VI AVERTISSEMENT

moyens de les simplifier. Ainsi , après avoir ramené réquation générale du second degré aux deux formes les plus simples, par la considération des plans diamétraux et de leurs cordes conjuguées , dont l'emploi , si avantageux dans plusieurs circon* stances, est dû à M. J. Binet, je discute successivement les cinq genres de surfaces de cet ordre ; mais j'insiste principalement sur le&, divers modes de génération par la ligne droite qu'admettent plusieurs de ces surfaces, qui , par là, deviennent d'un usage fréquent dans la Coupe des pierres et dans la Charpente. Les sections circulaires , qu'il est aussi quelquefois nécessaire d'employer , me fournissent l'occasion de redresser une erreur assez généralement répandue sur la direction précise des plans qui les donnent; et, dans la discussion immédiate d'une équation numérique du second degré, j'ai assigné des caractères simples et exclusifs pour chaque genre particulier de surfaces ; puis , en imitant la marche de M. Cauchy dans ses Exercices^ j'ai rattaché à la théorie des cordes principales les conditions qui expriment que la surface est de révolution.

Le chapitre des plans tangents m'oflfre l'occasion de rectifier les idées souvent fausses que les élèves se forment du contact d'une surface avec un plan; et d'ailleurs c'est le moment d'établir avec précision la différence essentielle qui existe entre les surfaces gauches et les surfaces développables , quoique les unes et les autres soient réglées^ c'est-à-dire engendrées par la ligne droite. Dans les deux chapitres

AVE&TISSKHENT. VU

qui suivent, je donne les équations générales de ces deux classes de surfaces, ainsi que celles des cônes, des cylindres, etc. ; et j'ai soin d'y ajouter de fréquents exemples , en choisissant particulièrement les surfaces gauches, développables ou de révolution , dont on fait usage dans le Cours de Géométrie descriptive. Je m'occupe ensuite de la courbure des sections faites dans une surface, et de ses lignes de courbure ; car ce sont là des données dont l'emploi est encore nécessaire dans plusieurs parties de ce Cours ; puis , en faisant connaître les beaux résultats que Monge a obtenus pour les lignes de courbure de l'ellipsoïde, j'ai complété la théorie présentée par cet auteur, en démontrant que la constante arbitraire qu'il nomme S devait nécessairement recevoir, pour chaque point de l'ellipsoïde, deux valeurs de signes contraires , tandis que l'autre constante 7 devait toujours être de signe opposé à 6 , pourvu que la projection fût £aite sur le plan qui contient Y ^xemojcimnm et l'axe moyen. Il est d'autant moins permis d'établir gratuitement ces relations entre S et y, qu'elles ne sont plus vraies quand on applique la même équation à la projection des lignes de courbure sur le plan qui contient l'axe maximum et l'axe minimum ^ ce qui s'effectue sans rien changer aux calculs , mais en modifiant seulement la grandeur relative des trois demi-axes désignés par a, 6, c. C'est cette marche que j'emploie pour obtenir la seconde projection des lignes de courbure; et par là je trouve l'occasion d'utiliser un^