OM ON

on conclura des égalités précédentes la. nouvelle suite derapports égaux

om on

o'/w' oV

ce qui démontre bien la similitude de forme et de position , pour les courbes nin. , . etm'n\.. situées dans l'espace.

192. Pour trouvei* le lieu des centres de toutes'i^es sections parallèles au plau (21)9 observons que le centre d'une courbe dans l'espace se projette toujours sur le centre de

l5o CU^PITJLB IX.

la projection. Or, celui de la courbe (22) sera donné, CQlniiiJa pour une surface du sedond d^ré (n*^ 9S1) , en éga« lant k zéro les déniées relatives à a: et ky^ c'est*-à-dire par les équations simultanées

(23) (P -h P'V)j: + P'^abjr + p'W = o,

puis , en y joignant Téquation

(21) z =z ajs -h bjr -\^ S

du plan sécant, dans lequel doit être évidemment situé le centre cherché , on pourrait calculer les trois coordonnées du centre de la section qui , dans Tespace , répond à une valeur donnée de c^. Mais si , au contraire, on élimine cette constante , variable d'une section à une autre , entre les équations (21), (28) et (24), on obtieQdra le lieu de tous les centres des sections parallèles ^ or, en tirant de (2 1) la valeur de â pour la substituer dans (28) et (24) , on trouve

(25) Px 4- V^'az = o ,

(26) vy 4- J?''bz = 0,

c'est-à-dire une droite passant par l'origine <les coordonnées, qui est ici le centre de la surface (20) : donc le lieu des centres de toutes les sections parallèles est un diamètre de la surface,

193. Il est bon d'^observer que ce diamètre est conjugué avec celui des plans sécants qui passe par le centre de la surface. En effet, les équations précédentes revien-'. oient à-

P"fl P"6

X z=z — — --- z =z mZy X = ^fj- ^ = ^^x

THiOEÈMES SÛR LA SIMILITUDE DES GOUEBES, etC. iSt

et réquation du plan diamétral conjugué avec ce diamètre , étant en général (n** lOS) de la forme

ojc djr dz

elle deviendra pour la surface (20) ,

Vmx -h PV -^ P"« = o;

puis , par la substitution des valeurs précédentes de m et de n , elle se réduira à

^ =^ ûj? H- by^

qui représente bien un plan parallèle à celui de l'équation (lii).

194. Lorsque le plan sécant (ai) a une direction propre à donner des sections paraboliques , on pourrait se demander comment les centres de ces courbes se trouveront sur le diamètre (sS) et (26) ; mais si Ton chercbe la condition nécessaire pour que Féquation (22) représente une parabole, on verra qu'elle rend en même temps ce diamètre parallèle au plan sécant , de sorte que leur rencontre , qui aurait dû donner le centre de la courbe y n'a ef-* fectivement lieu qu'à l'infini.

195. Quant aux surfaces dépourvues de centre, qui sont toutes deux comprises dans l'équation

(27) />y + pz" ^ pp'xy

la section faite par un plan quelconque

(28) X z=: by -Jr cz -ir By

aura pour projection sur le plan YZ ,

(29) /?y 4* /?«' — pp'h — pp^*^^ — pp'^ = o ;

l52 C|iAPITR£ IX.

et puisqu'cii faisant varier â seulement, les coefficients des termes du second ordre né changent pas , on en conclura , comme au n** 191 , que les sections parallèles sont, dans Fespace, semblables et s emblablement placées.

196. Le centre de la courbe (29) sera déterminé par les dérivées de son équation , égalées à zéro , savoir

(3o) 2/ — pb = 0,

et le centre de la secfion dans Tespace s'obtiendrait en joignant à celle-ci Téquatiom du plan sécant ; mais puisqu'il faudrait (n^ 192) éliminer entre elles la constante i pour avoir la ligne des centres , il s'ensuit que cette ligne est déterminée par les équations (3o) et (3i), qui se trouvent ici indépendantes de i. Or, comme ces équations représentent une droite parallèle à Taxe OX du paraboloJide , on doit en conclure que le lieu des centres des sections parallèles est encore un diamètre de la surface , d'après ce que nous avons prouvé au n^ 167 sur les diamètres des paraboloïdes.

197. On verra aisément qu'ici le diamètre, lieu des centres, a son plan diamétral conjugué situé à une distance infinie , et que ce diamètre disparait lui-même lorsque le plan sécant a une direction propre à donner des sections paraboliques. En effet, pour obtenir de telles courbes , il faudrait (n*** 159 et 163) rendre le plan sécant (28) parallèle à l'axe OX , ce qui s'effectuera en posant

et ensuite « = o • mais comme cela revient à faire è == qd

THÉoaiMES Sun la similitude des C0UEBES9 etc. i53

et c =::: 00 , on voit qu'alors le diamètre représenté par les équations (3o) et (3i) s'éloigne tout entier à Finfini.

