconques de ces droites ne sont pas dans un même plan , parce que THypotbèse contraire ne conduiimit qu'à trouver le système de deux plans dont la position est facile à prévoir d'ar vance (n*' 154).

Prenons le plan XY parallèle aux trois directrices 6, B', B", et la première de ces droites pour Taxe OX : dir rigeons l'axe OY parallèlement à B', et enfin par le point arbitraire O, où. se coupent ces axes, menons-en un troisième OZ qui rencontre à la fois les trois direc?

l38 GBAPITAE VUI.

trices; alors ces lignes aurtint pour équationa

(B') x=0, z = hy (B") yz=zax^ »=*..

La génératrice sera représentée par

mais pour qu'elle rencontre chacune des directrices, il faudi'a (n° 25) y joindre les conditions

^i=:o, ai^H-7=ro, 6XH-^ = «(aX +7),

et en raisonnant comme au n** 176, il s'agira d'éliminer «, 6, yi (î*,' entre ces ci htf équations. Si d'fl)ord on substitue led valeur* des trois ^deiniè^es quantités dtftis les équations (A), il viendra pouir une position quelconque de la génératrice, • . > j» •

(26) x = a (3 — //}, jr=r — ^— — r-^z;

puis enfin , éliminant a , on obtiendra pour le lieu géo^ métrique cherché , , .

(27) Afz -\-a{h — k)xz-=z hky.

Or, dans cette équation du second degré, le polyfrôme D (n*^ 95) qui sert de dénominateur «aux coordonnées du centre , se trouve évidemment nul ^ -ainsi' la surface ne peut être qu'un des deux paraboloïdes , ou bien un cylindre (n^ 96).'Ma>îs,» cetier dernière» hypothèse étant manifestement incompatiWeJ'avteGia direction des génératrvees qui ne sont point parallèles entre elles , il demeure cenahvque k surface^ (i7)»feàt un parabàlùïdehyperbdh-

DISCUSSION DES SURFACES D^POUETUES DE CENTRE. iSgi

tique 9 puisque Tautre paraboloïde n'admet pas (n^ 169) de génératrioe reotiligne.

t80; Exi outre, il «st aisé de reconnaître que les posi-* tiens (A), (A'),» (A")'^ i . . de la génératrice .se trouvent aussi, comme cela doit arriver dans un paraboloïde, toutes parallèles à un même plan. En effet, ces di-* verses positions sont représentées par les équations (26), dans lesquelles on attribuerait à a, des valeurs arbitraires et successives a , a", a*',... : or, si on élimine entre elles, la variable z , pour obtenir la projection de la génératrice sur le plan XY, on trouve

et puisqu'ici le coefficient de x est indépendant de a , il s'ensuit que sur XY les projections de toutes les génératrices sont parallèles entre elles \ d'où il résulte que , dans l'espace, toutes ces génératrices sont parallèles au plan représenté par l'équation