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mais comme il y entre trois inconnues a , S et & , les con ditions de similitude , proprement dites , seront au nombre de deux, qui s'obtiendront par l'élimination des in-

THÉORÈMES SUR LA SIMTLITUDR DES COURBES, etC. l45

connues^ et d'après Tordre adopté ci-dessus, ce sont les équations (9) et (10). Les trois autres serviront à déterminer a, 6 et Af, c'est-à-dire le centre et le rapport de similitude , conune nous Pexpliquerons bientôt.

187. Il résulte des conditions (9) et (10) que deux courbes du second degré sont semblables et semblablement placées, quand les coefficients des trois termes du second ordre j sont respectivement proportionnels dans les deux équations ; et comme en posant

il en résulte

B» — 4AC =r A»(B'^ — 4A'C'),

on voit que ces binômes caractéristiques se trouveront de même signe , c'est-à-dire que les deux courbes semblables seront toujours du même genre.

D'ailleurs, si Ton conçoit la courbe (6) rapportée à ses diamètres principaux, on aura évidemment

et pour que la seconde soit sembla^e , il faudra admettre

que

B' = o, et p = ^,

ce qui exprime évidemment que les deux axes de cc//r-ci sont parallèles à ceux de la première, et que les uns sont proportionnels aux autres,

188. Dans le cas de deux paraboles, si l'on conçoit la première rapportée à son axe principal et à son sommet, on aura dans (6) /

l46 GHAPITAK IX.

et pour satisfaire aux conditions (9) et (10) , il faudra ad' mettre que

ce (jui indique que l'axe de la seconde parabole est parallèle à celui de la première , mais ne fait rien connaître sur

A la valeur du rapport — . D'où il suit que deux paraboles

dont les axes se trouvent parallèles j sont toujours semblables de forme et de position , quels que soient leurs paramètres*

n en résulte aussi que deux paraboles quelconques sont toujours semblables, du moins quant à la forme, puisqu'on peut (n° 184) faire tourner Tune de manière à rendre les axes parallèles entre eux.

189. Revenons maintenant aux équations (6) et (7), relatives à des axes quelconques , et en supposant remplies les conditions (9) et (xo), calculons les inconnues a , 6 , Xl. Si , pour simplifier, on pose

les équations (11), (12), (i 3) deviendront

(i4) 2A6 4- Ba = D^ — D'A,

(i5) 2Ca -^ B6 = E^ — E'A,

A6» + Ca» -+- Ba6 — D6/t — Ea>t = F'A — F>t%

dont la dernière, combinée avec les autres, peut être remplacée par la suivante qui est du premier degré

en a, 6 :

{16) 6 (Dit -f- D'A) -H a(Eit -h Z'h) = 2(F/t» — F 'A).

THiOEiMES SUR LA SIMILITUDE ÛES GOUEBEÀ, etC. l^*)

Alors on tire de (i4) el (i5) les valeurs