198. On peut déduire de ce qui précède, un mode de génération commun à toutes les surfaces du second degré, et qui en fournit la définition la plus propre à se prêter aux constructions graphiques de la Géométrie descriptive. Concevons que dans une eUipse ABDE, on ait tracé un Fie. 06. diamètre quelconque AD, et Tune de ses coides conjuguées BE : puis que , dans un plan passant par cette corde et incliné d'une quantité arbitraire sur le premier, on ait construit une seconde ellipse BCE ayant pour diamètres conjugués la corde BE et une ligne quelconque sOC^ alors, si l'on fait mouvoir cette dernière ellipse parallèlement à elle-même, de manière que son centre O parcoure la droite AD, et que, ses diamètres conservant un rapport constant, le premier devienne successivement égal aux diverses cordes B'E', B"E",. . ., on engendrera une surface qui sera évidemment un ellipsoïde , puisqu'elle sera le lieu de sections parallèles , semblables entre elles , et ayant leurs centres sur le diamètre AD, lequel sera conjugué avec le plan mené par le centre O'', parallèlement à l'ellipse mobile.

Si, d'ailleurs, on veut confirmer cette conséquence par un calcul direct , on imaginera trois axes coordonnés obliques , menés par le centre O'', parallèlement à OA , OB , OC \ l'ellipse directrice sera représentée alors par les équations

et Tellipse variable par

l54 GMAPITaX IX.

mak pour qu'elle ait un point commtm avec la première , et que ses diamètres conservent un rapport constant , il faudra j joindre les relations

alors, en éliminant de ces quatre équations les constantes vatiables a, i', c', on arrivera aisément à

X^ yî ;ja

i99. Pour obtenir, par ce mode de génération, les deux liyperboloïdes , il suffirait de remplacer l'ellipse directrice ABDE par une hyperbole dont AD fut un diamètre imaginaire, ou bien un diamètre réel. Quant au paraboloïde elliptique, il faudrait prendre pour directrice une parabole \ et si en même temps on substituait à la génératrice BCE une hyperbole dont BE fût le diamètre réel, on obtiendrait le paraboloïde hyperbolique. Seulement il faut observer , dans ce dernier cas, que l'hyperbole mobile arrivée en A se réduirait à ses asymptotes , et qu'au delà, la corde BE = 2J' devenant imaginaire^ l'hyperbole se renverserait. Eh eflet, ses diamètres aJ'

et 2c' ^ — I devant conserver un rapport constant , le second deviendra ac' quand le premier se changera en

26' ^ — I : ces circonstances sont d'ailleurs conformes i la nature du paraboloïde hyperbolique. (Voyez la Géométrie descriptive ^ n^ 89.)

200. Similitude des surfaces. Deux surfaces d'un degré quelconque sont dites semblables déforme et de position, lorsque, après avoir mené dans la première

THÉORÈMES SUA LA 91X1UT0DB DES COURBES, etC. l55

divers rayons vecteurs parunt tous dW même point arbitraire, on peut trouver dans la seconde un point tel que les rayons vecteurs de cette surface , dirigés parallèlement aux premiers et dans le même sens , aient avec ceux4à un rapport constant.

D'après cda, si les surfaces rapportées aux mêmes axes coordonnés sont représentées par

et si l'on désigne par (a, 6, y) le centre de similitude qui 9 dans la seconde surface , correspond à l'origine des coordonnées prise pour centre de la première , on verra aisément , comme au n^ 1 85 , que les conditions du parallélisme et de la proportionnalité des rayons vecteurs sont exprimées analytiquement par les relations

x' — (x. r'--6 z' — 7 (32) = /', -=:it, ^ = ^;

de sorte qu'en tirant de là les valeurs de a: , j^, z , pour les substituer dans F (jc , ^, z ) = o , le résultat devra pouvoir être identifié avec F' {x\y\ z') = o.

201 . Si l'on applique cette marche à deux surfaces du second degré , représentées par

(33) Aj:»-+-AV*-|-AV-f-Br«-HB'jr5H-B''a:r-hCarH-C'r-+-C''5-t-E = o,

(34) a** -h a>* -h « *£• -+- hyz H- h'xB -+- h "xjr -4- car -h c'y -h c"* -|- e = o,

on trouvera, pour établir l'identité comme au n^ 186, neu^équations dont les cinq premières , savoir ,

seront indépendantes des inconnues (x, 6, y, Jin, et par

conséquent exprimeront les véritables conditions de la similitude^ les qi^tre dernières serviront à déterminer ces inconnues, quand les conditions (35) seront remplies.

202. On prouvera aisément, comme au n*^187, que les relations (35) expriment que les deux surfaces (33) et (34) ont leurs axes principaux respectivement parallèles et proportionnels. H en résulte évidemment que deux jjjwimètres menés dans ces surfaces sous la même direction, auront leurs plans diamétraux conjugués parallèles Tun à l'autre.

203. Quand les deux surfaces (33) et (34) satisfont aux conditions de similitude (35), et qu'elles se coupent, la ligne d'intersection est toujours plane. En effet, si l'on pose

et qu'on multiplie l'équation (34) par h , pour la retrancher de (33), il restera

(C — ch)x H- (C — c'h)y + (C" — c"A)z + E — M = G ;

équation dun plan qui, combinée avec une des deux proposées , devra donner tous les points communs aux deux surfaces : mais si ce plan ne les rencontre pas , l'intersection sera imaginaire.

