f-2C'7-f-2C"aH-E
nous allons chercher à quels caractères on peut reconnaître que la surface est de réi^olution. Dans une telle surface, toutes les sections perpendiculaires à une certaine droite sont des cercles dont les centres se trou- ^ent sur cet axe de résolutions or, si l'on trace dans ces cercles des cordes parallèles entre elles, et sous une direction arbitraire du reste , il est clair que le plan mené par l'axe de révolution , perpendiculairement à ces cordes, les divisera toutes en deux parties égales , et sera un plan principal. Réciproquement , si tous les plans menés par une même droite sont principaux , les sections perpendiculaires à cette droite seront des cercles ayant leurs
centres stir cet axe -, car , parmi les courbes du second degré , il n'y a que le cercle qui admette pour diamètres principaux toutes les droites menées d'un même point. De là je conclus que pour que la surface (i) soit de révolution , il faut et il suffit : i^ qu'il existe une infinité de systèmes de cordes principales , qui soient tous parallèles à un même plan ; 2** qu'en même temps les plans diamétraux , conjugués avec ces divers systèmes , se trouvent à une distance finie et déterminée; car, sans cette dernière condition, la première serait vérifiée analytiquement par les cylindres paraboliques. D'ailleurs il arrivera , par une conséquence nécessaire , ainsi qu'on va le voir, que ces plans principaux, en nombre infini, se couperont tous suivant une droite unique , qui sera l'axe de révolution.
253. D'un point quelconque, par exemple l'origine des coordonnées que nous supposons rectangulaires , menons une corde principale
(i5} X :=. mz^ y = nz;
les constantes m et n seront déterminées par les équations déjà citées ,
!Am 4- B'^n 4- B' = mSy A'iî -4- B''m-h B = ns, A" 4- B'/w -h B/ï = j,
lesquelles conduisent, comme on sait (n** 109)^ à l'équation du troisième degré
— B'=»(5 — A'') — 2BB'B'' = o.
Par conséquent chaque racine de celle-ci , mise dans
UISCUSSION IMMÉDIATE d'uNB EQUATION NUMERIQUE, etC. IQQ
les équations (i6), les réduira à deux distinctes qui donneront les valeurs de /w et de n, que Ton devrait ensuite porter dans les formules (i5) ; ou bien, si Ton tire de ces dernières m et «, pour les substituer dans (i6), la corde principale menée de l'origine pourra être représentée par deux quelconques des trois équations
(A --j)ar-|-BV-l-B'z = o,
(i8) { (A'-j)j-f-B"x-f-Bz =o,
(A"— f)a H-B'or-hBj =o. ,
Cela posé , si la surface (i) est de révolution ,.il doit arriver, pour remplir la première condition énoncée au numéro précédent, qu'une au moins des racines de (17) soit teUe , quelle réduise les équations (i 8) à une seule distinctej qui représentera un plan dans lequel toutes les cordes menées à volonté seront des cordes principales. Ainsi , en appelant s ' cette racine , elle devra vérifier les relations
d'où résultent nEux équations de condition j avec la valeur de s\ savoir :
, , ^ B'B" ^, BB'' ^„ BB'
Cette valeur de s' satisfait bien à Téquation (17), qui d'ailleurs admet une seconde racine 5''= 5'^ car en tirant des relations (19) les expressions de Â, Â', A", en fonction de s\ pour les substituer dans (17), cette équation prend la forme
,, / , B'B^^ BB" BB'
200 CHAPITEB XII.
d'où Ton conclut que quand les deux conditions (19) sont vérifiées , il y a deux des trois systèmes de cordes piin* cipales qui peuvent être dirigés d'une manière arbitraire dans le plan, ou parallèlement au plan
(20) B'B"x + BBV-f-BB'z=:o,
auquel se réduisent alors les trois équations (18).
254* Il reste encore à exprimer que les plans diamétraux conjugués avec ces divers systèmes de cordes se trouvent à une distance finie et déterminée. Or, un de ces plans sera donné (n^ \ 05) par la formule générale
(Am -+- B"n -+- B' ) Jc -4- ( A'n 4- B^m H- B)r -+- (A" -h B'm-h Bn) «
-+-On-C'in-C'' = o,
qui, pour la racine $=.$' que nous considérons ici, et d' près les relations (16), devient
(21) (j'a:-hC)/7i-4-(jyH-C')«H-(*'«4-C'')=ro.
