B^ - 4AC

,0. g B(E^~E^A) - 2C(D^ - D^A) ^ ^ B' — 4AG '

puis , en substitiiant dans (16), on obtient , après tpseU ques réductions, une équation du second degré à deux termes , qui donne

, 4 /~ âF(B"-> 4A^C0 ^E'iBTy-iiA.'E') - D^B^E^— aC^DQ («9) *- V^- aF(B»-4AC) -E(BD - aAE ) -D(BE ^aCD )'

Cette valeur unique, puisque (n® 185) on doit prendre À positivement, ne fournira , dans les expressions de a et 6^ qu'un centre unique qui corresponde à l'origine O des coordonnées , adoptée pour centre de similitude de la première courbe -, mais pour que a et 6 soient réels , il faudra en général que k soit aussi réel, condition qui ne dépendra point de la quantité numérique A, toujours positive, si Ton a eu soin de rendre tels les coefficients A' et À.

190. Toutefois , observons que le rapport de similitude k pourrait être imaginaire, et a, S réels , si dans les expressions (17) et (18) le coefficient de Ti se trouvait nul : et pour faire comprendre comment , dans un pareil cas , les conditions analytiques de la similitude continuent d'être remplies, nous citerons l'exemple de deux hyperboles conjuguées^ représentées par

Ovl trouvera ici

l48 CHAPIT&E IX.

ce qui indique que les deux centres de similitude coïncî-' dent avec le centre de figure commun aux deux courbes. Or, si de ce point on mène deux rayons vecteurs parallèles , terminés respectivement aux deux hyperboles , on verra que Tun est imaginaire quand Fautre est réel , et réciproquement ; mais en calculant leurs expressions analytiques, on trouvera qu'elles sont de la forme

de sorte qu'il sera vrai de dire que leur rapport est constant et égal à y' — i .

191 . Les diverses sections parallèles faites dans une même suffuce du second ordre ^ sont des courbes semblables de forme et de position. Considérons d'abord les surfaces douées d'un centre , et combinons leur équation générale

(20) Px* -h Py + P'V = H

avec celle d'un plan quelconque

(21) z :=: ax -^ by -^ 9.

En éliminant z , la courbe d'intersection , projetée sur le plan XY, sera représentée par

(22) (P -h PV):c» 4- (P' 4- l?"b')x' -f- nV'abxy -h 2P''û^jp -f- 2V"b$x 4- P"^» — H = o ;

et pour obtenir la section faite par un autre plan

z = ax -^ by -j- ^',

parallèle au plan (21), il suffirait évidemment de remplacer â par â\ dans l'équation (22). Or ce changement

THiOBÀMSS SUR LA ftlVILlTUIlB DBS COUEBES, etC. l/^g

n'altérant pas du tout les coefficients des termes du second degré qui sont ici indépendants de â^ il s'ensuit que les conditions (9) et (ïo) du n® 486 se trouveront bien vérifiées; et par conséquent (Jig» ^5) les projections MU . ..^^^' ^' et M'N'. . . des deux sections parallèles ^ero/if^emft/lflft/e^ déforme et de position. J'ajoute qu'il en est de même de ces courbes dans l'espace \ car si , par les rayons vecteurs parallèles OM et O'M', ON et O'N', . . . , on mène des plans verticaux , ils couperont évidemment les plans des deux sections suivant des droites parallèles deux à deuXj et que je désigne par om et oW, on et oW, . . . En outre ^ il est facile de voir que l'on aura entre ces droites et leurs projections les relations suivantes (n*^ 67)

OM = om . CCS a , ON = on . ces 6, . . . , O^' = oW.cos a , O'N' =r oV.cos 6, ... ;

mais comme la similitude des deux courbes MN ... cl; M^N'. . . donnait les rapports égaux