On peut d'ailleurs observer que le plan de la courbe de section se trouve parallèle au plan diamétral qui, dans Tune ou l'autre surface , est conjugué avec la droite menée par les deux centres^ et pour s'en convaincre plus aisément, on supposera que les axes coordonnés sont choisis parallèles aux axes principaux, ce qui ne change rien à la situation relative des surfaces. FiG. 27. 204. Lorsque deux surfaces d'un ordre quelconque

THÉORÈMES SUE LA SIMILiTUDfi DES COURBES, CtC. îS'J

sont semblables de forme et de position, et que leurs centres de similitude coïncident en O, si on les coupe par deux plans parallèles MNP, M'N'P', dont les distances au point O soient dans le rapport i : k des rayons yecteurs homologues , les sections ainsi obtenues seront nécessairement des courbes semblables. En effet, les rayons OM, ON, OP, . . . menés aux différents points de la section faîte par le premier plan, sont Rencontrés par le second en des points qui donnent évidemment les relations

OM'""ON' k'

et par conséquent les points M', N', F, . . . . sont bien sur la deuxième surface. D'ailleurs, en projetant ces rayons parallèlement à une droite quelconque Oco'o), on aura aussi entre les projections , les rapports

donc les deux sections sont semblables, et leurs centres de similitude sont en ct> et (ù\

205. Supposons en outre que les surfaces en question soient du second degré, que O se trouve leur centre de figure, et que la droite arbitraire Ow'co soit le diamètre conjugué avec le plan diamétral parallèle aux plans sécants : les points o) et w' deviendront (n** 193) les centres de figure des deux sections. Mais le plan MNP coupera la seconde surface suivant une courbe mnp semblable avecM'N'F (n*^ 191), et par conséquent semblable avec MNP, et dont le centre sera en &>. D'où il résulte que deux surfaces du second ordre, concentriques et semblables de forme et de position y sont coupées par un

l58 CHAMTlLlB iX.

même plan quelconque suivant des courbes seinblables , semblablement placées et c(moentriqiu3s.

Cette proposition s^applîque avec avantage dans plusieurs questions de Géométrie descriptive, et entre autres à Thyperboloïde comparé avec le cône asymptote qui lui est semblable (n^ 138); on en conclut que, pour trouver le centre et V espèce de la section que produira dans la prunière surface un plan sécant donné, il suffit de chercher le centre et Tespëce de la section produite par le même plan dans le cône asymptote, ce qui offre une construction facile, et quelquefois la seule praticable.

206. On s'appuie souvent aussi, dans la Géométrie descriptive, sur une propriété des surfaces du second ordre qui ne suppose nullement leur similitude, et dont voici l'énoncé.

Lorsque deux surfaces quelconques de cet ordre se cou" peut suivant une courbe plane ^ laquelle est par conséquent du second degré, il existe en général une autre ligne d'intersection, puisque la combinaison des équa-^ tions des deux surfaces conduirait à un résultat du quatrième degré : or, cette seconde section est également plane ^ et c'est ce qu'on exprime en disant que , quand la COURBE d'entrée cst plane y la courbe de sortie Fest pareillement.

Fbur justifier cette assertion , il ne snflGbrait pas de dif*e que l'équation finale du quatrième degré résultant de l'élimination d'une des variables, devra, dans l'hypotliMèse admise, se décomposer en deux facteurs dont un j^avtiemifi à la courbe d'entrée , et dont l'autre soit par conséquent aussi du second degré : car cela prouverait seulement que la courbe de sortie 5e projette suivant une ligne du second ordre, mais ne ferait rien connaître de

THio&EMES SC& lA SIMItITUDE DES COUEBES, etC. iSg

certain sur la nature de la section dans Tespace. Conce» voais donc les deux surfaces rapportées à tit>is plans coor*^ donnés, dont un, par exemple le plan XY, soit celui de la courbe d'entrée commune aux deux surfaces (*); et dans cette hypothèse, représentons leurs équations par

(36) Ax*-hA>»-+-AV-+-Elr*-HB'x«H-B''jiry-+-Cr -j-Oh-C^H-Esso,

(37) «ar* -*- a(r* -+- « V-h hys-h Vxz -f h'xy -f cjt -h c'y H- <? *« 4- c =0.

Il devra exister alors , entre les coefficients, certaines relations provenant de ce que les deux surfaces ont une courbe commune située dans le plan XY \ en effet , si Ion pose z = o , il faudra que les deux équations

A^* 4- Ay -h W'xy -4- O -f- Cr H- E = o, aa^ + û'/* -f- h^xy -|- ex + c'y -f- ^ = o,

soient identiques, et par conséquent les coefficients de Tune ne devront différer de ceux de Fautre, que par un certain facteur commun X ; ainsi on aura nécessairement les conditions

(38) K = ak, A! — a'\, B" = *"X, C = a, C' = c'X, E=:a.

