Cx' 4- Cy 4- G"z' 4- E

261. Pour les surfaces qui admettent un centre, on peut poser dans l'équation (i)

et , dans ce cas , l'équation du plan tangent se réduit à

(11) Ax'x 4- Ayy 4- A"«'a 4- E = o.

Or, si l'on mène un diamètre au point de contact, cette droite sera représentée par

X =: —, z zz: mz, y :=: —, z =z nz ,

DES PLANS TANGBNTS AUX SVEFAGES COURBES. 207

et le plan diamétral conjugué avec ce diamètre qui, d'après la formule (5) du n® 105, est

Amx -h A'/if 4- A^'z = o, deviendra ici

Ax'x -h A'// -h A"z'zz= o;

donc îl est parallèle au plan tangent (ii) mené par Textrémité du diamètre en question. C'est cette proposition que nous avons annoncée n^ 232, et que Ton pouvait dénïontrer à priori en s'appuyant sur ce qu'un diamètre d'une surface du second ordre est évidemment conjugué avec chacun des diamètres de la section faite par ie plan diamétral correspondant.

262. Cherchons la courbe de contact d'une surface quelconque du second degré , avec un cône qui lui serait circonscrit et dont le sommet aurait pour coordonnées a, 6, y : cette courbe sera le contour apparent de la surface , vue du point donné. Or, pour chaque point Çx\ y\ z') de cette ligne, le plan tangent à la surface touchera nécessairement le cône , et par suite il passera par le sommet^ de sorte que l'équation (lo) donnera entre x\ y\ ^', la relation

(12) {Ax' 4- C) a 4- [A!y' 4- C) 64- {Al'z' 4- C') 7)

mais , puisque le point de contact que l'on considère est sur la surface , on aura aussi

(i3) A«'« -f. A!y'^ -h A"*" -h aCx' 4- aC>' -H aC*' -f- E = o;

par conséquent la comiie demandée se trouve déterminée par l'ensemble des écpations (12) et (i3) , c'est-à-dirç qu'elle est l'intersection de la surface proposée avec le plan que représente l'équation (12). Il résulte de là que dans toute surface du second degré , la courbe de con^

2û8 CHAPITRE Xin.

tact d'un cône circonscrit est toujours plane; et l'on peut même reconnaître que son plan est parallèle au plan diamétral conjugué avec la droite qui joindrait le sommet au centre delà surface , puisque ce centre a ici pour coordonnées

263. Si Ton voulait obtenir la ligne de contact de la même surface avec un cylindre circonscrit , et qui serait parallèle à la droite

on exprimerait que , pour chaque point de cette courbe , le plan tangent (lo) est parallèle à la droite donnée; ce qui fournirait (n^ 4f5) entre les coordonnées du point de contact la relation

(i4) [ko:' 4- C)m 4- (A>' -h C')/z 4- {M'z' -h C") = o,

laquelle, jointe à l'équation de la surface que doivent aussi vérifier les variables x\ y\ z\ suffirait pour déterminer la courbe demandée. On voit , par la forme de l'équation (i4)> <pte cette courbe de contact sera encore plancj et qu'elle se trouvera précisément dans le plan diamétral conjugué ayec les cordes parallèles aux géné^ ratrices du cylindre.

264. La tangente dune courbe quelconque est toujours projetée sur la tangente à la projection de la courbe primitive , puisque ces deux droites sont les limites respectives d'une sécante et de sa projection. {Voyez G. Z>., n^ 102.) Par conséquent, si la courbe en question est définie par ses projections