Alors on voit que pour que ce plan ne se trouve pas à une distance infinie , il faut que la quantité s ne soit pas nulle \ de sorte que Jes conditions qui expriment complètement que la surface (i) est de révolution, sont les suivantes :
, ^ B'B" ., BB' ., BB'
255. Maintenant, cherchons Vctxe de réi^olutionj qui doit être l'intersection commune de tous les plans renfermés dans la formule (21). Ici les quantités m etn qui , pour chaque valeur de 5, devaient être déterminées par deux des équations (16), ne sont plus que liées entre elles par la relation unique
(2t3) B 'B'^wH- BB "/i H- BB' =è o,
à laquelle se réduisent ces équations (16) pour la ra-
DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNB ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. !&OI
cines=s' qui vérifie les relations (19); de sorte qu'en éliminant n entre (21) et (28), tous les plans diamétraux qui correspondent à cette racine seront donnés par l'équation
[B(5'x-i-C)-B'(5>-HCr)]m = B'(5'/-hC')-B^(5'«-+-C''),
où m demeure arbitraire. Donc , pour avoir une droite commune à tous ces plans, quel que soit m, il suffit d'égaler à zéro chacun des deux membres, ce qui donne les relations
par conséquent ce sont là les équations de Taxe de révolution de la surface. Si, maintenant^ on divise tous les termes par s'j et qu'on y substitue les diverses valeurs de cette quantité, fournies par les formules (19), les équations de r.axe de révolution prendront la forme
<^« « {' -^ AB-B'B' ) = ^ (^ + A-b"-BB'' ) = »'('+ pSb') '
où l'on reconnaît bien une droite perpendiculaire au plan (20) , et qui indique la direction du troisième système de cordes principales , lequel doit toujours être perpendiculaire aux deux autres (n** 123).
256. Toutefois , il est nécessaire d'observer que quand l'équation proposée (i) est privée de plusieurs rectan^ gles, les conditions générales (22) prennent une forme incertaine, et même deviendraient entièrement illusoires, si l'on avait chassé les dénominateurs, comme on le fait ordinairement^ car alors elles seraient toutes satisfaites par les hypothèses B = 8'=: Oj qui cependant ne suffisent pas pour que la surface soit de révolution.
Il faut donc toujours conserver les conditions sous la forme (22) \ et pour le cas où Ton a , par exemple , B=o et
B^ = o , remarquer qu^elles se réduisent à
relations entre lesquelles on peut éliminer le rapport ^ qui cause Tindétermination y et par là on trouve
(26) (A — A")(A' — A") = B"» avec A^'^o,
pour les véritables conditions qui expriment que la surface est de révolution, dans Thypothèse admise. Nous exigeons que A" soit différent de zéro , parce que c'est alors la valeur de la racine s\ laquelle ne doit pas être nulle , pour que les plans diamétraux (21) se trouvent à une distance finie et déterminée. Au surplus, on obtiendrait directement les relations (26) , en remontant aux équations (18), dans lesquelles on ferait B=o et B'=ro^ mais il était bon de faire voir que ce cas particulier était compris dans les conditions (22) , qui , sous la forme que nous leur donnons ici, n'induiront jamais en erreur, et avertiront du moins des transformations qu'exigent les diverses hypothèses particulières.
Dans le cas où Ton aurait B=B'=o , ou bien B'^B^^o, on trouverait de même les conditions
(27) (A — A')(A" — A') = B'> avec A'^o,
(28) (A' — A) (A'' — A) =B» avec A^o.
Quant à l'axe de révolution représenté en général par les équations (24) 9 le dernier membre donne d'abord ^ pour l'hypothèse B = B' = o,
DISCUSSION IMMEDIATE D^CNE ÉQUATION NUMERIQUE , etC. 2o3
ensuite , les deux premiers membres , débarrasses des facteurs -7 , —, dont les valeurs sont fournies par les relatîons (^S), conduiront à cette seconde équation .
On trouverait des résultats semblables pour les hypothèsesB = B" = o ou B' =3" = o.
257. Enfin , si Ton suppose à la fois B = B' = B" = o , les conditions (22) avertissent encore , par leur forme indéterminée, qu'il faut leur faire subir quelque transformation ; et en partant des relations (26), (27), (28), auxquelles nous les avons déjà ramenées , quand deux rectangles seulement étaient nuls , on trouvera que pour le cas actuel , les équations qui expriment que la surface est de révolution , et celles qui déterminent son axe , sont
A' = A" ^ o, A"r 4-' C = o, K^z -f- C =: o, ou
A = A"-;;;; o, kx 4- c = o, Az H- C"=: o, ou bien
A==A'^o, Aj?-f-C=ro, Ar -|-C'=o.