Cela posé, pour obtenir Tintersection complète des deux surfaces (36) et (37), combinons leurs écpations, en multipliant la seconde par X et la retranchant de la première ; il restera , en ayant égard aux relations (38),

(39) (A''— «n)z»4. (B — h\)yz-^ (B'— h'\)xz 4- (C"— </'\) z =0 .

Cette équation représente une nouvelle surface qui contient encore tous les points communs aux proposées j et

''^*^— ^^■^'^"*^^^— ^■— *^— — ' ■ '■ ' l^»--B U l ^^y^i— ^ mmi^ ^ iM^^

{*) Cette démonstration , remarquable par sa simplicité et sa rigueur^ est due k M. Biaet, aiati que la remarque du n^ JMI9.

l6o CHAFITRt IX.

qui, combinée avec Tune d'elles, fera connaître les diverses branches de Tintersection cherchée. Or Téquation (39) se décompose en ces deux-ci

dont la première fera retomber sur la courbe d'entrée; tandis que la seconde, qui représente évidemment un plan, ne pourra donner par sa combinaison avec (36) qu'une courbe de sortie plane *

207. Toutefois il peut arriver que cette seconde section n'existe pas ; car, si les coefficients des trois variables dans l'équation (4o) étaient nuls ensemble, ce plan se trouverait tout entier à une distance infinie, et l'on rentrerait dans le cas du n^ 2Q3, puisque les surfaces satisferaient évidenmient aux conditions de la similitude. D'ailleurs, sans admettre ces hypothèses très -particulières, s'il arrive que le plan (4o) ne rencontre pas la surface (36), la courbe de sortie sera imaginaire; mais toutes les fois qu'elle existera, elle sera plane.

208. Il est un cas particulier qui offre une circonstance remarquable : c'est celui où l'équation (4o) se réduirait d'elle-même à

(A" — a"\)zz=z o ou a = a,

ce qui ferait coïncider la courbe de sortie avec la courbe d'entrée. Alors il ne faut pas croire que les deux surfaces proposées se coupent suivant une seule branche plane , comme cela arrivait dans le cas de la similitude (n^ 203) ^ mais , à cause des deux racines égales qu'admet l'équation (89) réduite ici à 5' = o, on doit dire qu'il y a deux branches d'intersection réunies ensemble , et qu'ainsi les surfaces sont tangentes entre elles tout le long de cette

THÉO&ÈMES SUR LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. l6l

courbe commune. Dans ce cas , les deux surfaces sont dites circonscrites Fune à Vautre le long de la courbe située dans le plan XY, comme un cylindre ou un cône est circonscrit à une sphère le long d'un cercle.

209. Observons enfin que quand deux surfaces quelconques du second ordre ont un plan principal de commun ^ quelle que soit d'ailleurs la position des axes principaux, la ligne d* intersection est toujours projetée sur ce plan principal suivant une courbe du second degré.

En effet, si Ton conçoit les deux surfaces rapportées à trois plans coordonnés rectangulaires, dont un, par exemple le plan XZ , coïncide avec le plan principal qui est commun aux deux surfaces, leurs équations ne devront alors renfermer (n** 101) aucune puissance impaire de la variable y^ et seront de la forme

Ax" -f- Ay H- A'V -h B'.r2 -f- Cx 4- C"z -f E = o , €ix^ -4- a'x^ -f- a'V -h b^xz -f- cr -|- c"z-^ <? = o ;

de sorte que si on les retranche , après les avoir multipliées respectivement par a et A', la coordonnée y se trouvera éliminée, et il restera une équation du second degré pour la projection de l'intersection sur le plan XZ. Cette remarque peut servir dans V Épuré relative à l'intersection de deux surfaces de réi^olution dont les axes se rencontrent^ puisque alors tout plan méridien est nécessairement un plan principal, et que celui qui passe par les deux axes , est évidemment commun aux deux surfaces proposées.

l62 CHAPITRE X.

Des Sections circulaires dans les surfaces du second

ordre.

210. Il s'agit d'examiner si toutes les surfaces du second ordre peuvent être coupées suivant des cercles , par des plans convenablement inclinés \ et comme , dans ces surfaces, les sections parallèles entre elles sont toujours semblables j il suffira de chercher parmi tous les plans menés par un même point, le centre ou le sommet, quels sont ceux qui donnent des sections circulaires.

