D'après les relations trouvées n?' 228 et
DES PLANS OIAMI^TRAUX CONJUGUES OBLIQUES. I77
entre trois diamètres conjugués, on peut facilement étendre aux surfaces du second ordre les propriétés connues dont jouissent les carrés et les parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués des courbes de cet ordre.
Soient OX, OY, OZ, les directions des axes principaux a^b^ c d'une surface du second degré , ces axes pou- lù» vant être tous réels y ou quelques-uns imaginaires; la surface sera représentée par Téquation
et aussi par
si on la rapporte à trois diamètres conjugués quelconques.
Cela posé (*), si nous substituons à ce dernier système les trois diamètres
OX'' = a", OY" = h\ OZ' = c',
dont les deux premiers soient conjugués entre eux dans le plan X'OY', et dont Fun , a", soit Tintersection de ce plan avec XOY, nous obtiendrons un second système de trois diamètres- conjugués dans la surface (n^ 228) ; mais les diamètres a' et h\ a" et b'\ appartenant à la même courbe, savoir, la section de la surface parle plan X'OY', auront entre eux la relation connue
(6) a'^^h'''r=ia"''+h"\
(^ Cette démonstintioii est de M. J. Binet. (Voyez Correspondance sur V École Polytechnique , yoMI , page 79.)
I>y8 CHAPITRE Xt.
et l'on doit remarquer que le plan yOZ' contiendra (n^ 229) l'axe OZ, puisque le diamètre OX" est dans le plan principal XOY. Maintenant, nous continuerons d'avoir trois droites conjuguées , si , en gardant OX" = a\ nous remplaçons les autres h" et c\ par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le même plan Z/OY\ et dont l'un, OY*' == f, soit l'intersection de ce plan avec XOY; mais alors a" et t* se trouvant tous deux dans le plan principal XOY, le conjugué de 4* devra (n*^ 229) coïncider avec l'axe principal OZ = c ; de sorte que ce troisième système
ayant avec le précédent un diamètre conunun, donnera, entre les autres qui appartiennent à la même courbe , dans le plan Z'OY ' ou ZOY"', la relation
Enfin , si nous comparons ce troisième système avec celui des axes principaux ,
il y aura un diamètre conmiun , et les autres se trouvant conjugués deux à deux dans la section faite par le plan XOY, fourniront la relation
de sorte qu'en ajoutant membre à membre les équations (6) , (7) et (8) , il viendra
résultat qui démontre que dans une surface du second
DIS PLANS DIA1I3&TBAUX CONJUGUAS OBLIQUES. I79
ordre , la somme des carrés de trois diamètres conjugués quelconques est constante y et égale à la somme des carrés des trou axes principaux. Toutefois, quand un ou deux des axes seront imaginaires, il y aura évidemment, parmi les trois diamètres conjugués, un même nombre de diamètres qui seront imaginaires, et il faudra changer le. signe du carré de ces axes et de ces diamètres dans Téquation (9).
232. On peut démontrer, par les mêmes considérations, que le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est égal au volume de celui qui serait construit sur les trois axes principaux. Employons en effet la même succession de diamètres que cidessus, et en désignant chaque parallélipipède par ses trois arêtes, nous aurons d'abord
vol. {«', ^',c') = vol.(fl", b% c');
car ces deux corps ont la même hauteur, et des bases équivalentes , qui sont les parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués a' et b\ a" et b'\ lesquels appartiennent à la même courbe située dans le plan X'OY'. Par des raisons semblables , on trouvera que
vol. {a% h\ c')=:vol. {a% ^^ c) = vol. {a,by c);
d'où Ton conclura
vol. (a', b\c')=: vol. («, ^, c).
On verra, au chapitre des plans tangents, que les parallélipipèdes ainsi formés sont tous circonscrits à la surface du second ordre.
233. Quant aux surfaces dépourvues de centre, et comprises dans Téquation à coordonnées rectangulaires
(10) p'y'' -\rpz^=^pp'xt
l8o CHAPITRE XI.
