O'M' O'N' OM ON

Lorsque ces conditions se trouvent remplies pour deux centres de similitude O et O', il en existe une infinité d'autres. En effet, prenons un point I arbitraire, et tirons parallèlement à OI, la droite OT sur laquelle nous porterons une longueur telle que

OT alors on démontrera aisément par des triangles sembla-

t4^ ' ' GHAPIT&B IXv i

bles, que les rayons vecteurs IM et l'M', IN el TN', . . . sont respectivement parallèles et ont entre eux le rapport k: par conséquent les points I et I' seront encore deux centres de similitude correspondants.

i83. Il est bon d'observer que, dans les courbes sentrhiables déforme et de position', lés tangentes aux extrémités de deux rayons vecteurs Homologues OM et CM', sont toujours parallèles entre elles. En effet, les triangles OMN et (XM'N', évidemment semblables, prouvent que les sécantes MN et M'N' sont parallèles ; or, conmie cette .çelatiop. contini^era de subsister à mesure qu^ les ravons ON et O'N' formeront ^avec les droites fixes OM et O'M', des angles plus petits, mais toujoi^rs égaux entfc e^x, .il s'ensuit que quanjd ces angles deviendront nuls ensen^le;, alors les sécantes^ réduites à des tangentes, se troiiyproi^t encore parallèles.

1^4. Si les rayons vecteurs qi^i ^nt proportionnels n'étaient pas respectivement parallèles, mais du moins formaient des angles égaux avec deux droites fixes OX et O'X', de direction différente, les courbes seraient semblables de forme seulement, et non de position. Alors, pour rétablir la similitude sous les deux rapports, il suffirait évidemment de faire tourner la seconde courbe au- U)fjip,4?^ Q/î 4'w^ qu^fttité angulaire marquée par Fangle compris entre Içs dro^^ep O^t et Q'X'. ...

Ei;i^n,,^,;ap]:ès ceUA rotation , pn transp^i^ai^ la féconde, co^rbe parallèlement àjeUç-même^ de manière à faire coïncider le point O' avec O, les deux courbes semblables deviendraient concentriques j quant à leur centre de similitude.

185. Pour exprimer analytîquement les conditions de la similitude déforme et de position, représentons par

THEO&iMES SUB LA. SIIULITDDK. DES COUEBES, CtC. l43

leséqvatâoiudeadeux courbes rappprtée^ iiu]| mêmes ftoqss» ^elboncpuBS'OX, OYf alors, .eu adoptant :pour oeixieéeFiG, ^5. similitude de la première /€Ourbe.l!origiiiaeiiû des< cdoiv* donuëes ^ ; U devra eiiister dans. Ja^^eoctnde tîin ; centre: edxw rfsspoudan^ O'^ 4ont nous* d«$igner.6iisiilea.eQbrdimBëe8 inconnues par a, S* Or les triangtes aemblables MOPiet M'O'P' montrent qu'on exprimera ^complètement la^pro^ portionnalité et le parallélisme des rayons OM etO'M', en posant les deux conditions .. ■.:,..)

ou bien

dans lesquelles k est une constante inconnue , mais essentiellement positivée ^ à moins qu'oi^ ne voulût admettre une similitude inverse, dans laquelle les rayons vecteurs pir<^ortionnels auraient des directions .précisémentî oon* traires \ car, dans ce cas , les numérateurs des fraetiona (3) et (4) devraient être remplacés par a — x' et 6 — y\ ce . qui reviendrait à supposer k négatif.

Cela posé y puisque les coordonnée! des deux courbes semblables (i) et (2) doivent avoir entre elles les relations (3) et (4) , si Ton tire de ces dernières les valeurs de X et jTy pour les substituer dans (i), le résultat

devra ée trouver identique avec Téquation (2) ^ car Tune et'Fautre expriment une relation entre les coordonnées de la seconde courbe rappoi'tée aux mêmes axes. Il faudra donc, dans chaque exemple, ordonner et identifier les

l|4 GHAFITRX IX. - •

écjuaùons (2) et (5)^, puis, voir si Ton peut satisfidre aux conditions qu'amènera cette opération, par des valeurs réelles et finies des constantes inconnues a, 6 et A. Toutefois; la. dernière; de ces quantités peut être imaginaire, sans que la similitude cesse d'exister sous le rapport ana-» ly tique, ainsi que nous le verrons plus loin, dans les hyperboles conjuguées (n^ 190).

486. Appliquons cette marche à deux courbes du second degré , représentées par

(6) Aj' -h Bxx -+^ O^ -H Dr -h E^ -»- F = o,

(7) A>'^ -H B'xy -h C'x" -f- DY -h E'x' 4- F' =r o.

En substituant dans la première , pour x et y , leurs valeurs tirées des relations (3) et (4) , il vient

(8) Â./' -^ B<r'+ Gr'»-hy (Dit— 2 A6—Ba)'-h^ (EJt— ïxCa— B6)

+ (A6' 4- C<x? 4- Ba6 — km — itEa + FA') = o,

équation qui , devant être identique avec (7) , exige que Ton ait les cinq relations

A Dk — 2A€ — Ba A' D'

A EX^ — 2Ca -~ B6

A ^ A6' H- Ca» 4- Ba6 -