211. Les surfaces douées d'un centre sont représentées par l'équation générale

(i) Vx" -+- Py -h V"z^ = 4- H,

où nous supposerons toujours que H a été rendu positif, et qu'il existe entre les coefficients des variables , les relations de grandeur

Lorsque ces relations qui n'excluent pas régalité, et où. nous tenons compte des signes de P, P', P", ne seront pas vérifiées par l'équation donnée , il suffira d'y remplacer X par j^ ou par z , pour retomber sur l'hypothèse actuelle : et comme d'ailleurs un, au moins, de ces coefficients doit être positif, ce sera P qui remplira toujours cette condition ; de sorte que les longueurs absolues des

DES, SECTIONS CIRCULAIRES DANS' LES SURFACES , etC. l63

axes ou diamètres principaux, seront données par les équations

212* Cela posé , si nous menons par le centre , qui est ici l'origine des coordonnées , un plan quelconque , et que nous voulions obtenir la section même , et non pas seulement sa projection , il faudra recourir aux formules établies n** 85 5 savoir,

jp = jr' cos f H- J^' C08 . sin f , j^ = jî' sinf — j' cos ô.cos y, z =r j^' sin ,

où les coordonnées x\ y\ sont parallèles aux deux axes rectangulaires OX', OY', situés dans le plan sécant {^fig* i5), et dans lesquelles 6 désigne Tinclinaison de ce plan sécant sur le plan XY, et 9 Tangle que forme sa trace avec Taxe OX. En substituant donc dans (i), et supprimant les accents , il vient

(4) Pcos'ç

Fsin»

x^ + 2PCOS f ftin f cos 6 — 2P'cos f sin ^ cos

d?xH-Pco**Osin*y -hFcos'Ôcos*^ ^F^sin^e

Pour que cette équation en coordonnées rectangulaires représente un cercle , il faut et il suffit que le rectangle des variables disparaisse , et que les carrés aient des coefficients égaux; on doit donc satisfaire aux conditions

(5) (P — FJsiny cos©cose = o,

(6) Pcos^ (j) -hP'sin>=cos«e(Psin*ç +P' cos^+P'^sin^ 0.

Or, comme P et P' sont en général inégaux, on ne peut

lg/ CHAPITRE X.

vérifier la première que de trois manières :

sin f = o , cos ^ = o , ou cos = 0.

L'hypothèse sin 9 = o , réduit l'équation (6) à

p' f. P'^ tangue

P = P' cos^O 4- P"sin'0 = — ; ^,

I + tang'9

d'où Ton déduira la valeur de tang 6, que nous emploierons de préférence au sinus , parce que les résultats seront plus symétriques et plus simples à discuter : puis, ec opérant de même pour les deux autres hypothèses , on obtiendra les trois systèmes de valeurs qui suivent :

/P' — P sin (p = o avec tang ô = ±: y pZTp^ »

(8) cos «p =: O tang 9

(9) cos e == O tang f = ±: y ^, ^ '

Dans le premier système, le plan sécant passerait par Taxe OX^ dans le second, qui se déduit du premier en changeant P en P', le plan passe par OY ; et enfin il passe par OZ dans le troisième système , qui se déduit du second en y changeant P*^ en P".

D'ailleurs , si nous négligeons , dans Féquation (5) , la solution fournie par Thypothèse particulière P — P' = o , c'est qu'elle conduirait évidemment dans (6) au même résultat que les formules ( 7) et (8) quand on y pose P = P'-

213. Maintenant, la discussion des valeurs obtenues pour les angles et y, devient bien facile par les conditions (2) admises précédemment -, car on voit tout de

DES SECTIONS CIRCULAIRES DANS LES SURFACES, etC. l65

suite que les formules (7) et (9) sont nécessairement ima-^ ^noires, quand P, P', P", sont inégaux, et qu'elles ne donnent rien de plus que les formules (8), lorsque quelques-uns de ces coefficients sont égaux entre eux. Il ne reste donc , pour déterminer un plan sécant propre à donner des sections circulaires , que les valeurs

(8) cosf = o, tango =± y ^r^^i, ^

lesquelles montrent que ce plan doit passer par Vaxe OY, et qu'il peut avoir deux positions symétriques , représentées par la double équation

(lo) z=zx liiTi^^^ =±x y^f—^'y

mais il importe d'examiner quel est , dans chaque surface douée d'un centre, celui des dianxètres principaux qui coïncide avec l'axe OY par lequel doit passer le plan sécant.

214-. Ellipsoïde. Ici les trois coefficients P, P', P'', sont tous positifs , et la condition admise

P>P'>P'' revient à «<6<c;

de sorte que le diamètre principal ai qui coïncide avec OY, est Vaxe moyen de l'ellipsoïde \ d'ailleurs l'inclinaison du plan sécant devient

tangô^dr-y/j,-^,,

quantité facile à construire 5 mais il vaudra mieux déterminer graphiquement la trace du plan sécant sur Tellipse

l66 CHAPITRE X.

qui a pour axes sa et 2c, et Ton verra bien qu'il suffit de chercher dans cette courbe un diamètre qui soit égal à ab,

215. Lorsque rdlipsoïde est de réifolution, on ne peut admettre, d après la relation (2), que les égalités suivantes :

P = P', d'où a ^ by

ou bien P'= P'^ d'où b =z c,

dans Tune et l'autre hypothèse, les deux valeurs de 6 se réduisent à une seule , = o ou = 90**, ce qui annonce que le plan sécant n'est plus susceptible que d'une position unique , dans laquelle il passe par les deux axes égaux.