la formule générale du plan diamétral devenant ici
(il) ip'ny -\- ipz = pp^m^
montre que tous les plans de ce genre sont parallèles à Taxe OX ; et par suite leurs intersections mutuelles , que Ton nomme les diamètres de la surface , étant des droites parallèles entre elles, ne peuvent servir à former un système d'axes coordonnés : ou bien , trois plaqs diamétraux choisis comme on voudra , ne peuvent jamais être conjugués entre eux (d? 102). Mais si Ton veut trouver trois plans coordonnés obliques analogues à ceux de Téquation (lo), c'est-à-dire dont deux soient diamétraux, et tels que chacun de ceux-ci soit conjugué avec les cordes parallèles à l'intersection des deux autres , on se donnera à volonté un premier plan diamétral de la forme
(12) Rj + Ss = T,
FiG. 3i. lequel coupera nécessairement la surface suivant une parabole ACyB-, puis, en identifiant les équations (11) et (12), on calculera les constantes m et n qui déterminent la direction des cordes conjuguées avec AO'B. Gela posé, en menant par un point arbitraire O un axe O'Z' parallèle à ces cordes, les deux autres plans cherchés devront passer par O'Z' et couper le plan AO'B suivant deux lignes inconnues O'X', CX Y', telles que l'équation de la surface rapportée à ces axes ne renferme pas de puissances impaires dej^ ni de z, ou bien qu'elle ait la forme
P>''-f-P"z'^=:Qx';
or, si l'on y pose z' =:o,on trouve pour la courbe ACB,
py — Qx',
DES PLANS DIAMÉTRAUX CONJUGUAS OBLIQUES. l8l
équation dont la forme prouve que les deux axes inconnus OX' et OY' doivent être formés par un diamètre de la parabole AO'B, et par la tangente correspondante. Par là, la position du second plan diamétral ï!0'^ est déterminée, ainsi que celle du troisième plan coordonné Z'(yY^', maïs comme le point O' avait été choisi arbitrairement sur la parabole AO'B, il y aura une infinité de systèmes qui auront de commun le plan de cette courbe. On peut d'ailleurs reconnaître que le plan non diamétral Z'O'Y' est tangent à la surface, puisqu'il passe par deux tangentes. (J^oyez chap. XIII.)
GHAPIT&E XII.
Discussion immédiate (Tune équation numérique du
second degré.
234. Nous nous proposons ici d'établir des caractères qui, sans recourir à la transformation des coordonnées, puissent faire distinguer le genre et la forme particulière d'une surface du second ordre , représentée par une équation en coordonnées rectangulaires ou obliques , dont les coefficLents sont des nombres connus et réels. Soit cette équation
(i) AîF^4-Ay-hA"«'-h2Bj«4-2B'«a?-h2B''jPr j
-h 20 -f- 2C> -f- aC* -1-E
avant tout, il faudra chercher, d'après la marche indiquée au n^ 95 , si la surface admet un centre , et calculer les coordonnées de ce point. On égalera donc à zéro les trois dérivées du premier membre de l'équation (i), en posant
(2) kx, -f- B'z, -H B'>. 4- C = o,
(4) k!'z, -h B^-, -h Wx, -hC"= o;
d'où l'on déduira pour les coordonnées du centre ,
DI&ECTION IMMEDIATE D*UIfB ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. l83
valeurs dans lesquelles
D = AB^-f- A'B'^ + A''B"' — AA'A" — 2BB'B",
et où les numérateurs auraient une forme que nous avons citée au n** 95 , mais qui n'est pas utile à rappeler ici , parce qu'il sera toujours plus simple, dans chaque exemple donné, de résoudre directement les équations numériques (2), (3), (4)? que de recourir à des formules littérales on l'on rencontre quelquefois des indéterminations qui ne sont qu'apparentes. Cela posé, comme les coordonnées du centre peuvent être toutes finies et dé^ terminées y ou bien quelques-unes se trouver infinies ou indéterminées, nous partagerons la discussion en deux cas principaux.
P&BHIBR CAS : D '^ O.
235. Dans ce cas, la surface (i) admet un centre unique^ et si l'on y transporte les axes parallèlement â euxmêmes, son équation deviendra
(5) ks^ H- Ay -H AV 4- 2Bj^z 4- aB'za: -h 2B"^j = H ,
où nous savons (n^ 95) que tous les coefficients sont les mêmes que dans (i), excepté le terme constant H qui, passé dans le second membre , aurait pour valeur
\ 4- 2Cb:, -f- 2C'jr, 4- iQl'z, 4- E.
Mais cette expression peut être beaucoup réduite, en vertu des équations (2), (3) et (4)^ car si l'on multiplie ces dernières respectivement par JCi, j^i, j^j; et qu'on les ajoute à la valeur de H , celle-ci deviendra
H = — Gr,— C>, — C"z, — E,
l84 CHAPITRE XII.
expression facile à calculer quand on connaîtra les valeurs numériques des coordonnées Xi, j^i, Zi. D'ailleurs, pour abréger la discussion, nous admettrons toujours dans ce qui va suivre , qu'on a eu soin de rendre positif dans le second membre le terme constant H.