Au surplus , dans l'hypothèse admise ici , la forme de l'équation proposée (i) rend ces conditions bien faciles à obtenir par un calcul direct.
2o4 CHAPITRE XIII.
Des plans tangents aux surfaces courbes.
258. Si par un point donné sur une surface quelconque, on y trace tant de courbes que l'on voudra , et qu'on leur mène des tangentes par le point en question , toutes ces droites se troubleront en général dans un seul et même plan, que l'on nomme le plan tangent de la surface : mais cette proposition a besoin d'être expressément démontrée \ car on ne voit pas à priori pourquoi ces diverses tangentes ne formeraient pas un cône , comme cela arrive effectivement pour quelques points singuliers de certaines surfaces (*).
259. Considérons d'abord les surfaces du second ordre, que nous prendrons, pour abréger les calculs, sous la forme suivante qui les comprend toutes :
(i) Ax» 4- Ay 4- AV -f- aCa: -h aC'j 4- 2C"z -h E == o.
Si x\ y\ z' désignent les coordonnées du point donné sur la surface , elles vérifieront la relation
(2) kx'^ -H ky^ -+- M'z'^ -h 2Gr ' -h aCy ' H- iG'z' -f- E = o ,
qui 9 introduite dans l'équation de la surface, lui fera prendre la forme
(3) A{x'^^x'') + A' Cr^-r") -+- A" [z' — z'^)
+ 2C(^ — ar' ) -h 7.G (^ — j' ) -I- 2C" (z — z' ) = o.
(*) Voyez la Géométrie descriptive, livre II, n® 97.
DES PLANS TANGENTS AUX SUEFAGES GOUEBES. 2o5
Cela posé , une sécante quelconque menée par le point en question , sera représentée par
(4) oc — X* == m{% — z'),
et pour obtenir les points dans lesquels elle rencontrera la surface, il faudra combiner ]es équations (3) , (4) , (5), en y regardant les variables comme ayant les mêmes valeurs. Si donc dans (3) , on substitue les valeurs de X — x et y — y\ elle deviendra
^fi^ (r ,»(Am (*-+-*') 4- A'«(/-hr')4-A"(z+«')i (6) (z-z)| + 2C;„ -+- 2C'« -H 2C" }-°'
équation qui, quant aux points communs, peut rempla-* cer (3), et fera connaître ces points en la joignant toujours avec (4) et (5). Or, le premier facteur z — z' = o conduit k x=: x\ jr = j^', et Ton retrouve ainsi le point de départ de la sécante. Le second point de section serait donné par le système (4), (5) et (7) ,
(7) Am(a:-Har')-HA'»(r-+-J'')H-A"(r-+-«')-haC/iH-aC'nH-aC'' = 0,
si Ton avait fixé la direction de cette sécante en assignant des valeurs k m et k tf^ mais puisque nous cherchons au contraire à déterminer ces constantes de teUe sorte que la droite soit tangente à la surface > c'est-à-dire de manière que le second point de section se réunisse avec le premier, il faut exprimer que le système (4), (5) , (7), est vérifié encore par les valeurs x "= x\ y ==y'> ^ = -s', ce qui établit entre m et ^ la relation unique
(8) Amx' H- A'/ir' H- A"z' + Cm -4- C'/i -+-. C" = o,
d'après laquelle une des constantes metn reste arbitraire. Il résulte de là qu'en attribuant à m diverses valeurs successives, et calculant les valeurs correspondantes de n
âo6 CBAMTRK XIII.
d'après la relation (8) , on aurait par leurs substitutions dans (4) et (5) , les équations d'une infinité de droites tangentes à la surface au point en question ; par conséquent on obtiendra le lieu géométrique de toutes ces tangentes ^ en éliminant m et « entre (4), (5) et (8). Or cette opération donne pour résultat
(9) {kx^^c){x^x') + {XY 4- C')(j-r'))
équation qui représente évidemment un plan : d'où, je conclus qu'en chaque point d'une surface du second degré, il existe un plan tangent.
260. Il est bon d'observer que , dans l'équation (9) , les coefficients des variables ne sont autre chose que les dé^ rivées partielles du premier membre de l'équation (i), dans lesquelles on aurait substitué les coordonnées du point de contact ; et nous verrons bientôt (n? 268) qu'il en est ainsi dans toutes les surfaces. D'ailleurs , si l'on développe l'équation (9) et que l'on ait égard à la relation (2), on pourra mettre l'équation du plan tangent sous la forme
(10) ( Ax' -H C) 0? + (Ay + C) r + (A"3' -h C') z )