216. Enfin , si l'on avait P = P' = P'', la formule (8) donnerait pour 6 une valeur indéterminée^ et en outre il en serait de même de l'angle y , car alors les équations (5) et (6) se trouvent vérifiées identiquement. Dans ce cas , tout plan sécant quelconque donnera donc une section circulaire; et en efiet, la surface (i) devient alors une sphère,

217. Hyperboloïde à une nappe. Pour cette surf ace , un seul des coefficients est négatif, et ce doit être P " d'après la relation (2) -, d'ailleurs cette même relation , combinée avec les équations (3) , entraine la condition a <i , sans rien faire connaître sur la grandeur absolue de c. D'où il résulte que le diamètre principal 26 par lequel passe le plan sécant qui donne des sections circulaires, se trouve ici le plus grand des deux axes réels) mais il peut être plus grand ou plus petit que 2c. La position du plan sécant se déterminera graphiquement conmie au n^ 214.

218. Pour rendre l'hyperboloïde à nappe de réi^olution^ il faut admettre que les deux coefficients de même

UBS SECTIONS CIRCULAIRES DANS LES SURFACES, etC. 167

signe, P et P', sont égaux-, et alors la formule (8) donnant d=o, montre que le plan sécant n'admet plus qu'une direction unique , où il passe par les deux axes égaux,

219. Hyperboloïde à deux nappes. Ici il faut supposer négatifs deux des coefficients, et ce sont nécessairement P' et P", d'après la relation (2). Cette relation donne aussi

sans qu'il en résulte aucune condition sur la grandeur du seul axe réel 2a ^ par conséquent le diamètre principal ib par lequel passe le plan sécant , est ici le plus grand des deux axes imaginaires,

A la vérité, le plan sécant déterminé par la formule (8), et mené par le centre de Thyperboloïde actuel , ne donnerait qu'un cercle imaginaire^ puisque l'équation (4) deviendrait ici

cela tient à ce que le plan sécant se trouve placé dans l'intervalle qui sépare les deux nappes de l'hyperboloïde ^ mais en menant un plan parallèle à celui-là et assez éloigné du centre, on obtiendrait une section réelle et circulaire, puisqu'elle satisferait, du moins analytiquement, aux conditions de la similitude avec la première section.

220. Ici , il ne peut y avoir égalité qu'entre les deux coefficients négatifs P' et P''*, et comme cette hypothèse introduite dans la formule (8), donne = 90^, il s'ensuit que le plan sécant n'est plus susceptible que d'une direction unique, dans laquelle il passe par les deux axes imaginaires & et c qui sont égaux, La surface est alors de

l68 CHAPITRB X.

réi^olution autour de Taxe réel a ^ et la grandeur de celui-ci, ou de P, ne modifie jamais les conséquences précédentes.

221 . n résulte de cette discussion que , pour les surfaces douées d'un centre , il n'y a que deux directions dans lesquelles un plan sécant mené par le centre puisse couper la surface sidi^ant un cercle. Ces deux directions sont perpendiculaires à un même plan principal; et tous les plans parallèles à l'une ou à l'autre de ces directions fournissent deux séries de sections circulaires, dont les centres sont sur deux diamètres qui, d'après le n** 193, se trouvent nécessairement dans le plan principal dont nous venons de parler.

Dans l'ellipsoïde, ces plans sécants passent toujours par Vaxe moyen ^ ou lui sont parallèles.

Dans l'hyperboloïde à une nappe , ils passent toujours par le plus grand des deux axes réels , ou bien lui sont parallèles.

Dans l'hyperboloïde à deux nappes , ces plans sécants sont tous parallèles au plus grand des deux axes imaginaires.

Enfin , les deux séries de sections circulaires se réduisent à une seule , quand la surface est de révolution*

222. Les conséquences et les formules trouvées n^ 213 , s'appliquent à un cône quelconque du deuxième degré, puisqu'il suffirait, pour obtenir cette surface, de poser H = o dans l'équation (i), et que les valeurs de et de 9 sont indépendantes de H. C'est pour cela que, dans un cône oblique à base circulaire EBD , il. existe , outre les

FiG. 28. sections parallèles à la base, d'autres sections nommées anti-parallèles^ qui sont également circulaires , comme on le démontre en Géométrie (*) ; il est facile alors de re-

(*) Voyez la Géomélrie descriptive t, n^ 747.

DSS SECTIONS GIRCtJLAiaES DANS LBS SURFACES, CtC. 169

trouver graphiquement les plans principaux et la direction des axes de ce cône , quoique les longueurs de ces axes soient nulles (138). En effet , la droite OI, sur laquelle sont les centres d'une série de sections circulaires, est un diamètre de la surface qui , d'après le n^ S21 , doit se trouver dans un plan principal perpendiculaire au cer^ cle DE \ donc ce plan principal s'obtiendra en le faisant passer par 01 et par la perpendiculaire OP abaissée sur la base. Cela posé, le plan principal POI coupe le cône suivant deux arêtes OD , OE , et la droite OA, qui divise en deux parties égales l'angle de ces arêtes , est nécessairement un des axes principaux de la surface ; d'où il suit que le plan OAB, mené à angle droit sur POI, est le second plan principal, et le troisième devra être mené par le centre O perpendiculairement aux deux premiers. D'ailleurs, les intersections de ces trois plans fourniront les axes principaux de la surface conique.