236. Cela posé , si la quantité H se trouve nulle , la surface proposée est un cône ou un point unique. En effet , si nous combinions Téquation (5) privée de second membre, avec celle d'un plan quelconque mené par l'origine ,
Z =r oo? -h 6^,
il est bien clair,, sans effectuer les calculs, que le résultat aurait la forme homogène
ûtja -l ifxj ( cjc^ z= o, d'où - =p± y^.
Or, ces valeurs constantes prouvent que toutes les sections sont composées de deux droites puissant toujours par l^ origine y' ainsi la surface est bien un cône, lequel néanmoins se réduirait à un point unique j: =: o , j^ = o , ^ = o , si le radical était constamment imaginaire , quels que fussent a et 6. Mais ce dernier cas se distinguera tout de suite , et sans calculer le radical qui précède , en examinant si un plan tel que z = k donne une section imaginaire.
237. Lorsque le terme constant H ne sera pas nul, l'équation (5) ne pourra représenter qu'un ellipsoïde ou l'un des deux hyperboloïdes , surfaces qui diffèrent les unes des autres par le nombre des axes réels ou imaginaires qu'elles admettent. Nous allons donc chercher une relation entre ces axes et les coefficients de l'équation (5), en supposant d'abord que les coordonnées sont rectan-
DISCUSSION IMMÉDIATE D^ UNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. l85
gulaireSy mais nous ferons voir âosuite que les règles obtenues ainsi, s'appliquent également aux coordonnées obliques.
Les axes d'une surface étant (n^ 104) les intersections mutuelles des plans principaux , ne sont autre chose que les trois cordes principales qui passent par le centre > et dont la direction est déterminée par les constantes m et n employées au n® 109. Ainsi , une quelconque de ces trois cordes sera représentée par les équations
et en les combinant avec (5), on obtiendra pour le point de rencontre avec la surface proposée ,
Am^ 4- A'/î' -f- A'' 4- oBn + aB'/w -h 2B "m/z '
d'où il suit qu'en appelant R la longueur de cette demicorde principale , réelle ou imaginaire, on aura pour le carré d'un quelconque des trois demi^axes de la surface ,
R* = je + j* -+- z' = (m» + «» -h I ) zS ou bien
A/71' -f- A'rû H- A" -h 2B/Z -+- 2B '/w 4- 2B ''mn '
Maintenant , les valeurs des constantes m et « , ainsi que celle de l'inconnue auxiliaire s dont nous avons fait dépendre les premières, sont déterminées (n** 109) par les équations
(7) km -h B' -hB"n = ms,
(8) A'/2-4-B -^B''m=znsy
i86 cHAPiT&B xn.
lesquelles nous ont conduit par Féliminatton de m et », à la suivante
(lo) *» — i*(A-hA'-HA")-*(B"* — AA'-hB'* — AA"-hB* — A'A") -h(AB*-h A'B'*-+- A"B"» — AA'A" — aBB'B" ) = o.
Mais si Ton ajoute les équations (7), (8) et (9), après avoir multiplié la première par m et la seconde par n , on trouve aussi
__ Ani^ 4- A'/i* -I- A'' -f- 2B/1 -f- sB'/w-h 2B"/w/i ~~ /w*-l-/ï*-h I '
résultat qui , comparé avec la formule (6) , conduit à la relation bien remarquable
On voit par là que les trois racines de Téquation (10) sont toujours
en désignant par a , t , c , les valeurs analytiques des trois demi -axes de la surface (5) , c'est-à-dire les distances du centre aux points réels ou imaginaires où cette surface rencontre ses trois diamètres principaux ; de sorte que si l'on prenait la peine de résoudre l'équation (10), on pourrait calculer aisément les longueurs des trois axes , et fixer ensuite leurs positions au moyen des valeurs de m et n qui correspondraient dans (7) et (8) à chaque racine de s. Mais, pour le but que nous nous proposons ici , il sui&t d'observer que l'expression analytique de chacun
des demi-axes ne pouvant avoir que la forme a ou a y—i 7 le carré R' n'aura que des valeurs réelles j et positives ou
DISCUSSION IMMIBDIATE iVuNS KQVATIOH HUMÉAIQUE, etC. 187
négatives; d'où il résulte : i^ que Véquation (lo) a toujours ses trois racines réelles, ainsi que neus Tavions déjà prouvé dans la note du n° 109; 2*^ que chaque racine positive indique Vexistence d'un axe réel, et que chaque racine négativ^e correspond à un axe imagi*noire, puisque nous avons admis que le terme H avait été rendu positif. Or, comme le nombre des racines positives ou négatives peut être fixé par la règle de Descartes , à Tinspection seule de Téquation (10) , et sans la résoudre , nous déduirons de là les règles pratiques qui suivent.
