hx^3 = o, ) ^z

et l'équation rapportée au centre devient, en supposant a positif,

— yz — zx — xjr == a.

Maintenant si, pour former l'équation (10), on multiplie la précédente par 2 , afin d'éviter les fractions , il viendra

^ — 3^4-2 = o; ici il manque un terme ) mais si on le rétablit avec le

DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNB ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. igt

coefficient iho, on trouve toujours le même nombre de variations et de permanences (il en doit être ainsi dans toute équation dont les racines sont réelles); d^où je conclus que la surface proposée est un hyperboloïde à une nappe.

Ce serait l'autre hyperboloïde, si a était négatif; parce qu'alors il faudrait changer les signes des rectangles , pour rendre le second membre positif, conformément aux règles tracées dans le n^ 238.

DEUXIÉMS CAS : IJ = O.

243. Les surfaces qui remplissent cette condition sont dépourvues de centre , ou bien elles en admettent une infinité; ainsi eUes ne peuvent être que des paraboloïdes , des cylindres paraboliques ^ des cylindres elliptiques ou hyperboliques, ou bien le système de deux plans parallèles. Cherchons donc des caractères propres à faire distinguer ces quatre genres les uns des autres , en partant de l'équation primitive (i) et des équations du centre (a), (3) , (4) ; et comme les sections parallèles aux plans coordonnés nous seront utiles à considérer, observons ici que la nature de ces sections sera toujours indiquée par les signes des binômes

B"» — AA'=i:6", B'^ — AA" = 6', B' — A'A" = 6,

qui sont analogues à i* — 4^c, dans les courbes du second degré. D'ailleurs puisque aucune des surfaces dont il s'agit ici , ne peut admettre k la fois des ellipses et des hyperboles, on doit prévoir que, pour une même surface donnée, ces trois binômes se trouveront à la fois positif s ou à la fois négatifs; ce qui n'exclut pas l'hypothèse que tous ou quelques-uns soient nuls.

ig2 CHAPITRE XII.

Ajoutons qu€ toutes les règles qui vont suivre s'appliquent également aux coordonnées obliques ; car nous ne nous appuierons que sur les équations (îi) , (3) , (4) , qui suffisent toujours (n*^ 95) pour déterminer les coordonnées du centre.

244. Dans un paraboloïde , il doit arriver c^vCune, au moins , des coordonnées du centre soit infinie^ ainsi la résolution immédiate des équations (a), (3), (4), de-, vra conduire à une impossibilité , telle que 5 = o. Il semble même que les trois coordonnées devraient être toutes infinies; mais si l'on observe que le paraboloïde n'est qu'une dégénération de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde , dans lesquels les deux sections principales qui passent par un même axe réel se changeraient en paraboles , on sentira que le centre commun de ces deux courbes , en s'éloignant indéfiniment , n'a pas du sortir de l'axe réel qui est devenu l'axe unique du paraboloïde. Or , si cette droite se trouve parallèle au plan coordonné XY par exemple , il est clair qu'on aura seulement ari=oo et jTi =oo , tandis que Zi aura une valeur déterminée : si l'axe principal du paraboloïde est parallèle à OX , les coordonnées j^i et Zi auront des valeurs déterminées , tandis que Xi sera seul infini.

En second lieu , puisque les sections paraboliques ne peuvent être produites (n°* 159 et 163) que par des plans parallèles à Vaxe du paraboloïde, et qu'il est évidemment impossible que les trois plans coordonnés se trouvent tous parallèles à cette droite , il s'ensuit quMci les trois binômes S, è\ è" ne seront jamais nuls à la fois. Or, comme nous allons voir que les conditions précédentes ne se trouveront pas réunies simultanément dans les autres genres, nous pouvons en conclure que les ca-

DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, CtC. 198

ractèresdistinctifsdes paraboloïdes senties suivants : une des équations du centre impossible ,

un des binômes (6, 6', ^")^o\

d'ailleurs, si celui de ces binômes qui n'est pas nul se trouve négatifs le paraboloïde sera elliptique^ et il sera hyperbolique , si ce binôme est positif,

24^. Dans un cylindke parabolique , une , au moins, des coordonnées du centre doit être infinie; c'est-à-dire que la résolution des équations (a) , (3) , (4) devra conduire à une impossibilité telle que 5 = o. Mais un plan quelconque ne pouvant ici donner pour section qu'une parabole , ou deux droites parallèles , ou une droite isolée, il arrivera nécessairement que les trois binômes 6,6', 6", seront tous nuls. Par conséquent, les caractères distinctifs du genre actuel seront ;

une des équations du centre impossible, les trois binômes (6, 6', 6'') = o.

246. Cylindre elliptique ovJvyperbolique. Une telle surface admet pour centres tous les points, d'une même droite , ou un axe central; par conséquent une des coordonnées du centre doit demeurer arbitraire, sans qu'aucune des autres soit infinie; c'est-à-dire que les valeurs àex ely^ par exemple, tirées de deux des équations (a), (3), (4)> doivent rendre identique la troisième équation, quel que soit z. En outre , comme les trois plans coordonnés ne sauraient être tous parallèles aux génératrices du cylindre, il devra arriver qu'un, au moins, des binômes 6, 6', 6", soit différent de zéro 5 et le signe de ce binôme fera distinguer si le cylindre est elliptique ou

I^ CHAPITRX Xlt.

hyperbolique. Ainsi les caractères propres à ce genre sont :

Les trois équations du centre réduites à deux , un des binômes (6 , 6 ', 6 '' ) ^ o ;

d'ailleurs, si c'est 6" qui est différent de zéro, il faudra poser z:=sik dans l'équation (i), puis voir si cette section est imaginaire j ou se réduit à un point, ou bien se décompose en deux droites; car, dans le premier cas, le cylindre sera totalement imaginaire , dans le second il se réduira à une droite unique j et dans le troisième il sera le système de deux plans no?i parallèles ,

247. Deux plans parallèles. Dans ce cas, il existe un plan central dont tous les points sont des centres; ainsi deux des coordonnées doivent demeurer arbitraires, ce qu'on reconnaîtra lorsque la valeur de a: , par exemple , tirée de l'une des équations (2), (3), (4), vérifiera les deux autres, quels que soient j^ et z. D'ailleurs toutes les sections planes ne pouvant offrir ici que deux droites parallèles, il arrivera que les trois binômes 6, S', 6" seront tous nuls. On a donc pour distinguer le genre actuel, les caractères suivants :

Les trois équations du centre réduites à une, les trois binômes (6, 6', €") = o ;

en outre , comme les deux plans pourraient être confou" dus y ou se trouver ùnaginaires, il faudra couper la surface (i) par un plan tel que z=:kony=k\ pour voir si la section offre deux droites cdtifondues, ou deux droites imaginaires.

DISCUSSION IMMIÊDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, CtC. 1^5