223. Examinons maintenant s'il existe des sections circulaires dans les paraboloïdes , représentés l'un et l'autre par l'équation

(il) 'py^-hpz^=pp'x,

pourvu qu'on y suppose p' négatif quand il s'agira du paraboloïde hyperbolique. Si nous menons le plan sécant par l'origine des coordonnées, qui est ici le sommet de la surface, la section rapportée à des axes rectangulaires situés dans son plan , sera donnée par la substitution, dans l'équation (i i), des formules déjà employées,

j? = j:' cos f -4- / ' ces ô sin (p, jr z= x^ siny — j' cosÔ cosf,

170 GHAPITBS X*

et il viendra

-hSxH-Tr = o.

Pour que cette équation représente un cercle, on sait qu'elle doit satisfaire aux deux conditions

{i3) /7'sin(pcos<pcosd = o,

(i4) p'sin*^=/?'cos*ôco5'f -4-/?sin'0.

Or, la première serait vérifiée par l'hypothèse sin y = o; mais cette valeur doit être rejelée , parce qu'en rendant égaux les coefficients de x^ et dey^ dans l'équation (12), elle les réduirait à zéro , et la section ne serait plus un cercle.

n reste donc les deux systèmes de valeurs suivantes^

(i5) cos<p = o avec sin ô == ± W^ >

(16) cosô = sin (p =± V/—,-

224. Gela posé, dans le paraboloïde eUiptique, p et p sont de même signe: ainsi les systèmes (i5) et (16) sont tous deux réels ; mais comme îl faut de plus qu'un àinus soit moindre que Tunîté , un seul de ces systèmes sera admissible. Si donc on a p^p\ on devra adopter cos y = o , et le plan sécant passera par Taxe OY; il pourra d'ailleurs recevoir deux directions représentées par

= 0? tango =:±: .îT y -^— 7,

P—P et par conséquent tous les plans parallèles à Tune ou à

DES SECTIONS CIACULAïaSS D4KS LES SU&FAGES, etC. I^I

l'autre de ces direoiions fourniront deux séries de sections circulaires.

Si, au contraire, p'^p^ il faudra adopter cos 6=0 -, de sorte que le plan sécant passera par Taxe OZ, et sera susceptible de deux directions

/ = xiang^

auxquelles correspondront encore deux séries de sections circulaires produites par des plans parallèles à ceux que représente cette équation.

On doit remarquer que , dans tous les cas , les plans des cercles seront perpendiculaires à la parabole principale, dont le paramètre est le plus petit,

22s. Dans le cas particulier on p=p\ le paraboloïde elliptique est de réi^olution, et les deux systèmes (i5) et (16) s'accordent à donner

<f = go** avec 9 = go" ;

ainsi il n'y a plus alors qu'une seule série de sectiions cir«culaires, dont les plans sont tous perpendiculaires à Vaxe de résolution OX.

226. Quant au paraboloïde hyperbolique, le coefiLcient p est négatif: ainsi les deux systèmes (t5) et (16) étant Tun et l'autre imaginaires , cette Surface ne peut être coupée suis^ant un cercle par aucun plan; et l'on pouvait prévoir cwe conséquence, en se rappelant (n^ 163), que dans ce pAri^oloïde, les sections planes ne sont jamais des cqwA>Qs fermées.

Toutefois, on pourrait regarder comme un cercle d^un rayon infini, la section rectiligne fournie par l'hypothèse (p = o, que nous avons exclue de l'équation (i3)^

172 CHAPIT&B X.

car alors Téquatiou (i4) donne

tang9

valeur qui sera réelle quand p' sera négatif, et qui n^uit l'équation (12) au premier degré.

227. Les deux séries de sections circulaires qui existent dans toute surface du second ordre , à l'exception du paraboloïde hyperbolique , présentent entre elles une relation bien remarquable (*) : c'est que deux cercles quelconques^ appartenant à des séries différentes ^ sont toujours situés Fie. 29. sur une même sphère. Soient en eflet , AÇ et B'E' deux cercles non parallèles, qui devant se trouver (n^ 221) perpendiculaires à un même plan principal, peuvent être représentés simplement par leurs projections sur ce plan. En élevant par le centre I une perpendiculaire IC au cercle AE , et cherchant sur cette droite un point C également éloigné de E' et de E , on aura le centre d'une sphère qui passera par la circonférence AE et par le point E'. Cela posé, cette sphère ayant avec la surface du second degré une courbe plane AE de commune , ne pourra la couper de nouveau (nP 206) que suivant une courbe plane passant par E', et qui sera nécessairement un cercle, puisqu'elle se trouvera aussi sur la sphère. Cette courbe de sortie devra donc coïncider avec une des deux sections circulaires E'B', E'A, qui seules peuvent passer par E' sur la surface du second ordre; mais il faut évidemment rejeter la circonférence F/ A' parallèle à EA, parce que , dans une sphère , deux cercles parallèles auraient toujours leurs centres sur un même diamètre per-

(*) CetW proposition est due à M. Hachette.