238. Avec les coefficients numériques de Téquation (5) dai^ laquelle on aura soin préalablement de rendre po^ sitif le terme constant H passé dans le second membre , on formera immédiatement Téquation (10), et Ton examinera quel e$t le nombre de variations et de permanences de signes que présentent ses différents termes:
i^* Si Téquation (10) offre trois variations , toutes ses racines sont certainement positives : donc alors la surface (5) admettra trois axes réd&^ et sera un ellipsoïde.
29^ K réquation(io) renferme deux variations et une permanence , elle aura deux racines positives et une négative ; d'où Ton conclura que la surface (5) admet alors deux axes réels et un ctxe imaginaire : ainsi c'est un htpsaaBOLoïoE^ u/»^ nappe.
3®. Lorsque Téquation (10) offrira une variation et dei^x permanences, elle aura une racine positive et deux n^atives; par conséquent la surface (5) ayant alors un seul axe réel et deux imaginaires, sera un htpekboloïde à deux nappes.
4^« Enfin, quand Féquation (10) ne présentera que des permanences de signes , tontes ses racines seront négatives, et par suite les axes de la surface (5) seront tous trois imaginaires^ d'où l'on conclura que cette surface
l88 CHAPITRE XII.
est totalement imaginaire^ et que réquation (5) est impossible, aussi bien que Téquation (i) donnée primitivement (*).
239. Ces règles sont aussi applicables aux coordonnées obliques . En effet, concevons que la surface S à laquelle appartient Téquation (5) en coordonnées oUiques, soit construite; puis, pour chaque point M {^fig^ i) de cette surface, faisons tourner les deux coordonnées DC :z=j , CM = z , de manière à les rendre perpendiculaires entre elles et sur OD=:x qui restera immobile ; par là le point M viendra occuper une autre position M' dont les coordonnées rectangulaires x\ y\ z' auront les mêmes grandeurs que x, y^ z\ or Tensemble de tous ces nouveaux points M' formera une seconde surface S' qui sera encore représentée évidemment par Téquation (5) avec les mêmes coefficients , mais en y remplaçant x, y^ z par x',y', z\ et je dis que cette surface S', toujours du second degré, sera du même genre que S. Car, si cette dernière était un ellipsoïde , il est bien clair que S' sera aussi une surface fenhée de toutes parts : si S était un h jperboloïde à une nappe , S' offrira pareillement une nappe unique et indéfinie : enfin, quand S présentera deux nappes séparées par un intervalle imaginaire depuis a:=:+a jusqu^à x = — a, il en sera évidenmient de même pour S'. Par conséquent, les règles du n** 238 appliquées directement à Téquation (5) en coordonnées obliques, suffiront encore pour assigner le genre de la
{*) Ce mode de discussion avait été indiqué d^abord par M. Petit \ mais il parvenait à la relation (ti) en regardant les demi -axes comme les valeurs maximum ou minimum des rayons vecteurs meués du centre» ce qui est peu satisfaisant pour l'axe moyen de l'ellipsoïde et pour les axes imaginaires des hypcrboloïdes.
DISCUSSION IMMEDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. 189
surface S' et par suite celui de S ; mais la position et la grandeur des axes de cette dernière ne seront plus fournies par les équations (7), (8), (10) et (n)-
24(). Voici cpielques exemples de ces discussions numériques. Soit Téquation
x^ -h 2y' -h 'àjrz — 2jcy — 6a:4-7j4-6zH-7=:o; en égalant à zéro les trois dérivées, on trouve
nx — 7.y — 6 — 0,
\ d'où
Ces coordonnées du centre étant substituées dans la proposée, donnent H=o^ ainsi la surface rapportée à son centre devient
x' -H 2j^ -f- 3yz — ixy z=z G,
et elle ne peut être qu'un cône ou un point. Mais en posant z =: ^ , on obtient
jc' — Tjcy -f- 2j^ -4- 3Xjr = o, d'où
^ = r±V-(r'4-3Xr);
cette section est une ellipse qui ne se réduit pas à un point y puisque les deux facteurs du radical sont inégaux; donc la surface est un cône. Ici cette conséquence pouvait se déduire de ce que l'équation est vérifiée par x=:o etj^ = o, ce qui montre que la surface admet une ligne réelle, savoir, l'axe des z.