DES SECTIOHS CIRCULAIRES DANS LES SURFACES, etC. l'J^

pendiculaire à leurif^lans, et qu^ici le diamètre lOI' étant conjugué avec les cordes AE, A'E\ ne saurait les couper à angle droit, à moins que la surface ne soit de révolulion, auquel cas les cercles A'E' et B'E' coïncident l'un avec Vautre. Il est donc certain que la circonférence B'E' sera toujours la courbe de sortie , et qu'ainsi elle est située sur une même sphère avec le cercle AE.

Des plans diamétraux conjugués obliques.

228. Dans les surfaces douées d'un centre, et qui, rapportées à leurs plans principaux, sont représentées par

(i) Va^ -4- Py -+- PV = H,

nous avons remarqué que ces plans rectangulaires étaient conjugués entre euXj c'est-à-dire que chacun coupait en deux parties égales les cordes gui sont parallèles à rintersection des deux autres^ mais comme il existe (n*^ 106) une infinité de plans diamétraux obliques à leurs cordes, on doit prévoir que, parmi tous ces plans, il y en aura qui, pris trois à trois, formeront aussi im système de Fio. 3o. pkïis conjugués. Pour les obtenir, je mène par le point O un plan diamétral

(2) lu -h Sr -h T2 = o ,

de direction arbitraire , pourvu qu'il coupe la surface suivant une courbe à centre ABD. Je cherche le diamètre OZ' qui est conjugué avec ce plan, et pour cela j'identifie l'équation (2) avec ceUe d'un plan diamétral

dx djr dz '

c'est-à-dire ici

(3) mVx-hnVy -4- P"a = o ,

D«S PLANS DtAMÉTRAUX CONJlTGUis OBLtQUËS. tnS

ce qui me donne le£relations

mP/iP' P''

d'où je tirerai pour m et n des valeurs qui détermineront le diamètre OZ' par les équations

(4) ^ = TOZ, jr = nz.

Cela posé , les plans qui seront conjugués avec ABD devront évidemment passer, d'après leur définition , par la ligne OZ', et ils couperont le plan ABD suivant deux droites inconnues OX', OY', telles que si je les prends avec 071 pour axes coordonnés obliques , l'équation de la surface ne renfermera que des puissances paires des trois variables (n^ i02), et se présentera sous la forme

(5) Ax'» -h A'/" -4- A"z'» = K ; mais si alors on posait z' =r o , le résultat

Ax"-|-Ay = K

serait l'équation de la section ABD rapportée aux axes inconnus OX', OY'. Or, par sa forme elle prouve que ces axes doivent être deux diamètres conjugués quelconques de la courbe ABD ; d'où il suit qu'en traçant à volonté deux diamètres de ce genre , on déterminera trois ]plans X'OY', X'OZ', Y'OZ', qui seront conjugués dans la surface. Le nombre des systèmes qui auront de communs le diamètre OZ' et le plan ABD sera infini , et les mêmes conséquences se reproduiront pour les diverses positions que l'on voudra donner à ce premier plan.

229. On doit observer, i** que quand le plan diamétral ABD sera perpendiculaire à un des plans principaux

de la surface , le diamètre conjuguAOZ' sera nécessaire* ment dans ce plan principal ] cela résulte évidemment de la forme que prennent alors les équations (3) et (4); 2** qu'en laissant quelconque la direction du plan A6D, les deux autres plans conjugués avec lui pourront passer par les axes principaux de cette section , et alors , parmi les trois diamètres conjugués OX', OY', OZ', les deux premiers seulement seront perpendiculaires entre eux 5 3** si l'on choisit pour le plan ABD une des trois sections principales de la surface, le diamètre correspondant OZ' deviendra nécessairement im axe principal , et les deux angles Z'OX', Z'OY' seront droits, tandis que le troisième, X'OY', pourra être quelconque. Mais on peut affirmer que jamais les trois diamètres ne seront à la fois perpendiculaires 9 chacun sur les deux autres, qu'autant qu'ils coïncideront avec le système des axes principaux , lequel est unique (n*^ 118) tant que la surface n'est pas de révolution.

230. Dans l'hyperboloïde à une nappe, le premier plan diamétral ABD pourrait se trouver dirigé parallèlement aux sections paraboliques , et alors la courbe ABD se réduirait à deux droites *, mais un pareil plan ne pourrait servir à former un système de plans conjugués , car le diamètre OZ', qui lui correspondrait, serait (n^ 194) situé lui-même dans le plan sécant ABD.

Quant à l'hyperboloïde à deux nappes , le plan ABD mené par le centre pourrait 'donner une section imaginaire ] mais alors il suffirait évidenmient de prendre OX' et OY' parallèles à deux diamètres conjugués d'une section réelle , faite par un plan parallèle à ABD ; car en posant dans l'équation (5), z' = A au lieu de z' = o, les mêmes raisonnements sont applicables.